高中數(shù)學(xué)臨界生立體幾何學(xué)習(xí)現(xiàn)狀及教學(xué)策略

陳慶芳

高中數(shù)學(xué)臨界生立體幾何學(xué)習(xí)現(xiàn)狀及教學(xué)策略

陳慶芳

（廣東省肇慶市高要區(qū)第一中學(xué),廣東肇慶526100）

作為教師，只有深入地掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際情況，才能更好地進(jìn)行因生施教和因材施教，方能令教學(xué)效果達(dá)到最大化的要求。本文筆者采用問卷調(diào)查、測(cè)試（前測(cè)與后測(cè)）調(diào)查、個(gè)案研究、基于SPSS的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析、教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)實(shí)驗(yàn)等研究方法，對(duì)高中數(shù)學(xué)臨界生立體幾何學(xué)習(xí)現(xiàn)狀進(jìn)行調(diào)查分析及教學(xué)策略研究，并為提高高中數(shù)學(xué)臨界生立體幾何的學(xué)習(xí)成績(jī)提供相關(guān)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)以及教學(xué)建議。

數(shù)學(xué)臨界生；立體幾何；對(duì)比研究；個(gè)案研究；教學(xué)實(shí)驗(yàn)

在學(xué)習(xí)過(guò)程當(dāng)中，臨界生具有非常大的發(fā)展?jié)摿?，做好他們的教學(xué)工作是中學(xué)教育成功的關(guān)鍵。如果教師能夠加強(qiáng)臨界生的教學(xué)工作，不僅可以促進(jìn)高中教育教學(xué)工作的全面發(fā)展，探索出一條新的高中生教育模式，實(shí)現(xiàn)新形勢(shì)下的高中教學(xué)培養(yǎng)目標(biāo)，并且能使更多的學(xué)生在高考中脫穎而出，考出理想的成績(jī)。

經(jīng)參考有關(guān)文獻(xiàn)，以及在有關(guān)專家的指導(dǎo)下，并結(jié)合自己的工作實(shí)際情況，筆者在本課題研究的臨界生對(duì)象是針對(duì)高考總分能進(jìn)入普通本科線而數(shù)學(xué)單科成績(jī)不能進(jìn)入普通本科線的高中學(xué)生。

一、研究對(duì)象

本文研究對(duì)象是廣東省肇慶市高要區(qū)第一中學(xué)2020年入學(xué)的學(xué)生。廣東省肇慶市高要區(qū)第一中學(xué)于1998年被評(píng)為廣東省一級(jí)學(xué)校，并且是廣東省的示范性高中，見微知著，選擇此校的高中數(shù)學(xué)臨界生進(jìn)行立體幾何學(xué)習(xí)的調(diào)查分析研究，統(tǒng)計(jì)的結(jié)果具有一定的典型性和代表性。

（一）數(shù)學(xué)臨界生界定方法

1.2023年高考總分上本科線預(yù)測(cè)。搜集、整理廣東省肇慶市高要區(qū)第一中學(xué)2017～2021年的高考本科升學(xué)率。利用統(tǒng)計(jì)回歸分析法，預(yù)測(cè)2023年廣東省肇慶市高要區(qū)第一中學(xué)的高考本科升學(xué)率，見圖1所示。

圖1　高考本科升學(xué)率回歸分析

從圖1可以看出，2023年廣東省肇慶市高要區(qū)第一中學(xué)的本科預(yù)測(cè)升學(xué)率公式為y=0.0935x-188.25，考慮到每年高考都會(huì)存在各種不確定因素，所以在升學(xué)率公式里面引入不確定系數(shù)i。不確定系數(shù)i是根據(jù)每年高考前的高考模擬考試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析得出，最終的本科預(yù)測(cè)升學(xué)率公式調(diào)整為y=i（0.0935x-188.25）。經(jīng)計(jì)算知2023年廣東省肇慶市高要區(qū)第一中學(xué)的本科升學(xué)人數(shù)約為696人（注：這只是初步統(tǒng)計(jì)分析的數(shù)據(jù)，作為課題研究使用。等到2023年高考前高考模擬考試成績(jī)出來(lái)后進(jìn)行相關(guān)統(tǒng)計(jì)分析后得出較準(zhǔn)確的不確定系數(shù)i，將i代入本科預(yù)測(cè)升學(xué)率公式計(jì)算方可得出較準(zhǔn)確的本科升學(xué)率預(yù)測(cè)值）。

2.2023年高考數(shù)學(xué)單科上本科線預(yù)測(cè)

搜集、整理廣東省肇慶市高要區(qū)第一中學(xué)2017～2021年的高考數(shù)學(xué)單科上本科線的吻合率。利用統(tǒng)計(jì)回歸分析法，預(yù)測(cè)2023年廣東省肇慶市高要區(qū)第一中學(xué)的高考數(shù)學(xué)單科上本科線的吻合率，見圖2所示。

圖2　高考數(shù)學(xué)單科上本科線的吻合率回歸分析

從圖2可以看出，2023年高考數(shù)學(xué)單科上本科線預(yù)測(cè)升學(xué)率公式為y＝0.0092x+0.68315，考慮到每年高考都會(huì)存在各種不確定因素，所以在升學(xué)率公式里面引入不確定系數(shù)j。不確定系數(shù)j是根據(jù)每年高考前的高考模擬考試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析得出，最終的預(yù)測(cè)升學(xué)率公式調(diào)整為y=j（0.0092x+0.68315）。經(jīng)計(jì)算知2023年廣東省肇慶市高要區(qū)第一中學(xué)的數(shù)學(xué)單科本科升學(xué)人數(shù)約為601人（注：這只是初步統(tǒng)計(jì)分析的數(shù)據(jù)，作為課題研究使用。等到2023年高考前高考模擬考試成績(jī)出來(lái)后進(jìn)行相關(guān)統(tǒng)計(jì)分析后得出較準(zhǔn)確的不確定系數(shù)j，將j代入預(yù)測(cè)升學(xué)率公式計(jì)算方可得出較準(zhǔn)確的本科升學(xué)率預(yù)測(cè)值）。

3.數(shù)學(xué)臨界生界定方法

經(jīng)以上初步計(jì)算知2023年廣東省肇慶市高要區(qū)第一中學(xué)的總分達(dá)到本科分?jǐn)?shù)線的人數(shù)約為696人，其中數(shù)學(xué)單科成績(jī)達(dá)到本科分?jǐn)?shù)線的人數(shù)約為601人。根據(jù)反吻合率計(jì)算，得知總分能進(jìn)入本科線，但數(shù)學(xué)單科成績(jī)不能進(jìn)入本科線的學(xué)生人數(shù)約為95人，根據(jù)上下浮動(dòng)原理，取數(shù)學(xué)臨界生的總?cè)藬?shù)為190人，即這190位學(xué)生的數(shù)學(xué)單科成績(jī)是處于數(shù)學(xué)單科本科臨界線上下浮動(dòng)的特定范圍區(qū)間內(nèi)。

二、調(diào)查過(guò)程與分析

在本調(diào)查研究中，問卷和測(cè)試卷都是圍繞六個(gè)維度展開的，如圖3所示。

圖3　六維度圖

高中數(shù)學(xué)臨界生調(diào)查問卷的設(shè)計(jì)是參照文獻(xiàn)以及相關(guān)方面的研究，在有關(guān)專家的指導(dǎo)下自行設(shè)計(jì)的；測(cè)試卷（前測(cè)與后測(cè)）是根據(jù)考試大綱的要求，圍繞六個(gè)維度需要測(cè)試考核的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行出題的。

在數(shù)學(xué)臨界生調(diào)查問卷和測(cè)試卷（前測(cè)與后測(cè)）的設(shè)計(jì)過(guò)程中，基本都是圍繞這六個(gè)維度，并遵循的原則是：

（1）能通過(guò)詢問得出結(jié)果的問題就用調(diào)查問卷問；

（2）不能通過(guò)詢問得出結(jié)果的問題就用測(cè)試卷（前測(cè)與后測(cè)）測(cè)。

特別利用一個(gè)高中晚自習(xí)的時(shí)間，分別進(jìn)行了一次問卷調(diào)查和測(cè)試（前測(cè)）調(diào)查。

（一）問卷調(diào)查分析

調(diào)查問卷共設(shè)13道選擇題，主要是針對(duì)數(shù)學(xué)臨界生進(jìn)行不記分和不計(jì)名的調(diào)查。特利用高中晚自習(xí)時(shí)間發(fā)放，并且15分鐘之后收回。累計(jì)共發(fā)放190份問卷，收回190份問卷，有效190份問卷，其中問卷用SPSS分析的信度為0.705，如表1所示，效度為0.726，如表2所示，所有的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)都在合理區(qū)間內(nèi)（相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)參考DeVellis，Kaiser等學(xué)者提出的關(guān)于信效度的研究結(jié)果，這些研究結(jié)果表明：在探索性研究中，對(duì)于教師自編的問卷調(diào)查進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，信效度在0.7～0.8范圍內(nèi)，可以被認(rèn)為是較高水平。）表明數(shù)據(jù)可靠。

表1問卷數(shù)據(jù)可靠性統(tǒng)計(jì)量

表2問卷數(shù)據(jù)KMO和Bartlett的檢驗(yàn)

（二）測(cè)試調(diào)查分析

測(cè)試（前測(cè)）調(diào)查共3道大題，3道大題分別是選擇題、填空題和解答題。選擇題每題5分，共60分，填空題每題5分，共20分，解答題中的第一題為10分，其余題目為12分，共70分，整張測(cè)試卷總分為150分，用時(shí)120分鐘。通過(guò)由筆者主持的項(xiàng)目——廣東省肇慶市高要區(qū)中小學(xué)教育科研課題《基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)臨界生立體幾何教學(xué)策略應(yīng)用研究》課題組主要參與成員進(jìn)行集體手工改卷，分?jǐn)?shù)比較真實(shí)可靠。測(cè)試卷主要考查學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)包括以下12點(diǎn)內(nèi)容，如圖4所示。

測(cè)試人數(shù)190人，有效人數(shù)190人，通過(guò)SPSS軟件進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，試卷信度為0.719，如表3所示，效度為0.734，如表4所示，試卷的難度指數(shù)為0.42，所有的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)都在合理區(qū)間內(nèi)（相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)參考DeVellis、Kaiser等學(xué)者提出的關(guān)于信效度的研究結(jié)果，這些研究結(jié)果表明：在探索性研究中，對(duì)于教師自編的測(cè)試卷進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，信效度在0.7～0.8范圍內(nèi)，可以被認(rèn)為是較高水平。），表明測(cè)試數(shù)據(jù)可靠。

表3前測(cè)試卷數(shù)據(jù)可靠性統(tǒng)計(jì)量

表4前測(cè)試卷數(shù)據(jù)KMO和Bartlett的檢驗(yàn)

利用SPSS軟件對(duì)測(cè)試卷里面的得分情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，統(tǒng)計(jì)分析的內(nèi)容包括數(shù)學(xué)臨界生做每道題的得分情況分析，數(shù)學(xué)臨界生做每道題的得分以及試卷總分的差異性分析。

（三）個(gè)案研究分析

選取研究對(duì)象范圍內(nèi)立體幾何成績(jī)最好、中等以及最差的學(xué)生進(jìn)行個(gè)案研究，研究方法是學(xué)生訪談。學(xué)生訪談是在學(xué)生調(diào)查問卷已有的問題基礎(chǔ)上，對(duì)選取的學(xué)生對(duì)象進(jìn)行個(gè)別談話，目的是想更進(jìn)一步了解在學(xué)習(xí)過(guò)程中數(shù)學(xué)臨界生立體幾何學(xué)習(xí)情況以及差異性。

（四）數(shù)學(xué)臨界生教學(xué)實(shí)驗(yàn)分析

1.實(shí)驗(yàn)對(duì)象

經(jīng)回歸計(jì)算得知2023年廣東省肇慶市高要區(qū)第一中學(xué)的總分達(dá)到本科分?jǐn)?shù)線的人數(shù)約為696人，其中數(shù)學(xué)單科成績(jī)達(dá)到本科分?jǐn)?shù)線的人數(shù)約為601人，根據(jù)反吻合率計(jì)算，得知總分能進(jìn)入本科線，但數(shù)學(xué)單科成績(jī)不能進(jìn)入本科線的學(xué)生人數(shù)約為95人。根據(jù)上下浮動(dòng)原理，取數(shù)學(xué)臨界生的總?cè)藬?shù)為190人，即這190位學(xué)生的數(shù)學(xué)單科成績(jī)是處于數(shù)學(xué)單科本科臨界線上下浮動(dòng)的特定范圍區(qū)間內(nèi)。

2.實(shí)驗(yàn)設(shè)想

實(shí)驗(yàn)班根據(jù)教師最新設(shè)計(jì)的教學(xué)方式進(jìn)行上課，主要針對(duì)前面的調(diào)查分析的結(jié)果，對(duì)數(shù)學(xué)臨界生掌握立體幾何知識(shí)點(diǎn)較薄弱的環(huán)節(jié)以及數(shù)學(xué)臨界生差異性較大的知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行講解與訓(xùn)練，目的是提高數(shù)學(xué)臨界生立體幾何的解題能力以及縮小數(shù)學(xué)臨界生學(xué)習(xí)立體幾何之間的差異。

3.教學(xué)實(shí)驗(yàn)過(guò)程設(shè)計(jì)

教學(xué)實(shí)驗(yàn)是依托由筆者主持的項(xiàng)目——廣東省肇慶市高要區(qū)中小學(xué)教育科研課題《基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)臨界生立體幾何教學(xué)策略應(yīng)用研究》展開的，課題組主要參與成員共7名高中數(shù)學(xué)教師。

教學(xué)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中所涉及到的標(biāo)準(zhǔn)、教學(xué)案例以及授課方法是在參考《中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》、有關(guān)文獻(xiàn)、相關(guān)教材以及在有關(guān)專家的指導(dǎo)下，由筆者自行編排與設(shè)計(jì)的。參與實(shí)驗(yàn)的學(xué)生共190人，有效人數(shù)190人，這些學(xué)生的教學(xué)以及輔導(dǎo)工作由以上提到的課題組主要參與成員共7名高中數(shù)學(xué)教師負(fù)責(zé)，這7名高中數(shù)學(xué)教師是依據(jù)筆者設(shè)計(jì)的授課方法進(jìn)行授課以及開展相關(guān)輔導(dǎo)工作。教學(xué)實(shí)驗(yàn)過(guò)程總設(shè)計(jì)流程圖，如圖5所示。

圖5　教學(xué)實(shí)驗(yàn)過(guò)程總設(shè)計(jì)流程圖

教學(xué)方法：通過(guò)實(shí)例式講解、案例互動(dòng)式討論、研究式探索以及反饋式評(píng)價(jià)等授課方式充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位，營(yíng)造生動(dòng)活潑的課堂教學(xué)氛圍。

學(xué)習(xí)方法：實(shí)踐探索、觀察發(fā)現(xiàn)、類比猜想、合作溝通、規(guī)范訓(xùn)練。

教學(xué)工具：通過(guò)借助多媒體計(jì)算機(jī)（幻燈片、幾何畫板、實(shí)物投影等）進(jìn)行輔助教學(xué)，從而增強(qiáng)課堂教學(xué)的生動(dòng)性與直觀性。

（1）典型教學(xué)情況

根據(jù)前面的調(diào)查分析結(jié)果，將數(shù)學(xué)臨界生大致分成兩類（A類和B類），得出以下主要結(jié)論，如圖6所示。

圖6　數(shù)學(xué)臨界生調(diào)查分析結(jié)果

（2）應(yīng)對(duì)策略

針對(duì)前面的數(shù)學(xué)臨界生調(diào)查分析結(jié)果，得出相應(yīng)的應(yīng)對(duì)策略，如圖7所示。

圖7　數(shù)學(xué)臨界生應(yīng)對(duì)策略

4.實(shí)驗(yàn)結(jié)果統(tǒng)計(jì)與分析

筆者經(jīng)過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)班的學(xué)生采用新的教學(xué)方式進(jìn)行授課后進(jìn)行新一輪的測(cè)試（后測(cè)），測(cè)試（后測(cè)）調(diào)查共3道大題，3道大題分別是選擇題、填空題和解答題。選擇題每題5分，共60分，填空題每題5分，共20分，解答題中的第一題為10分，其余題目為12分，共70分，整張測(cè)試卷總分為150分，用時(shí)120分鐘。通過(guò)由筆者主持的項(xiàng)目——廣東省肇慶市高要區(qū)中小學(xué)教育科研課題《基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)臨界生立體幾何教學(xué)策略應(yīng)用研究》課題組主要參與成員進(jìn)行集體手工改卷，分?jǐn)?shù)比較真實(shí)可靠。

測(cè)試人數(shù)190人，有效人數(shù)190人，通過(guò)SPSS軟件進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，試卷信度為0.748，如表5所示，效度為0.753，如表6所示，試卷的難度指數(shù)為0.48（比前測(cè)卷的難度指數(shù)要大），所有的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)都在合理區(qū)間內(nèi)（相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)參考DeVellis，Kaiser等學(xué)者提出的關(guān)于信效度的研究結(jié)果，這些研究結(jié)果表明：在探索性研究中，對(duì)于教師自編的測(cè)試卷進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，信效度在0.7～0.8范圍內(nèi)，可以被認(rèn)為是較高水平。），表明測(cè)試數(shù)據(jù)可靠。

表5后測(cè)試卷數(shù)據(jù)可靠性統(tǒng)計(jì)量

表6后測(cè)試卷數(shù)據(jù)KMO和Bartlett的檢驗(yàn)

利用SPSS軟件對(duì)測(cè)試卷里面的得分情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，統(tǒng)計(jì)分析的內(nèi)容包括數(shù)學(xué)臨界生做每道題的得分情況分析，數(shù)學(xué)臨界生做每道題的得分以及試卷總分的差異性分析。

用SPSS軟件統(tǒng)計(jì)的前測(cè)試卷的數(shù)學(xué)臨界生不同題目的得分率，如圖8所示。

圖8　前測(cè)試卷的數(shù)學(xué)臨界生不同題目的得分率

用SPSS軟件統(tǒng)計(jì)后測(cè)試卷的數(shù)學(xué)臨界生不同題目的得分率，如圖9所示。

圖9　后測(cè)試卷的數(shù)學(xué)臨界生不同題目的得分率

由圖8和圖9可以看出，經(jīng)過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)班的學(xué)生進(jìn)行新一輪的測(cè)試結(jié)果表明，對(duì)實(shí)驗(yàn)班的學(xué)生采用新的教學(xué)方式進(jìn)行授課后是有一定的教學(xué)效果的，原來(lái)得分較低的題目，現(xiàn)在得分提高了，另外數(shù)學(xué)臨界生的差異也縮小了。

三、研究結(jié)論

本文筆者采用問卷調(diào)查和測(cè)試（前測(cè)與后測(cè)）調(diào)查、個(gè)案分析研究、基于SPSS的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析、教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)實(shí)驗(yàn)等研究方法，對(duì)高中數(shù)學(xué)臨界生立體幾何學(xué)習(xí)現(xiàn)狀進(jìn)行調(diào)查分析及教學(xué)策略研究。研究結(jié)果表明：

1.A類數(shù)學(xué)臨界生、B類數(shù)學(xué)臨界生在對(duì)于學(xué)習(xí)立體幾何的情感態(tài)度上都顯得比較低，相比A類數(shù)學(xué)臨界生，B類數(shù)學(xué)臨界生在學(xué)習(xí)興趣等方面表現(xiàn)較突出。

2.就掌握立體幾何知識(shí)的內(nèi)容而言，數(shù)學(xué)臨界生普遍認(rèn)為，比較難以證明空間線線、線面、面面垂直和難以進(jìn)行整體立體幾何知識(shí)框架的建立，相比較來(lái)說(shuō)這方面B類數(shù)學(xué)臨界生掌握得比較好。

3.大多數(shù)數(shù)學(xué)臨界生認(rèn)為，在立體幾何作業(yè)量及作業(yè)難度方面都比較適中，但有部分A類數(shù)學(xué)臨界生認(rèn)為教師布置的課后作業(yè)難度較大、課后的作業(yè)量較多；相比較來(lái)說(shuō)B類數(shù)學(xué)臨界生在一種問題使用多種解法、舉一反三的能力方面做得比較好，而A類數(shù)學(xué)臨界生比B類數(shù)學(xué)臨界生更擅長(zhǎng)做錯(cuò)題整理以及課后歸納總結(jié)做筆記。

4.大多數(shù)數(shù)學(xué)臨界生在教師的指導(dǎo)下，基本上都掌握了學(xué)習(xí)立體幾何的方式方法，同時(shí)他們也喜歡教師使用三維立體教學(xué)模型作為教具，并配合現(xiàn)代信息技術(shù)進(jìn)行相關(guān)的輔助教學(xué)，相比較來(lái)說(shuō)B類數(shù)學(xué)臨界生做得較好。

5.大多數(shù)數(shù)學(xué)臨界生在學(xué)習(xí)立體幾何效果的測(cè)試與評(píng)價(jià)方面都做得比較不好，相比較來(lái)說(shuō)B類數(shù)學(xué)臨界生做得比較好。

6.就學(xué)習(xí)立體幾何支撐能力方面而言，大多數(shù)數(shù)學(xué)臨界生能力較低。與A類數(shù)學(xué)臨界生相比，B類數(shù)學(xué)臨界生的這方面能力相對(duì)較高，主要體現(xiàn)在計(jì)算能力、動(dòng)手能力方面表現(xiàn)較好，但A類數(shù)學(xué)臨界生比較細(xì)心。

四、教學(xué)建議

基于本文的研究分析結(jié)果和有關(guān)實(shí)驗(yàn)班的對(duì)比教學(xué)實(shí)驗(yàn)，筆者從以下幾個(gè)方面對(duì)高中數(shù)學(xué)教師提出關(guān)于數(shù)學(xué)臨界生立體幾何的教學(xué)建議，如圖10所示。

圖10　數(shù)學(xué)臨界生立體幾何的教學(xué)建議

五、教學(xué)案例

（一）利用教學(xué)直觀法培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力在立體幾何教學(xué)中可以通過(guò)四種直觀教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，尤其是對(duì)女生，如圖11所示。

在平面上畫出空間圖形的直觀圖，是培養(yǎng)空間想象能力與掌握幾何概念的必經(jīng)途徑，是學(xué)習(xí)立體幾何的一大難關(guān)。因此教師必須重視借助模型、實(shí)物、直觀教具與現(xiàn)代信息技術(shù)逐步形成學(xué)生的空間觀念，發(fā)展學(xué)生的想象能力，從有模型畫圖到減少以至不需模型直接按畫法規(guī)則畫出空間圖形，逐步提高學(xué)生的能力。

圖11　教學(xué)直觀法

（二）在立體幾何中，不同的畫法可以應(yīng)用于同一個(gè)立體圖形。至于采取什么樣的畫法，必須要根據(jù)具體情況，使所畫的圖形能突出具體問題中要重點(diǎn)觀察的那部分內(nèi)容，并且具有一定的真實(shí)立體感。

例：兩個(gè)平面α、β相交于AB，交角為120?，點(diǎn)P到平面α、β的距離分別為PC＝3cm，PD＝2cm，求點(diǎn)P到AB的距離。

分析：此題可以畫成圖12中（1）、（2）、（3）三種圖形，顯然畫成圖（3），就更直觀一些。事實(shí)上，從圖中即可看出，作出P到AB的垂線PE，及PC⊥α，PD⊥β，據(jù)三垂線定理得CE⊥AB，所以P、C、E、D共面且共圓。于是問題歸結(jié)為求平面上四邊形PCED的外接圓的直徑，顯然，不難求出PE的值。

圖12　圖例

立體幾何教學(xué)過(guò)程不僅在圖形的觀察上有它的特殊性，而且在作圖上更有其特點(diǎn)。

教師要正確地畫出立體圖形（直觀圖），不僅要掌握并能熟練地運(yùn)用平行投影和中心投影的一些基本知識(shí)，而且還需要特別注意在作圖過(guò)程中不斷分析有關(guān)的線、面和角之間的關(guān)系，不然將難以準(zhǔn)確、合理地畫出需要的圖形。

（三）在知識(shí)系統(tǒng)化的過(guò)程中提高學(xué)生的概況能力

例如，立體幾何中求各種各樣的角，兩異面直線所成的角、直線與平面所成的角、平面與平面所成的角（二面角），可概括為各種不同形式的角，最后總是轉(zhuǎn)化為相交直線的角來(lái)度量。

再如立體幾何中位置關(guān)系的判斷和證明：可概括為如圖13所示。

圖13　立體幾何中位置關(guān)系的判斷和證明

（四）理論聯(lián)系實(shí)際

要充分挖掘教材的趣味性和實(shí)踐性，注重理論聯(lián)系實(shí)際。例如，可以組織學(xué)生匯集一些實(shí)例驗(yàn)證平面的三個(gè)基本性質(zhì)，讓學(xué)生看到生產(chǎn)或生活中找不到一個(gè)實(shí)例能否定這三個(gè)基本性質(zhì)，從而加深對(duì)平面基本性質(zhì)的理解。又如，在黑板上寥寥數(shù)筆，勾畫出菜刀、斧頭等圖形，引進(jìn)二面角概念，學(xué)生躍躍欲試，興趣油然而生。

（五）教學(xué)內(nèi)容不隨意作拓廣加深

按照教學(xué)大綱規(guī)定的教學(xué)要求進(jìn)行教學(xué)，不隨意拓廣加深。例如，在討論用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形時(shí)，所畫圖形主要是正三角形、正方形、正六邊形，不宜搞得復(fù)雜。在位置要求上主要是水平放置狀態(tài)，不要擴(kuò)大到垂直位置狀態(tài)及任意位置狀態(tài)，更不要補(bǔ)充畫法理論。

（六）結(jié)合我國(guó)數(shù)學(xué)史料對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛國(guó)主義教育

我國(guó)古代對(duì)幾何體體積的計(jì)算就有過(guò)比較系統(tǒng)的研究，如《九章算術(shù)》中的長(zhǎng)方體、方錐和圓錐、方亭和圓亭（即正棱臺(tái)和圓臺(tái)）、芻甍與芻童（即楔體和長(zhǎng)方形底面的擬柱體）、立圓（即球）的計(jì)算公式；劉徽的“損廣補(bǔ)狹”“棋驗(yàn)法”“截面法”；祖暅的“緣冪勢(shì)既同，則積不容異”及“體積之比等于對(duì)應(yīng)截面積之比”的論述等等成果卓著。教師可結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生對(duì)這些歷史有所了解，以激勵(lì)其愛國(guó)與上進(jìn)之心。

六、不足與啟示

（一）不足的地方

1.在本課題的調(diào)查研究中，由于受到了各方面的條件限制，目前只是采用了問卷調(diào)查、訪談?wù){(diào)查以及測(cè)試（前測(cè)與后測(cè)）調(diào)查等方式方法，而未采用全面調(diào)查法對(duì)高中數(shù)學(xué)臨界生學(xué)習(xí)立體幾何的現(xiàn)狀做調(diào)查研究，研究面可能不夠廣。

2.這次研究，筆者是在緊張繁忙的高中教學(xué)工作以及要承擔(dān)沉重家務(wù)勞動(dòng)的時(shí)間之余，抽空進(jìn)行相關(guān)的研究工作，時(shí)間精力都非常有限。另外，研究過(guò)程當(dāng)中要用到的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析、現(xiàn)代教學(xué)設(shè)計(jì)原理與方法等方面的知識(shí)，而數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析等方面的知識(shí)并不是筆者專業(yè)所擅長(zhǎng)，所以有關(guān)方面的知識(shí)儲(chǔ)備并不充分，可能導(dǎo)致研究的方法不夠全面。

3.在研究的過(guò)程中，筆者選取調(diào)查的學(xué)生時(shí)，只對(duì)高中數(shù)學(xué)臨界生學(xué)習(xí)立體幾何的學(xué)習(xí)思維等方面的差異性進(jìn)行了調(diào)查研究分析，但是并沒有考慮學(xué)生性別方面、父母親的文化程度方面、家庭背景方面、住宿方面等影響因素，以致分析出來(lái)的差異性結(jié)果可能并不完整。

4.由于受到各方面條件的限制，只選擇了筆者所教年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查研究分析，可能會(huì)導(dǎo)致研究人數(shù)不多的情況出現(xiàn)，以致影響研究結(jié)果。在以后的研究中，有待擴(kuò)展到對(duì)整個(gè)學(xué)校所有年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行研究，提高研究結(jié)果的準(zhǔn)確性。

（二）啟示

本學(xué)校正在推行“適性揚(yáng)才，多元發(fā)展”的教學(xué)模式，并取得了一定成效。如何在具體的教學(xué)模式下歸納分析造成高中數(shù)學(xué)臨界生立體幾何學(xué)習(xí)困難的原因，提出立體幾何課堂教學(xué)活動(dòng)中面向全體數(shù)學(xué)臨界生和因材施教相結(jié)合的教學(xué)策略，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，最終養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣和能力，是重點(diǎn)需要解決的問題。

[1] 王小燕.高中生立體幾何必修二的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀調(diào)查研究[D].蘭州:西北師范大學(xué),2015.

[2] 池國(guó)升.《課標(biāo)》背景下立體幾何學(xué)習(xí)障礙的調(diào)查研究[D].福州:福建師范大學(xué),2014.

[3] 楊娟.高中生立體幾何解題策略差異性的調(diào)查研究[D].重慶:西南大學(xué),2016.

[4] 涂榮豹.數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)原理的構(gòu)建——教學(xué)生學(xué)會(huì)思考[M].北京:科學(xué)出版社,2018.

[5] 徐福蔭,袁銳鍔.現(xiàn)代教育技術(shù)基礎(chǔ)[M].北京:人民教育出版社,2005.

O123.2,C45

A

1002-7661(2022)05-0162-06

本文系廣東省肇慶市高要區(qū)中小學(xué)教育科研課題“基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)臨界生立體幾何教學(xué)策略應(yīng)用研究”（編號(hào)：2020GYJYKYKT015）研究成果。