評《分岔問題及其計算方法》

寧建國

(北京理工大學爆炸科學與技術國家重點實驗室，北京 100081)

近二十年來，分岔問題日益受到廣泛關注，其原因是在整個20世紀，力學與物理領域的許多重要進展大多與分岔問題有關。例如，20世紀40年代，荷蘭力學家柯伊塔關于彈性系統(tǒng)屈曲后行為的研究，卡門-錢關于圓柱殼臨界載荷的研究；20世紀60年代，洛倫茲關于奇怪吸引子的發(fā)現(xiàn)等等，都是和分岔問題相關的。20世紀后半葉，大量關于非線性力學問題的提出，特別是對這些問題數(shù)值方法的發(fā)展，都或多或少會遇到分岔問題。因此，從更為一般的觀點研究和探討分岔問題就成為很自然的一個研究方向。武際可與黃克服教授帶領他們的研究生經(jīng)過二十多年在這一方向上的合作研究和探索，成果豐富。他們的專著《分岔問題及其計算方法》[1]（北京理工大學出版社2019年7月出版），是他們多年在這一方向上研究成果的總結(jié)，也是這一方向上出現(xiàn)的許多優(yōu)秀著作之一。

分岔問題實質(zhì)是非線性問題，對它的理解與認識復雜且有一定難度[2-3]。而非線性連續(xù)介質(zhì)力學問題經(jīng)過離散化后一般表現(xiàn)為高維非線性動力系統(tǒng)的數(shù)值計算問題，該類問題的求解是目前計算力學問題的挑戰(zhàn)性的課題[4-7]。《分岔問題及其計算方法》從動力系統(tǒng)的等價和等價類出發(fā)，另辟蹊徑給出了以等價類來定義分岔的新途徑，討論了動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性、局部和全局分岔、靜分岔與霍普夫分岔等問題，并且詳細介紹了弧長法為代表的數(shù)值計算方法。同時，作為算例給出了一些重要實際問題的計算結(jié)果，如冷卻塔的穩(wěn)定性問題、旋轉(zhuǎn)殼的大變形問題。本書給讀者提供了一條求解這類動力系統(tǒng)問題的路徑，給出了一些求解分岔問題的思路和可能有效的探求方向。

該書共分5章，一個緒論。在緒論章節(jié)，仔細討論了在旋轉(zhuǎn)的光滑大圓環(huán)上一個小圓環(huán)在重力場中的平衡問題，引出一個系統(tǒng)具有分岔現(xiàn)象的條件，介紹了各種各樣的分岔現(xiàn)象并且簡述了分岔問題研究的歷史、現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢。第1章是動力系統(tǒng)分岔的一些基本概念，包括動力系統(tǒng)的定義、動力系統(tǒng)的等價和等價類、分岔的定義；第2章是分岔的性質(zhì)，包括平衡解的靜分岔和霍普夫分岔、動力系統(tǒng)的全局分岔以及拓撲度的理論及其在分岔問題中的應用；第3章是弧長法，包括弧長法的定義、求解非線性方程組的數(shù)值方法以及弧長法在分岔問題中的應用；第4章是平衡解靜分岔的計算，包括分岔點的判斷與計算、分岔方向的尋求、若干數(shù)值算例以及分岔問題的簡化；第5章是霍普夫分岔的數(shù)值方法及閉軌追蹤，包括周期函數(shù)的插值、霍普夫分岔點的確定、周期解的追蹤以及同宿和異宿軌道的尋求。該書的特點是不僅介紹基礎理論知識，還通過若干數(shù)值算例，幫助讀者思考和認識這些問題，深化理論基礎，拓展研究方法。

該書從動力系統(tǒng)的等價和等價類出發(fā)，給出了以等價類來定義分岔的新途徑，并定義分岔點是系統(tǒng)這樣的狀態(tài)，當系統(tǒng)參數(shù)任意微小改變將會產(chǎn)生系統(tǒng)等價類的改變。該書同時對線性非自治系統(tǒng)的等價問題進行了討論。在此之前，人們在討論線性動力系統(tǒng)的等價類時，總是對自治系統(tǒng)即其改變量方程為常系數(shù)線性系統(tǒng)來說的，但實際問題中經(jīng)常要和非自治系統(tǒng)打交道。一般的線性非自治系統(tǒng)的等價類問題非常復雜，但對于周期系數(shù)的系統(tǒng)，存在一個變換，能夠把它變?yōu)樽灾蜗到y(tǒng)。此外，還對動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性、局部和全局分岔、靜分岔與霍普夫分岔等問題進行了深入細致地定性分析，從而給出了對這些問題求解的理論基礎。

探討解算高維非線性動力系統(tǒng)的數(shù)值方法，是本書著重討論的問題，也是本書最重要的特點。很多實際問題的自由度非常多，對經(jīng)過離散化后得到的聯(lián)立非線性方程的求解是極其復雜的，需要開展大規(guī)模計算。分岔問題的計算不僅是分岔點鄰近的問題，還涉及大范圍的求解，其通常是從某個初始狀態(tài)開始按照一定的參數(shù)變化追蹤解曲線的過程。在追蹤解曲線的過程中，要判斷動力系統(tǒng)在解曲線上是否穩(wěn)定，要精確計算分岔點的位置并找出全部分岔方向。在數(shù)值計算過程中，不同的階段需要采用不同的技巧和方法。

弧長法最早是針對結(jié)構系統(tǒng)的靜力分析問題提出來的，但在用計算機求解非線性結(jié)構問題時會因為系數(shù)矩陣退化而無法求解[8]。人們經(jīng)過20多年的失敗和探索后，在20世紀70年代末，先后由美國的Wempner和荷蘭的Riks提出了解決方案，后來被稱之為偽弧長方法。

武際可和黃克服教授將通常求解含參數(shù)的代數(shù)方程組的弧長算法推廣到求解含參數(shù)的常微分方程組的求解。通過一系列算例（如歐拉壓桿問題、集中力作用下的圓拱問題、薄壁梁的側(cè)向失穩(wěn)、旋轉(zhuǎn)殼的穩(wěn)定性分析、Van del Pol方程的閉軌及洛倫茲方程的周期解等）展示了該方法的有效性和準確性。而后又把求解常微分方程動力系統(tǒng)的偽弧長算法延伸用來求解微分動力系統(tǒng)中的雙曲偏微分方程的 Burgers 奇異性問題，并總結(jié)歸納出偽弧長算法的基本思想定義為通過在解曲線上引入偽弧長參數(shù)，并增加一個約束方程，使得在偽弧長參數(shù)作用下，原始離散單元發(fā)生扭曲形變，從而達到消除或減弱奇異性的目的。在此基礎上，發(fā)展了一套求解分岔問題的數(shù)值方法，如果能夠?qū)⑦@一數(shù)值方法嵌入到大型非線性結(jié)構分析程序中去，就能夠有效地分析任何復雜結(jié)構的非線性變形過程。

弧長方法作為最古老和最經(jīng)典的參數(shù)方法被應用到很多領域，該方法屬于引入?yún)?shù)類方法中的一種，通過將原來的曲線添加引入弧長參數(shù)，將求解計算問題的空間變換，進而使得求解問題得到簡化。曲線參數(shù)化是將一條曲線建立對應參數(shù)方程的過程，而弧長參數(shù)化是指以曲線自身的弧長作為變量參數(shù)，建立弧長參數(shù)方程。如果用弧長參數(shù)曲線表示點的運動軌跡，那么運動軌跡對應的變量值表示軌跡的長度，這樣很多難以直接表述的參數(shù)空間就可以直接通過引入弧長參數(shù)來描述，通過參數(shù)變化給出容易處理的參數(shù)方程。該方法對于非線性問題的求解具有較大的潛力。尚待進一步研究開發(fā)，特別是對于那些具有快速過度以及強間斷問題會顯出特別的優(yōu)越性。

筆者近些年受武際可與黃克服教授發(fā)展弧長方法計算非線性問題和分叉問題的啟發(fā)，把它應用到大規(guī)模爆炸問題的計算中，得到了良好的效果。文獻[9-10]針對爆炸與沖擊問題的強間斷特點，從物理的角度引入弧長參數(shù)給出了統(tǒng)一的處理強沖擊間斷的偽弧長算法。通過在一維和多維空間引入弧長參數(shù)，將沖擊間斷問題轉(zhuǎn)換到弧長空間的連續(xù)函數(shù)，進而在高分辨率處理沖擊波問題上給出非常理想的結(jié)果。在此基礎上，將偽弧長算法應用于求解爆炸與沖擊問題過程中，先后發(fā)展出局部偽弧長算法與全局偽弧長算法（偽弧長自適應網(wǎng)格算法），通過偽弧長變換來捕捉爆炸與沖擊波陣面，建立了爆炸與沖擊問題的偽弧長算法的基礎理論體系及工程實際問題的計算求解方法，成功解決了三維爆炸與沖擊問題沖擊波的追蹤與捕捉這一難題，有力促進了三維雙曲型方程計算與求解的發(fā)展。

分岔現(xiàn)象是非線性動力系統(tǒng)研究的重要內(nèi)容，也是一類十分有趣的、并且很復雜的研究方向，數(shù)值方法已經(jīng)成為解決分岔或其他奇異性問題的主要手段。武際可和黃克服教授的《分岔問題與計算方法》是一本值得相關科研工作者學習的參考書。