高中物理電源輸出功率最大的條件論證及應(yīng)用技巧

孫萬兵

(甘肅環(huán)縣第五中學(xué))

在閉合電路中，電源提供的功率等于內(nèi)外電路消耗的功率之和，對于含有可變電阻的純電阻電路，可變電阻的阻值變化直接影響著電源的總功率，也影響著閉合電路中各部分的功率分配.電源的最大輸出功率是電源性能的重要標(biāo)志之一，求電源輸出功率最大值的問題也是電功率這部分內(nèi)容的難點(diǎn)，學(xué)生雖經(jīng)反復(fù)練習(xí)，但仍不得其法.筆者經(jīng)過調(diào)查得知，學(xué)生出錯的根本原因在于不理解功率取最大值的條件.本文就電源輸出功率最大的條件論證及應(yīng)用，結(jié)合筆者自己的經(jīng)驗(yàn)談一些粗淺的認(rèn)識，供參考.

1 基本規(guī)律及條件論證

1)當(dāng)電源電動勢E和內(nèi)阻r一定，外電路的電阻R可變時，電源的輸出功率在滿足條件R＝r的情況下，可取得最大值.下面用多種方法對此結(jié)論加以證明，希望讀者從中選擇適合自己認(rèn)識的證法，以加深對電源輸出功率最大條件的理解.

證明1公式法

電源的輸出功率，即消耗在外電路電阻上的功率P＝I2R，據(jù)閉合電路的歐姆定律有，所以

根據(jù)公式“若a、b均為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，a＋b取最小值，為，可得式②分母中，當(dāng)(即R＝r)時，取最小值，為，因而，當(dāng)R＝r時電源的輸出功率有最大值，為.

證明2解析法

將式①變形為

當(dāng)式③分母中(R－r)2＝0(即R＝r)時，分母取最小值4r，此時電源有最大輸出功率

證明3利用二次函數(shù)的極值

若路端電壓為U，電路中電流為I，則外電路中消耗的功率應(yīng)為P＝UI，而據(jù)閉合電路的歐姆定律有

所以電源輸出功率可以表示為

由式⑤可以看出，輸出功率P是電流I的二次函數(shù)，且二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，因而當(dāng)電流(此時R＝r)時，電源輸出功率有最大值，即

證明4圖像法

根據(jù)式④作出路端電壓隨電路中電流變化的圖像(如圖1)，圖像上任意一點(diǎn)N所對應(yīng)的路端電壓為U，電流為I，則這時消耗在外電路上的功率P＝UI可以用圖中矩形(畫斜線部分)的面積來表示.

圖1

從圖中可以看出，當(dāng)電路中電流很小或者很大時，圖中矩形的面積均較小，而只有當(dāng)時，即時，矩形面積最大，即電源的輸出功率最大值.

證明5利用導(dǎo)數(shù)求極值

式①中P對R求導(dǎo)數(shù)可得

令P′(R)＝0可得，R＝r(R＝－r無意義，舍去)時，輸出功率有極值.

2)當(dāng)電源電動勢E和外電路電阻R一定，而電源內(nèi)阻r可變時，由式①可得，r取值越小，輸出功率P越大.

2 應(yīng)用舉例

在實(shí)際應(yīng)用中，有些問題是求電源向整個外電路輸出的最大功率，這類問題可以直接應(yīng)用上述規(guī)律1)求解;有些問題是求外電路某一電阻或某一部分電路的最大功率，這類問題處理的常用方法是把求解對象等效看作外電路，而把其余電阻均等效看作電源內(nèi)阻的一部分，當(dāng)可變電阻包含在等效外電路中時，應(yīng)用規(guī)律1)求解，當(dāng)可變電阻包含在等效內(nèi)電路中時，應(yīng)用規(guī)律2)求解.

例1如圖2所示，定值電阻R1＝2Ω，R2為最大阻值為6Ω 的滑動變阻器，電源電動勢E＝12V，電源內(nèi)阻r＝3Ω.求:

圖2

(1)R1和R2消耗的總功率的最大值.

(2)R1消耗功率的最大值.

(3)R2消耗功率的最大值.

(1)R1和R2消耗的總功率就是電源的輸出功率，若R1和R2的總電阻為R，則當(dāng)R＝r＝3Ω(此時R2＝1Ω)時，R1和R2消耗的功率有最大值，最大值為

(2)把R1單獨(dú)看作外電路，而把R2等效看作電源內(nèi)阻的一部分，此時等效電源內(nèi)阻r1是可變的，且r1＝r＋R2，當(dāng)R2＝0時，r1取值最小為r，此時R1的功率最大，為

(3)把R2單獨(dú)看作外電路，而把R1等效看作電源內(nèi)阻的一部分，此時的等效電源內(nèi)阻r2＝r＋R1＝5Ω，因而當(dāng)R2＝r2＝5Ω 時，R2的功率有最大值，為

當(dāng)求解最大功率的對象是可變電阻(或包含可變電阻)時，如果求解對象的總電阻變化到極限值還未能達(dá)到電源內(nèi)阻(或等效電源內(nèi)阻)，則求解對象的總電阻取最接近電源內(nèi)阻(或等效電源內(nèi)阻)的值時，其功率取得最大值.

例2如圖3所示，電源電動勢恒為12V，電源內(nèi)阻r＝3Ω，定值電阻R1＝6Ω，R3＝15Ω，R2為一滑動變阻器，最大阻值為6Ω.求:

圖3

(1)R1和R2消耗功率的最大值.

(2)R2和R3消耗功率的最大值.

(1)把R1和R2看作外電路，則等效外電阻R外1＝R1＋R2.把R3等效看作電源內(nèi)阻的一部分，這時等效電源內(nèi)阻r1＝r＋R3＝18Ω，R外1阻值的變化范圍是6Ω≤R外1≤12Ω，當(dāng)R2＝6Ω 時，R外1＝12Ω，R外1最接近r1，此時，R1和R2消耗功率有最大值，即

(2)同理，R外2＝R2＋R3，其變化范圍是15Ω≤R外2≤21 Ω，r2＝r＋R1＝9 Ω，因而當(dāng)R2＝0時，R外2＝15Ω，R外2最接近r2，所以R2和R3消耗功率最大值

(完)