掛衣架問題的前世今生

李 鑫

(浙江省桐鄉(xiāng)第一中學(xué))

受力分析是高中物理的重難點(diǎn)，有各種各樣的定式，比如掛衣架模型.基于經(jīng)典模型的演化和拓展是高三復(fù)習(xí)的一個(gè)重要方向.本文先從掛衣架經(jīng)典問題出發(fā)，依次涉及各種變式，并探討變式背后的深刻物理原理.

例1如圖1所示，輕質(zhì)不可伸長的晾衣繩兩端分別固定在豎直桿M、N上的a、b兩點(diǎn)，懸掛衣服的衣架鉤是光滑的，掛于繩上處于靜止?fàn)顟B(tài).如果只人為改變一個(gè)條件，當(dāng)衣架靜止時(shí)，下列說法正確的是( ).

圖1

A.繩的右端上移到b′，繩子拉力不變

B.將桿N向右移一些，繩子拉力變大

C.繩的兩端高度差越小，繩子拉力越小

D.若換掛質(zhì)量更大的衣服，則衣架懸掛點(diǎn)右移

分析設(shè)兩桿間距離為d，繩長為l，Oa、Ob段長度分別為la和lb，則l＝la＋lb，兩部分繩子與豎直方向的夾角分別為α和β，受力分析如圖2所示，繩子中各部分張力相 等，F(xiàn)Ta＝FTb＝FT，則α＝β，滿足2FTcosα＝mg，d＝lasinα＋lbsinα＝lsinα，即.繩右端移到b′，d和l均不變，則sinα為定值，α為定值，cosα為定值，繩子的拉力保持不變，故選項(xiàng)A 正確;選項(xiàng)C、D 錯(cuò)誤;將桿N向右移一些，d增大，則sinα增大，cosα減小，繩子拉力增大，故選項(xiàng)B正確.

圖2

總結(jié)傳統(tǒng)的掛衣架問題涉及兩個(gè)關(guān)鍵方程，一是基于幾何條件的幾何方程，繩子和豎直方向夾角的正弦值等于兩桿間距與繩長的比值，即;二是基于受力平衡的物理方程2FTcosα＝mg.

抓住這兩個(gè)方程，這一類問題就可以輕松破解.接下來我們一一欣賞此模型各種演化進(jìn)階的形式.

例2晾曬衣服的繩子兩端A、B分別固定在兩根豎直桿上，A點(diǎn)高于B點(diǎn)，原來無風(fēng)狀態(tài)下衣服保持靜止.某時(shí)一陣恒定的風(fēng)吹來，衣服受到水平向右的恒力而發(fā)生滑動(dòng)，并在新的位置保持靜止(如圖3)，不計(jì)繩子的質(zhì)量及繩與衣架掛鉤間的摩擦，下列說法一定正確的是( ).

圖3

A.有風(fēng)時(shí)，掛鉤左右兩側(cè)的繩子拉力不相等

B.無風(fēng)時(shí)，掛鉤左右兩側(cè)繩子OA較陡

C.相比無風(fēng)時(shí)，有風(fēng)的情況下∠AOB大

D.在有風(fēng)的情況下，A點(diǎn)沿桿稍下移到C點(diǎn)，繩子的拉力變小

分析本題創(chuàng)設(shè)的情境很有意思，衣服受到恒定水平向右的風(fēng)力，前文中的規(guī)律就不適用了，起碼繩子上的力的合力就不等于衣服重力了，那本題怎么解決呢? 聰明的同學(xué)會(huì)聯(lián)想到等效思想，比如在電場中，有時(shí)會(huì)把恒定電場力和重力合起來，這里也可用這一思想，把衣服重力和風(fēng)力合成起來，于是得到下圖4-乙:由于掛鉤仍然是光滑的，所以兩端繩上力依然相等，所以重力和風(fēng)力的合力方向沿∠AOB的平分線，仿照前述列平衡方程有2FTcosα＝F，而幾何方程自然為.

圖4

核心思想依然是一個(gè)物理平衡方程和一個(gè)幾何方程，只是思維上做了一些切換，一下子就豁然開朗了.顯然繩子沿桿方向從A到C，兩桿等效間距變短，代入幾何與物理方程，可知選項(xiàng)D 正確.

掛衣架傳統(tǒng)問題到此好像就“山窮水復(fù)疑無路”了，但是命題專家永遠(yuǎn)可以“柳暗花明又一村”，2018年浙江真題就貢獻(xiàn)了下面這個(gè)精彩的案例.

例3如圖5所示，一根繩的兩端分別固定在兩座猴山的A、B處，A、B兩點(diǎn)水平距離為16 m，豎直距離為2 m，A、B間繩長為20m.質(zhì)量為10kg的猴子抓住套在繩子上的滑環(huán)從A處滑到B處.以A點(diǎn)所在水平面為參考平面，猴子在滑行過程中重力勢能最小值約為( )(繩處于拉直狀態(tài)).

圖5

A.－1.2×103J B.－7.5×102J

C.－6.0×102J D.－2.0×102J

分析命題專家設(shè)計(jì)此題時(shí)，本意是讓學(xué)生用類比思想，把猴子問題類比成掛衣架問題解決.

這個(gè)問題涉及的思想是最小勢能原理，也就是說猴子重力勢能最小的時(shí)候，它在水平方向是平衡狀態(tài).搞清楚猴子水平方向受力平衡，那么問題就劃歸成一個(gè)常見的定式.如圖6 所示，猴子在最低點(diǎn)P水平受力平衡，又因?yàn)橥K，認(rèn)為滑環(huán)兩邊繩上力相等，即FTsinα＝FTsinβ，作BP延長線與A點(diǎn)鉛垂線交于C點(diǎn)，過B點(diǎn)作BD垂直于D，可得.

圖6

顯然CD＝BCcosα＝12m，所以P距離A點(diǎn)豎直距離為.本題實(shí)際上是前述掛衣架問題的一個(gè)逆序思維問題，即在已知物理?xiàng)l件下反推幾何關(guān)系的問題.

但實(shí)際上此題學(xué)生普遍先想到橢圓，使用圓錐曲線知識去求解.

由于猴子到A、B兩點(diǎn)距離之和是20，故猴子運(yùn)動(dòng)軌跡是橢圓，焦點(diǎn)是A、B兩點(diǎn)，問題就劃歸成一個(gè)傾斜橢圓求橢圓上最低點(diǎn)問題.仍沿著長軸和短軸建立坐標(biāo)系，如圖7所示.

圖7

由題目參數(shù)可知，半長軸a＝10，焦距滿足，從而可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.

顯然最低點(diǎn)的切線應(yīng)該沿著水平方向，A、B高度差是2m，水平距離為16 m，所以在此坐標(biāo)系中該切線斜率，即過原點(diǎn)平行于水平面直線方程為.對橢圓方程進(jìn)行隱函數(shù)求導(dǎo)得，此處(x0，y0)即為橢圓最低點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立可得坐標(biāo)(x0，y0)為(－2.067，－5.788).根據(jù)點(diǎn)到直線距離關(guān)系有d＝，知d＝6.所以橢圓最低點(diǎn)距離A點(diǎn)的豎直距離是7.考慮猴子并非質(zhì)點(diǎn)，繼而得知答案選B.

為什么學(xué)生做“猴子”問題時(shí)普遍想到的是橢圓而不是“掛衣架”呢? 高中生經(jīng)過大量圓錐曲線訓(xùn)練，想到橢圓是很自然的事.想不到“掛衣架”模型是因?yàn)閷W(xué)生意識到“掛衣架”模型和“猴子”模型本質(zhì)的不同，猴子在最低點(diǎn)不處于平衡態(tài)!

具體問題設(shè)置中應(yīng)用的定式結(jié)論不同，“掛衣架”問題核心分析受力動(dòng)態(tài)平衡，即繩子的夾角由懸掛點(diǎn)水平距離和繩長決定，而“猴子”問題核心是求解最低點(diǎn)坐標(biāo)，利用相似關(guān)系解決一個(gè)幾何關(guān)系.訓(xùn)練過“掛衣架”的學(xué)生沒有經(jīng)過延伸和拓展，如果只是就題論題，學(xué)生可能就拘囿于定式，思維得不到拓展，即便會(huì)類比也求解不出結(jié)果.

事實(shí)上，二者最本質(zhì)的不同是兩題建模方式不同，“掛衣架”模型指向很清晰，是一個(gè)靜態(tài)受力平衡問題，難點(diǎn)在于數(shù)量關(guān)系的處理，學(xué)生經(jīng)過訓(xùn)練后應(yīng)對換湯不換藥的問題，本質(zhì)沒有變，容易把握.但是“猴子”問題變成了一個(gè)動(dòng)態(tài)過程，問最低點(diǎn)位置是一個(gè)幾何最值，學(xué)生建模時(shí)很容易受到數(shù)學(xué)訓(xùn)練中大量極值問題干擾，喜歡利用函數(shù)去解決，沒有意識到此題可以通過物理分析得出結(jié)論.而且一般處理最低點(diǎn)問題，都是在豎直方向運(yùn)動(dòng)，此題猴子做曲線運(yùn)動(dòng)，而且不是學(xué)生熟知的曲線運(yùn)動(dòng)，在不知曉最小勢能原理情況下，不易分析得出水平受力平衡切向沒有加速度即為猴子軌跡最低點(diǎn).

既然“猴子”不處于平衡態(tài)，為什么這個(gè)問題可以用“掛衣架”模型處理方法解決呢? 其物理本質(zhì)是什么? 這是一個(gè)最小勢能原理結(jié)合水平方向受力平衡“一繩兩點(diǎn)”定式問題，數(shù)學(xué)上是基于橢圓軌跡求解最低點(diǎn)問題，那么兩種方法之間有沒有聯(lián)系? 如圖8所示，過最低點(diǎn)作橢圓切線，再作切線的法線，連接最低點(diǎn)和橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)，則連線與豎直方向夾角相等! 這也是橢圓面反射定律的體現(xiàn)，即光源從一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出光線經(jīng)過橢圓表面反射后必將匯聚在另一個(gè)焦點(diǎn)上.

圖8

最后，我們用一個(gè)綜合問題來總結(jié)這一專題內(nèi)容.

例4如圖9為特種兵過山谷的簡化示意圖，山谷的兩側(cè)為豎直陡崖.將一根不可伸長的細(xì)繩兩端固定在圖中A、B兩點(diǎn).繩上掛一小滑輪P，戰(zhàn)士們相互配合，沿著繩子滑到對面.如圖9所示，戰(zhàn)士甲(圖中未畫出)水平拉住滑輪，質(zhì)量為70kg的戰(zhàn)士乙吊在滑輪上，腳離地處于靜止?fàn)顟B(tài)，此時(shí)AP豎直，PB水平，然后戰(zhàn)士甲將滑輪由靜止釋放，戰(zhàn)士乙即可滑到對面公路.不計(jì)滑輪大小，也不計(jì)繩與滑輪的質(zhì)量，其中AP＝6m，PB＝8m.

圖9

(1)求戰(zhàn)士甲釋放滑輪前對滑輪的水平拉力F;

(2)若戰(zhàn)士乙運(yùn)動(dòng)到右側(cè)公路的速率為6 m·s－1，求該過程中克服阻力所做的功;

(3)若戰(zhàn)士乙運(yùn)動(dòng)到曲線的最低點(diǎn)時(shí)速率為7 m·s－1，該處可看作半徑R＝7 m 的圓的一部分，則戰(zhàn)士乙在最低點(diǎn)時(shí)繩AP和PB受到的拉力.

分析(1)對滑輪受力分析，由平衡條件得F＝FT＝mg＝700N.

(2)戰(zhàn)士到達(dá)右側(cè)時(shí)，幾何關(guān)系如圖10-甲所示，則82＋(6＋h)2＝(14－h(huán))2，解得h＝2.4 m.由動(dòng)能定理得，解得W＝420J.

圖10

(3)戰(zhàn)士運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，幾何關(guān)系如圖10-乙所示，則AC＝8m，AD＝14m，所以

在最低點(diǎn)時(shí)由牛頓第二定律得2FTcosθ－mg＝，解得FT≈725.6N.

由牛頓第三定律知，繩子受到的拉力等于繩子對滑輪的拉力為725.6N.

此題除了對幾何作圖有一定要求外，本質(zhì)上仍然和前述問題一脈相承，和“猴子”問題一樣，戰(zhàn)士在最低點(diǎn)依然不是平衡態(tài)，只是水平方向上受力平衡，所以可以用掛衣架問題的幾何方程求出最低點(diǎn)的位置.由于戰(zhàn)士的軌跡是橢圓，于是在使用向心力公式時(shí)要注意用曲率半徑，這也是對前述問題的一個(gè)補(bǔ)充拓展.

(完)