可變抽樣區(qū)間和樣本容量的非正態(tài)EWMA控制圖經(jīng)濟(jì)設(shè)計

薛 麗, 李聰凱, 賈元忠

(1.鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 管理工程學(xué)院,河南 鄭州 450046; 2.天津大學(xué) 管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部,天津 300072)

0 引言

在生產(chǎn)制造過程中，統(tǒng)計過程控制是提高產(chǎn)品過程質(zhì)量的一種有效方法，控制圖作為過程控制的一種重要工具在生產(chǎn)實(shí)踐中得到廣泛應(yīng)用。為了提高控制圖的監(jiān)控效率，許多學(xué)者研究了抽樣區(qū)間變化(VSI)、樣本容量變化(VSS)以及抽樣區(qū)間和樣本容量均變化(VSSI)的動態(tài)控制圖，研究結(jié)果表明動態(tài)控制的監(jiān)控效果均優(yōu)于靜態(tài)控制圖。當(dāng)監(jiān)控過程中的較小波動時，Saccucci[1]設(shè)計了正態(tài)分布情形下抽樣區(qū)間變化的EWMA控制圖，利用馬爾科夫鏈方法得到了雙邊VSI EWMA控制圖的平均報警時間；吉明明等[2]研究了質(zhì)量特性值服從非正態(tài)分布時的可變抽樣區(qū)間EWMA均值控制圖。薛麗[3]研究了過程不合格品率服從二項分布時，可變抽樣區(qū)間EWMA控制圖。Tang[4]等研究了監(jiān)控過程均值變化時，可變抽樣區(qū)間的自適應(yīng)EWMA控制圖。Tran[5]等研究了考慮測量誤差下的可變抽樣區(qū)間EWMA控制圖。上面研究聚焦于可變抽樣區(qū)間EWMA控制圖的設(shè)計，當(dāng)抽樣區(qū)間和樣本容量同時變化時， Reynolds[6]等研究了VSSI EWMA控制圖的監(jiān)控性能。他們的研究是建立在觀測值服從正態(tài)分布的假設(shè)背景下，然而在實(shí)際中這一假設(shè)可能得不到滿足，有時觀測值會呈現(xiàn)偏態(tài)性[7]。當(dāng)過程觀測值不滿足正態(tài)性假設(shè)時，一些學(xué)者[2,8]利用Burr分布近似不同情況的非正態(tài)分布進(jìn)行研究。

上述研究是基于控制圖的統(tǒng)計特性，沒有考慮控制圖在監(jiān)控過程時產(chǎn)生的費(fèi)用成本。為了降低過程控制時的費(fèi)用成本， Lorenzen & Vance 于1986年[9]提出了控制圖經(jīng)濟(jì)設(shè)計的統(tǒng)一方法。隨后許多學(xué)者對動態(tài)控制圖進(jìn)行了經(jīng)濟(jì)設(shè)計。Chou等[10]針對質(zhì)量特性值服從正態(tài)分布的情況下，研究了可變抽樣區(qū)間EWMA控制圖的經(jīng)濟(jì)設(shè)計。Chen[8]對可變抽樣區(qū)間非正態(tài)均值控制圖進(jìn)行了經(jīng)濟(jì)設(shè)計。薛麗[12,13]分別研究了可變抽樣區(qū)間幾何EWMA控制圖的經(jīng)濟(jì)設(shè)計以及監(jiān)控均值標(biāo)準(zhǔn)差的VSI EWMA圖經(jīng)濟(jì)設(shè)計。上面對于動態(tài)EWMA控制圖的經(jīng)濟(jì)設(shè)計多集中在可變抽樣區(qū)間控制圖，較少考慮到非正態(tài)分布情形下可變抽樣區(qū)間和樣本容量的EWMA控制圖。為了提高監(jiān)控過程效率的同時使過程控制成本降低，本文利用Burr分布近似不同情況下的非正態(tài)分布，對可變抽樣區(qū)間和樣本容量的非正態(tài)EWMA控制圖進(jìn)行經(jīng)濟(jì)設(shè)計研究。

1 VSSI非正態(tài)EWMA控制圖

(1)

其中，λ為平滑系數(shù)，Z0=μ0。

控制圖的上下控制限分別為：

(2)

其中，k是控制限系數(shù)。

控制圖的上下警戒限分別為：

(3)

其中，w是警戒限系數(shù)。

令h1、h2為長抽樣區(qū)間和短抽樣區(qū)間，n1和n2為大樣本容量和小樣本容量?？刂茍D的監(jiān)控機(jī)制為：若當(dāng)前樣本點(diǎn)落在中心域(LWL,UWL)內(nèi)，則下一次抽樣采用大抽樣區(qū)間h1以及小樣本容量n2的抽樣辦法；若當(dāng)前樣本點(diǎn)落在警戒域(UWLUCL或Zi

由于質(zhì)量特性值的分布未知，需要用一種已知的分布形式去近似它。兩參數(shù)Burr分布可以近似各種類型的分布，例如Gamma分布，Beta分布等，其分布函數(shù)如下:

(4)

其中，c和q均為大于1的常數(shù)。

針對各種(c,q)，Burr將其對應(yīng)的偏度系數(shù)、峰度系數(shù)以及均值、標(biāo)準(zhǔn)差列表給出。對于具有相同偏度系數(shù)和峰度系數(shù)的隨機(jī)變量X和Burr變量Y可以相互轉(zhuǎn)換，根據(jù)觀測值的偏度系數(shù)和峰度系數(shù)，通過列表找到相應(yīng)的c和q值，從而確定對應(yīng)的Burr分布函數(shù)。觀測值和Burr變量之間的轉(zhuǎn)換公式為:

(5)

(6)

(7)

2 經(jīng)濟(jì)模型的建立

為了對VSSI非正態(tài)EWMA控制圖進(jìn)行經(jīng)濟(jì)設(shè)計，提出以下模型假設(shè)：(1)假設(shè)過程開始處于受控狀態(tài)(μ=μ0)，經(jīng)過一段時間以后，過程失控(μ=μ0+δσ，σ保持不變)。(2)受控時長服從均值為1/θ的指數(shù)分布。(3)異常原因發(fā)生后，在找出并糾正異常原因之前的一段時間，過程一直處于失控狀態(tài)。(4)在每個抽樣間隔內(nèi)，異常原因發(fā)生的次數(shù)最多為1，并且在抽樣過程中，異常原因不發(fā)生。經(jīng)濟(jì)模型相關(guān)參數(shù)定義如表1所述。

Lorenzen & Vance經(jīng)濟(jì)模型所考慮的費(fèi)用成本期望值包括：過程受控時的費(fèi)用成本、過程失控時的費(fèi)用成本、抽樣和理解結(jié)果的費(fèi)用、錯誤警報造成的費(fèi)用、找到特殊原因和恢復(fù)過程的費(fèi)用。由于VSSI 非正態(tài)EWMA控制圖的抽樣區(qū)間和樣本容量不固定，修改Lorenzen & Vance經(jīng)濟(jì)模型中的抽樣區(qū)間為平均抽樣區(qū)間，樣本容量為平均樣本容量，得到VSSI非正態(tài)EWMA控制圖的費(fèi)用成本函數(shù)ECT：

(8)

表1 相關(guān)參數(shù)描述

運(yùn)用馬爾科夫鏈的方法得到ATS0、ATS1、ANSS0、ANOS的計算公式如下：

R=[rij](2v+1)×(2v+1)=(I-U)-1
U=[uij](2v+1)×(2v+1)

(9)

其中Uij=F(B)-F(A)。

(10)

通過前面的討論可知：VSSI非正態(tài)EWMA控制圖的經(jīng)濟(jì)設(shè)計即尋找使目標(biāo)函數(shù)ECT最小時對應(yīng)的最優(yōu)參數(shù)組合(n1,n2,h1,h2,k,w,λ)。

3 算例

在煉鋼過程中，需要對某種化學(xué)成分進(jìn)行控制，且已知它不服從正態(tài)分布。根據(jù)收集的數(shù)據(jù)可知單個觀測值的偏斜度和峰度分別為-0.519和3.462。過程受控時μ=μ0=1.5,σ=σ0=1。過程失控時標(biāo)準(zhǔn)差保持不變，μ=μ0+δσ。由于分布未知，可以用c=10和q=10的Burr分布來近似，并采用VSSI非正態(tài)EWMA控制圖對其進(jìn)行監(jiān)控。在其經(jīng)濟(jì)模型中，費(fèi)用參數(shù)和模型參數(shù)值如下：C0=9，C1=90，θ=0.01，a1=0.6，a4=0.2，E=0.06hr，a2=20，a1=40，γ1=1，γ2=1，T0=0.6hr，T1=2.5hr,T2=2.5hr,δ=1.5。

在matlab(version 7.0)環(huán)境下利用遺傳算法工具箱進(jìn)行求解。解向量為(n1,n2,h1,h2,k,w,λ)，其中n1、n2為整數(shù)，h1、h2、k、w和λ為連續(xù)值。求解的過程如下：

(1)生成初始種群。隨機(jī)選取20組作為初始解，各個參數(shù)的限制范圍如下： 1

(2)選擇。分別計算20個初始解的適應(yīng)度值，本例中適應(yīng)度值即為目標(biāo)函數(shù)的倒數(shù)。適應(yīng)度好的染色體有較大概率作為幸存者，組成下一代。

(3)交叉。設(shè)置交叉率為0.8，交叉辦法如下：D1=0.8R+0.2M,D2=0.2R+0.8M。D1為第一個新的染色體，D2為第二個新的染色體，R、M為父輩、母輩染色體，經(jīng)過20對上一輩染色體隨機(jī)結(jié)合，會產(chǎn)生40個子代?？?cè)丝跀?shù)增加至60。

(4)變異。設(shè)置變異率為0.1，則60個解能隨機(jī)選擇6個染色體(60*0.1=6)來實(shí)現(xiàn)變異。

(5)重復(fù)循環(huán)步驟(2)到(5)，設(shè)置最大遺傳代數(shù)為100代。運(yùn)行到100代時算法停止。得到最優(yōu)參數(shù)值：n1=8，n2=3，h1=1.3232，h2=0.0118，k=2.4065，w=1.0526，λ=0.9516，ECT=15.0034。

4 靈敏度分析

為了研究模型參數(shù)(C0,C1,θ,a3,a4,E,a2,a1,T1,T2,δ)對控制圖設(shè)計參數(shù)(n1,n2,h1,h2,k,w,λ)以及ECT的影響，采用正交試驗設(shè)計以及回歸分析對經(jīng)濟(jì)模型進(jìn)行分析。令控制圖設(shè)計參數(shù)為響應(yīng)變量，模型參數(shù)為自變量。表2記錄自變量(模型參數(shù))的兩種水平，其余參數(shù)固定如下：γ1=1，γ2=1，T0=1,且收集的數(shù)據(jù)可用c=10和q=10的Burr分布近似。表3(1)記錄16次正交試驗的方案，表3(2)記錄正交試驗的結(jié)果。

表2 十一個費(fèi)用參數(shù)的兩水平

表3(1) 根據(jù)L16(215)安排的十六次試驗

表3(2) 十六次試驗結(jié)果

為了研究模型參數(shù)對控制圖設(shè)計參數(shù)的影響關(guān)系，運(yùn)用SPSS軟件對每一個因變量(設(shè)計參數(shù)或費(fèi)用成本函數(shù))進(jìn)行回歸分析。令檢驗水平α=0.05，得到模型參數(shù)對控制圖設(shè)計參數(shù)和費(fèi)用成本函數(shù)的影響關(guān)系如下：

(1)模型參數(shù)對大樣本容量n1的取值影響不顯著。

(2)小樣本容量n2的取值隨著抽樣和檢測的固定成本a3的增大而增大；隨著一次抽取樣本和繪制控制圖的平均時間E以及過程波動δ的增大而減小。

(3)長抽樣區(qū)間h1的取值隨著受控時的平均成本C0、抽樣和檢測的固定成本a3、消除特殊原因的平均時間T2以及過程波動δ的增大而增大；隨著失控時的平均成本C1、產(chǎn)生特殊原因的頻率θ、一次抽取樣本和繪制控制圖的平均時間E以及查找和消除特殊原因的成本a2的增大而減小。

(4)模型參數(shù)對小抽樣區(qū)間h2的取值影響不顯著。

(5)產(chǎn)生特殊原因的頻率θ、抽樣和檢測的固定成本a3越大，控制限系數(shù)k越小；錯誤警報造成的平均成本a1、過程波動δ越大，k越大。

(6)警戒限系數(shù)w的取值隨著一次抽取樣本和繪制控制圖的平均時間E、產(chǎn)生特殊原因的頻率θ的增大而減?。浑S著抽樣和檢測的固定成本a3、過程波動δ的增大而增大。

(7)平滑系數(shù)λ的取值隨著抽樣和檢測的固定成本a3、過程波動δ的增大而增大；隨著一次抽取樣本和繪制控制圖的平均時間E的增大而減小。

(8)產(chǎn)生特殊原因的頻率θ、發(fā)現(xiàn)特殊原因的平均時間T1、失控時的平均成本C1以及消除特殊原因的平均時間T2越大，費(fèi)用成本函數(shù)ECT越大；過程波動δ越大，ECT越小。

為了能直觀的顯示出模型參數(shù)對模型參數(shù)以及費(fèi)用函數(shù)的影響關(guān)系，運(yùn)用Minitab軟件的到的主效應(yīng)分析圖如圖1～6所示。

5 最優(yōu)性分析

本節(jié)分析VSSI 非正態(tài)EWMA控制圖與VSS非正態(tài)EWMA控制圖、VSI非正態(tài)EWMA控制圖的經(jīng)濟(jì)設(shè)計進(jìn)行比較，驗證所提出的VSSI非正態(tài)EWMA控制圖經(jīng)濟(jì)模型的優(yōu)越性。VSSI非正態(tài)EWMA控制圖的費(fèi)用成本函數(shù)ECT(公式(8))中平均樣本容量λ退化成樣本容量n，即為VSI非正態(tài)EWMA控制圖的費(fèi)用成本函數(shù)ECTVSI；VSSI非正態(tài)EWMA控制圖的費(fèi)用成本函數(shù)ECT(公式(8))中平均抽樣區(qū)間h0退化成抽樣區(qū)間h，即為VSS非正態(tài)EWMA控制圖的費(fèi)用成本函數(shù)ECTVSS。

(1)在相同的模型參數(shù)組合前提下，分別對VSI、VSS非正態(tài)EWMA控制圖的費(fèi)用成本函數(shù)運(yùn)行遺傳算法工具箱，得到參數(shù)和費(fèi)用成本函數(shù)最優(yōu)值，結(jié)果見表4和表5。

將表4～5得到的ECTVSI、ECTVSS與表3(2)得到的ECTVSSI分別記錄在表6， 并同時計算ECTVSI/ECTVSSI和ECTVSS/ECTVSSI，可以看出在每次試驗下，ECTVSI/ECTVSSI和ECTVSS/ECTVSSI的值均大于1，說明ECTVSI和ECTVSS的值均大于ECTVSSI的值。即在相同參數(shù)設(shè)置下，所建立的VSSI非正態(tài)EWMA控制圖的經(jīng)濟(jì)模型均優(yōu)于VSI非正態(tài)EWMA控制圖與VSS非正態(tài)控制圖，具有較小的費(fèi)用成本。因此，所設(shè)計的VSSI非正態(tài)EWMA控制圖經(jīng)濟(jì)模型較VSI、VSS非正態(tài)EWMA控制圖的經(jīng)濟(jì)模型具有優(yōu)越性。

(2)實(shí)例分析：對數(shù)據(jù)案例4的實(shí)際例子進(jìn)行分析，分別運(yùn)用VSI非正態(tài)EWMA控制圖、VSS非正態(tài)EWMA控制圖、VSSI非正態(tài)EWMA控制圖對該煉鋼過程進(jìn)行監(jiān)控，對這三種控制圖分別進(jìn)行經(jīng)濟(jì)設(shè)計，得到的控制圖最優(yōu)參數(shù)和費(fèi)用成本函數(shù)的結(jié)果見表7。

由表7可知，VSSI非正態(tài)EWMA控制圖的費(fèi)用成本函數(shù)為15.0034，均小于VSI和VSS非正態(tài)EWMA控制圖的費(fèi)用成本函數(shù)。因此，在對煉鋼過程進(jìn)行監(jiān)控時，本文設(shè)計VSSI 非正態(tài)EWMA 控制圖經(jīng)濟(jì)模型均優(yōu)于VSI、VSS非正態(tài)EWMA控制圖。

圖1 小樣本容量n2主效應(yīng)圖

圖2 長抽樣區(qū)間h1主效應(yīng)

圖3 控線限系數(shù)k主效應(yīng)圖

圖4 警戒限系數(shù)w主效應(yīng)圖

圖5 平滑系數(shù)λ主效應(yīng)圖

圖6 費(fèi)用成本函數(shù)ECT主效應(yīng)圖

表4 VSI非正態(tài)EWMA控制圖十六次試驗結(jié)果

表5 VSS非正態(tài)EWMA控制圖十六次試驗結(jié)果

表6 最優(yōu)性分析結(jié)果

表7 實(shí)例分析結(jié)果

6 結(jié)論

針對過程數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布的情況，研究VSSI EWMA控制圖的經(jīng)濟(jì)設(shè)計問題。首先對非正態(tài)EWMA控制圖進(jìn)行抽樣區(qū)間和樣本容量變化設(shè)計；其次建立VSSI EWMA控制圖的經(jīng)濟(jì)設(shè)計模型。通過使費(fèi)用成本函數(shù)ECT最小確定控制圖的設(shè)計參數(shù)(n1,n2,h1,h2,k,w,λ)的值，并運(yùn)用遺傳算法進(jìn)行求解。然后運(yùn)用正交試驗設(shè)計對經(jīng)濟(jì)模型進(jìn)行靈敏度分析,得出費(fèi)用成本函數(shù)ECT與失控時單位時間內(nèi)的成本C1、產(chǎn)生特殊原因的頻率θ、發(fā)現(xiàn)特殊原因的平均時間T1以及消除特殊原因的平均時間T2呈正相關(guān),與過程波動δ呈負(fù)相關(guān)。最后通過最優(yōu)性分析得出所建立的VSSI非正態(tài)EWMA控制圖經(jīng)濟(jì)模型優(yōu)于VSI、VSS非正態(tài)EWMA控制圖的經(jīng)濟(jì)模型，具有較小費(fèi)用成本函數(shù)。