傾斜海床下偶極子產(chǎn)生標(biāo)量電位的表達(dá)式推導(dǎo)?

馮亞敏 吳 旭 王 航陳 聰

（1.海后軍需能源質(zhì)量監(jiān)督站 北京 100080）（2.海軍工程大學(xué)基礎(chǔ)部 武漢 430033）

1 引言

近些年來，隨著艦船消聲消磁技術(shù)的提高和電磁場探測(cè)技術(shù)的發(fā)展，艦船水下腐蝕相關(guān)靜態(tài)電場（Corrosion Related Static Electric Field，CRE）已成為艦船定位、水中兵器引信的新的重要信號(hào)源［1～7］。電偶極子作為最基本的電結(jié)構(gòu)，其產(chǎn)生的場可以直接用來模擬某些輻射場，且一定分布的電偶極子的組合理論上可以用來模擬任意電流分布產(chǎn)生的場，因此國內(nèi)通常利用偶極子模型進(jìn)行艦船電磁場分布模擬［8～10］。本文正是以水平直流電偶極子對(duì)場源進(jìn)行模擬，以求得艦船水下標(biāo)量電位的表達(dá)式。目前，已有研究者借助鏡像法推導(dǎo)位于海水中的靜態(tài)電偶極子在全空間中的電場分布表達(dá)式［11～13］，但這方面的研究基本都是針對(duì)空氣—海水—海床平行分層環(huán)境來開展的，針對(duì)空氣—海水—傾斜海床模型開展的研究很少。

真實(shí)海洋環(huán)境中，特別是在大陸邊緣的大陸坡部分，海床是以一定的坡度向海洋底延伸的［14］。以臺(tái)灣海峽為例，該海峽平均水深60m，東南部海床坡度較大，想要在這些水域?qū)ε灤M(jìn)行探測(cè)，則必不可少得要針對(duì)空氣—海水—傾斜海床模型開展研究。海軍工程大學(xué)的熊露雖針對(duì)空氣—海水—傾斜海床模型，推導(dǎo)出了電場分布的解析表達(dá)式［15］，但推導(dǎo)出的電場分布的解析表達(dá)式比較復(fù)雜，難以滿足工程應(yīng)用的需要。據(jù)此本文以水平直流電偶極子模擬場源，針對(duì)空氣—海水—傾斜海床三層模型，利用靜電場的鏡像法，推導(dǎo)出了海水中的水平直流電偶極子在海水、空氣及海床中產(chǎn)生的標(biāo)量電位分布的解析表達(dá)式。所得表達(dá)式滿足唯一性定理，可滿足工程應(yīng)用的需要。工作為進(jìn)一步研究艦船水下腐蝕相關(guān)電場的場分布問題奠定了基礎(chǔ)，同時(shí)為艦船目標(biāo)的探測(cè)提供了新的思路。

2 半無限大空間中任意直流電偶極子標(biāo)量電位分布的鏡像法求解

2.1 存在海水與空氣分界面

若存在海水與空氣的分界面，如圖1所示，分界面取為z=0平面。ε、σ分別表示媒質(zhì)的電容率和電導(dǎo)率，下標(biāo)0、1分別代表空氣、海水場域。任意方向電偶極子Pe=Idl位于海水中(x0,y0,z0)處，與z=0平面所成的角度為，并且規(guī)定：電偶極子沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ后與z=0平面平行，則θ取正。場點(diǎn)位于(x,y,z)。

圖1 存在空氣—海水分界面時(shí)鏡像法求任意方向電偶極子在海水中的場

將任意方向偶極子源Idl（偶極子平行于y=0平面）分解為水平電偶極子Idxi（偶極子方向平行于x方向）和垂直電偶極子Idzk（偶極子方向平行于z方向），即：

當(dāng)場點(diǎn)位于海水中時(shí)，即z≤0，Idxi的像I′dxi位于(x0,y0,-z0)處，電偶極矩為I′dxi=Idlcosθi；Idzk的像I′dzk位于 (x0,y0,-z0)處，電偶極矩為I′dzk=-Idlsinθk。

其中：

2.2 存在海水與海床分界面

若存在海水與海床的分界面，如圖2所示，分界面取為z=0平面。下標(biāo)1、2分別代表海水、海床場域。設(shè)任意方向電偶極子Pe=Idl仍位于海水中(x0,y0,z0)處，與z=0平面所成的角度為，并且規(guī)定：電偶極子沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ后與z=0平面平行，則θ取正。場點(diǎn)位于(x,y,z)。設(shè)

圖2 存在海水—海床分界面時(shí)鏡像法求任意方向電偶極子在海水中的場

具體求解過程同2.1節(jié)，可求得：

當(dāng)場點(diǎn)位于海水中時(shí)，即z≥0，Pe的像位于(x0,y0,-z0)處，且電偶極矩為ηIdlcosθi-ηIdlsinθk，場點(diǎn)(x,y,z)處的標(biāo)量電位為

當(dāng)場點(diǎn)位于海床中時(shí)，即z≤0，Pe的像位于(x0,y0,z0)處，和源位于同一位置，兩者合起來相當(dāng)于電偶極子，且 電 偶 極 矩 為場 點(diǎn)(x,y,z)處的標(biāo)量電位為

3 空氣—海水—傾斜海床下水平直流電偶極子的標(biāo)量電位分布

3.1 海水區(qū)域中的場

當(dāng)待求場點(diǎn)位于海水中時(shí)，水平直流電偶極子在兩個(gè)界面之間不斷“鏡像”，場點(diǎn)處產(chǎn)生的場可以用圖3所示的無窮多個(gè)鏡像電偶極子在無限大的海水空間分別產(chǎn)生的場的疊加來代替。

圖3 場點(diǎn)在海水中時(shí)的像分布

則位于海水中場點(diǎn)(x,y,z)處的標(biāo)量電位為全空間所有電偶極子的標(biāo)量電位的和，即：

其中：r0k表示場點(diǎn)相對(duì)于空氣中第k個(gè)像位置坐標(biāo)的位置矢量，

r2k表示場點(diǎn)相對(duì)于海床中第k個(gè)像位置坐標(biāo)的位置矢量，

將式（6）、（7）帶入式（8）可得：

3.2 空氣和海床區(qū)域中的場

由前可知，存在兩個(gè)分界面時(shí)海水中的一個(gè)水平直流電偶極子在海水中產(chǎn)生的場分布，等同于只存在空氣—海水一個(gè)分界面時(shí)，海水中下述電偶極子在海水中產(chǎn)生的場分布。

設(shè)(xka,yka,zka)表示海水里第k個(gè)源的位置坐標(biāo)，Pka表示其偶極矩，k=0,1,2…，則源的位置及相應(yīng)的電偶極矩為

圖4 場點(diǎn)在空氣中時(shí)的等效場源

因此，如圖4所示，求存在兩個(gè)分界面時(shí)海水中的一個(gè)水平電偶極子在空氣中產(chǎn)生的場分布，等于求只存在空氣—海水一個(gè)分界面時(shí)，海水中上述電偶極子在空氣中產(chǎn)生的場分布。結(jié)合第2節(jié)的結(jié)論，空氣中場點(diǎn)(x,y,z)處的標(biāo)量電位為

其中：rka表示場點(diǎn)相對(duì)于海水中上述各電偶極子位置坐標(biāo)的位置矢量

同理可求得海床中場點(diǎn)(x,y,z)處的標(biāo)量電位為

其中：rkb表示場點(diǎn)相對(duì)于海水中上述各電偶極子位置坐標(biāo)的位置矢量

3.3 標(biāo)量電位表達(dá)式正確性的證明

由式（10）、式（11）和式（12），易證：

同理，Φ海床的正確性也可以得到證明。可見，推導(dǎo)出的標(biāo)量電位表達(dá)式滿足分界面兩邊標(biāo)量電位及電流密度的法向分量連續(xù)的邊界條件。由唯一性定理可知，本文推導(dǎo)標(biāo)量電位表達(dá)式的方法可行，結(jié)果正確。

4 結(jié)語

本文為推導(dǎo)傾斜海床下艦船水下標(biāo)量電位的表達(dá)式，以水平直流電偶極子對(duì)艦船場源進(jìn)行模擬，利用靜電場的鏡像法，通過求解半無限大空間中任意直流電偶極子產(chǎn)生的標(biāo)量電位分布表達(dá)式，進(jìn)而求得空氣—海水—傾斜海床三層模型下，場源和各鏡像源的場點(diǎn)坐標(biāo)及相應(yīng)的偶極矩，線性疊加場源和各鏡像源在場點(diǎn)產(chǎn)生的標(biāo)量電位，從而推導(dǎo)出了三層模型下海水中的水平直流電偶極子在海水、空氣及海床中產(chǎn)生的標(biāo)量電位分布表達(dá)式，并對(duì)所得表達(dá)式的正確性進(jìn)行了證明。

結(jié)論如下：

1）因?yàn)橥茖?dǎo)出的標(biāo)量電位表達(dá)式滿足分界面兩邊標(biāo)量電位及電流密度的法向分量連續(xù)的邊界條件，所以由唯一性定理可知，鏡像法可用于傾斜海床下標(biāo)量電位表達(dá)式的推導(dǎo)，且推導(dǎo)出的結(jié)果正確。

2）所推導(dǎo)出的標(biāo)量電位表達(dá)式，能滿足工程應(yīng)用的需要，便于后續(xù)實(shí)際應(yīng)用。