山西稷王山磚塔地震動力響應及損傷分析

姜珊 李建博 趙慧強 肖迎九 路國運

摘 要：采用數(shù)值分析方法對山西稷王山古塔在不同地震作用下的破壞形態(tài)及損傷進行計算分析，為古塔的抗震加固提供依據(jù)，采用塑性損傷本構(gòu)計算模型描述地震作用下砌體結(jié)構(gòu)的損傷失效，給出古塔在不同調(diào)幅系數(shù)地震波作用下的位移形態(tài)，獲得層間位移、加速度放大系數(shù)等地震響應數(shù)值，討論了地震引起的損傷分布規(guī)律。結(jié)果表明，稷王山古塔整體剛度分布均勻，塔頂加速度放大系數(shù)最大，盡管古塔底部墻體厚于上部，但在地震作用下仍在底層首先出現(xiàn)受拉損傷，并隨地震強度提高而向上擴展;應力云圖顯示，地震作用下古塔底層最大主拉應力區(qū)呈斜向上擴展形態(tài)，易使塔體形成斜向裂縫;古塔薄弱層為底部3層及頂層。

關(guān)鍵詞：磚石古塔;地震響應;有限元模擬;損傷因子;應力分析

中圖分類號：TU365 文獻標志碼：A 文章編號：2096-6717（2022）02-0165-09

基金項目：山西省自然科學基金（201901D111089）

作者簡介：姜珊（1989- ），女，博士生，主要從事結(jié)構(gòu)動力學性能研究，E-mail：jiangshan0248@163.com。

路國運（通信作者），男，教授，博士生導師，E-mail：luguoyun@tyut.edu.cn。

Abstract： In this paper， the failure mode and damage of pagoda on Shanxi Jiwang Mountain under different earthquakes were calculated and analyzed by numerical method， which provides a basis for the seismic reinforcement of Jiwang pagoda. The plastic damage constitutive model was applied to describe the damage failure of masonry structures under earthquake. The displacement forms of the ancient pagoda under the action of seismic waves with different amplitude-modulation coefficients were given，the seismic responses values such as interlayer displacement and acceleration amplification factors were obtained， and the distribution rules of earthquake-induced damage were discussed. The results show that the overall stiffness distribution of the pagoda on Jiwang Mountain is uniform， and the acceleration amplification factor at the top pagoda is the greatest. Although the bottom wall of the pagoda is thicker than that on top， the tensile damage still initiated from the bottom under earthquake， and it expands upward with increase of seismic intensity. The stress contours show that the maximum principal tensile stress area at the bottom of the pagoda under earthquake expands obliquely， which easily leads to the formation of oblique cracks in the pagoda. The weak layers of the pagoda are the bottom three layers and the top layer.

Keywords：masonry pagodas; seismic response; finite element simulation; damage factors; stress analysis

山西稷王山塔為7層密檐式磚塔，始建于北宋嘉祐二年（公元1057年），原為雙子塔，現(xiàn)僅殘存單塔，于2013年被列為國家重點保護文物。該塔具備中國磚塔中典型的密檐式形制，是現(xiàn)存年代較早的宋代建筑之一，保留了宋代建筑的風格特點，為宋金時期祭祀建筑類型及形制的演變提供了珍貴的實物資料。歷史上稷王山塔遭遇過多次地震，歷經(jīng)千年風化，塔身有多處裂縫及破損，亟需保護性修繕。前期關(guān)于古塔的保護工作主要圍繞結(jié)構(gòu)外形開展，只是將破損處補足即止，最大限度地保留古塔原有建筑歷史風貌。依據(jù)最新文物修繕原則，對塔的抗震性能進行評估，以獲取古塔的動力學特性并指導加固修繕的實施，使古塔有較好的抗震能力。

針對磚石古塔抗震性能及損傷識別的研究已有很多，但由于其漿砌的本質(zhì)，磚石結(jié)構(gòu)力學模型的準確描述很難獲得理想結(jié)果。潘毅等[1-2]歸納分析了汶川地震中磚石古塔的震害特征及形成機制，基于模糊數(shù)學理論提出了磚石古建筑震后破壞狀態(tài)評估方法。邱洪興等[3-4]提出了古塔的損傷區(qū)域判別分析法，采用條件分布損傷值估計來評估古塔震后的損傷識別，并將該方法用于崇教興福寺塔的地震損傷識別中。Ditommaso等[5]研究了包含塑性損傷本構(gòu)、連續(xù)損傷等砌體結(jié)構(gòu)震害后的動力特性。Valente等[6]、Sarhosis等[7]采用pushover法對意大利東北部的8座磚石古塔進行了地震響應計算，提出古塔地震作用安全系數(shù)簡化計算方法及極限加速度實用計算公式。李勝才等[8]基于顯式動力原理開展了磚石古塔地震作用下的動態(tài)非線性數(shù)值分析，描述了古塔外表面的損傷演化。張文芳等[9]以太原舍利生生塔磚結(jié)構(gòu)為研究對象，將磚塔視為正八邊形整截面墻體，通過計算單元拉壓負載系數(shù)來判別塔墻體失效模態(tài)。童麗萍等[10]對河南登封嵩岳寺在3種地震波調(diào)幅下的位移、加速度及應力狀態(tài)進行了數(shù)值計算。盧俊龍[11-13]等運用動力測試系統(tǒng)結(jié)合數(shù)值模擬，對陜西興教寺基師塔進行了自振頻率測試及損傷識別，對興教寺玄奘塔開展了縮比模型振動臺試驗，分析實心古塔頻域地震響應規(guī)律。張永亮等[14]用古塔砌體極限承載力及層間位移角評估磚石古塔的抗震性能，提出了以對穿錨桿及貫穿鋼筋為主、裂縫注漿為輔的抗震加固措施。

綜上可知，對于磚石古塔的抗震性能研究多采用理論研究及原位動力性能測試手段，砌體損傷區(qū)域判定多采用試驗與數(shù)值模擬相結(jié)合的方法，而將古塔的損傷、應力分析及結(jié)構(gòu)震后彈塑性狀態(tài)評估進行系統(tǒng)綜合研究較少。筆者對山西稷王山磚塔進行地震時程響應計算，對古塔在不同類型、不同調(diào)幅系數(shù)地震波作用下的彈塑性動力學響應、損傷演化及塔身應力分布等進行分析評估，探究古塔遭遇地震時的損傷機制。

1 稷王山磚塔工程概況

圖1所示為現(xiàn)存稷王山塔，共7層，各層截面自下而上向內(nèi)逐層收進，總高度16.315 m（由塔基地面最低處至坍塌頂部殘高），每邊均為1.9 m的磚質(zhì)八邊七級密檐式結(jié)構(gòu)。塔心內(nèi)填黏土，1層塔檐仿木構(gòu)磚雕輔作，其余各級塔檐均為疊澀式樣，每層塔外檐直檐均有缺失，塔剎不存，塔頂塌毀嚴重，碎磚散落，原形制不詳，風鐸缺失。1層塔身破損嚴重，大面為后人補砌，但補砌后的砌體也有開裂、傾斜狀。塔身整體由青磚灰漿砌筑而成，已有不同程度的酥堿、破損。表1列出了塔的具體尺寸。歷史上山西萬榮地區(qū)地震頻發(fā)，長期的環(huán)境侵蝕也使得某些部位的磚塊性能損傷過大，現(xiàn)有塔體的主要破損多由此引起[15]。筆者主要通過數(shù)值分析探究塔體形制在地震載荷作用下的動力響應及其引起的損傷失效，為后續(xù)進行古塔抗震加固提供依據(jù)。

2 有限元模型

根據(jù)古塔現(xiàn)有測繪數(shù)據(jù)，運用有限元計算軟件ABAQUS，對稷王山塔建立1∶1三維實體單元數(shù)值模型，如圖2所示。采用8節(jié)點六面體線性減縮積分單元進行古塔模態(tài)及地震彈塑性時程計算。

基于磚石的脆性損傷特性，磚石損傷本構(gòu)采用ABAQUS材料庫中的混凝土塑性損傷模型。具體參數(shù)參考文獻[16]，塑性損傷基本參數(shù)取膨脹角為40°，偏心率為0.1，雙軸抗壓強度與單軸抗壓強度比值為2，拉壓子午線上第二應力不變量比值為0.666 7，黏性參數(shù)為0.005[16]。

受壓模型選取文獻[17]中的砌體受壓應力應變關(guān)系曲線，如式（1），按彈性余能等效原理計算受壓損傷變量，表達式如式（2）。

式中：σc為砌體壓應力;εc為砌體壓應變;η為砌體彈性割線模量與初始彈性模量之比，取1.633;fc為砌體軸心抗壓強度設計值;ε0c為砌體軸心受壓強度設計值對應的壓應變值;Dc為砌體單軸受壓損傷變量。

受拉損傷本構(gòu)模型選取文獻[16]中混凝土受拉應力應變關(guān)系曲線，如式（3）?？紤]受拉損傷在拉應力峰值后開始發(fā)生，其受拉損傷變量根據(jù)能量等效原理按式（4）確定。

式中：σt為砌體拉應力;εt為砌體拉應變;ft為砌體軸心抗拉強度平均值;ε0t為砌體軸心受拉強度設計值對應的拉應變值;Dt為砌體單軸受拉損傷變量。受壓及受拉損傷變量的取值范圍均為0～1。

對稷王山塔現(xiàn)場采集的殘磚進行抗壓強度試驗，獲得的結(jié)果與宋代青磚抗壓強度[18]基本相近?？紤]古塔已有不同程度裂縫損傷，計算時取砌體密度為2 000 kg/m3，彈性模量為1 250 MPa，泊松比為0.15，阻尼比為5%。塔內(nèi)部填充黏土，密度取為1 900 kg/m3，彈性模量為26 MPa，泊松比為0.2?？箟簭姸仍O計值fc為3.15 MPa，峰值壓應變ε0c取0.04，參照混凝土拉壓強度換算關(guān)系，取軸心抗拉強度均值ft為0.089 MPa，對應拉應變?yōu)?.000 12。

3 動力性能分析

3.1 模態(tài)分析

對稷王山古塔進行模態(tài)分析并提取其振型及頻率，如圖3所示。稷王山塔為對稱式密檐古塔，塔在水平方向前兩階振型呈1階彎曲型，分別為x（代表東西方向）和y（代表南北方向）方向，頻率為2.21 Hz;第3、4階振型以2階彎曲平動為主，頻率為7.29 Hz。前4階振型兩兩對稱，結(jié)構(gòu)的第5階振型為扭轉(zhuǎn)振型，頻率遠大于前兩階振型，這與塔的軸對稱筒狀結(jié)構(gòu)構(gòu)型有關(guān)。

依據(jù)文獻[19]驗算塔體結(jié)構(gòu)自振頻率，其推薦的磚石古塔水平固有頻率經(jīng)驗公式為

式中：fj為古塔的第j階固有頻率，Hz;H為塔總高度（由臺基頂至塔剎根部的高度），m;b0為結(jié)構(gòu)底部寬度（八邊形取兩對邊寬度）;αj為結(jié)構(gòu)第j階固有頻率綜合變形系數(shù)，其值根據(jù)H/bm與H/b0查表確定;bm為塔高H范圍內(nèi)各層寬度對層高的加權(quán)平均值，m;ψ為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量剛度參數(shù)，m/s，磚塔取ψ=5.4H+615，石塔取ψ=2.4H+591。

由式（5）計算得到稷王山塔自振頻率并與數(shù)值計算結(jié)果進行對比，結(jié)果見表2。其中，自振頻率最大誤差為5.6%，這是由于數(shù)值模型與理論計算公式存在力學簡化上的差異，但誤差較小。因此，有限元計算模型可用于后續(xù)的地震彈塑性動力響應分析。

3.2 地震響應分析

根據(jù)抗震設計規(guī)范[20]確定古塔的地震計算參數(shù)，考慮高聳孤立山丘等不利地段對設計地震動參數(shù)的放大作用，按7度（0.15g）抗震設防，場地類別為Ⅱ類，設計地震分組為第3組，選取地震波對古塔進行地震時程響應分析。選取兩條實測波及一條人工波用于稷王山塔地震時程分析。

根據(jù)場地類別及古塔自振周期選取實測波EI-Centro波、TAR-TARZANA波及蘭州波作為地震波分別輸入數(shù)值模型，并按7度（0.15g）多遇、設防、罕遇地震（小震、中震、大震）的峰值加速度進行調(diào)幅，即分別調(diào)幅至55、150、310 cm/s2，地震動持續(xù)時間截取包含峰值段的15 s。在模型x軸方向加載不同地震波進行古塔地震動力響應計算。

1）位移響應

圖4為設防EI-Centro地震波作用下古塔不同高度的位移時程曲線，可知塔身位移時程波形基本一致而幅值有差異，未出現(xiàn)明顯位移相位差，塔身整體剛度較均勻，古塔的位移響應為低階平動響應，塔頂位移響應最大，最大水平位移幅值達44 mm。塔中層、頂層位移反應分別在13、6 s后向一側(cè)偏移，并產(chǎn)生了殘余位移，這是由于振動后期塔體損傷逐步向上部塔身擴展，結(jié)構(gòu)進入塑性階段所致。

圖5給出了采用兩種結(jié)構(gòu)阻尼比時TAR-TARZANA波作用后的塔體層間位移，可見古塔底層的層間位移最大，第2層層間位移迅速減小，形成拐點;小震時，3層以上塔層間位移變化幅度較小，

未出現(xiàn)明顯突變;而中震、大震時，塔的層間位移在第2層及第6層均出現(xiàn)拐點，整體趨勢已有高階模態(tài)特征。進一步對比結(jié)構(gòu)阻尼比為3%和5%時的層間位移響應，可知阻尼比的變化對小震及中震作用時塔層間位移影響較小，但對大震作用下塔層間位移影響較大，表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)阻尼比越小，塔層間位移越大，不同阻尼比對應塔層間位移的差別小于7%。

采用地震彈塑性分析中的層間位移角進行古塔震后彈塑性狀態(tài)評估。按照位移角評估準則取彈性層間位移角限值為1/550，彈塑性極限階段的層間位移角為1/100～1/200[20]。以TAR-TARZANA波作用下塔的層間位移角為例，如圖6。小震時，塔的層間位移角隨塔高變化不大，塔身均處于彈性階段;中震作用下，塔的首兩層及以下層間位移角較小，塔身處于彈性階段，第3層位移角增大至1/458，塔身進入彈塑性階段，第4層至第6層位移角較大，達1/389，塔身處于彈塑性階段與彈塑性極限階段之間，結(jié)構(gòu)中等破壞;大震作用下，塔身首兩層進入彈塑性階段，而3層至塔頂均處于彈塑性極限階段，結(jié)構(gòu)剛度退化，結(jié)構(gòu)破壞較嚴重，其中第5層層間位移角最大達1/197。以上分析表明，古塔若遭受中震以上地震作用，塔層間位移角較大，結(jié)構(gòu)上部為彈塑性極限狀態(tài)，有倒塌的風險。

2）加速度響應

對比分析多遇、設防及罕遇EI-Centro地震波作用下的塔頂加速度時程曲線，如圖7。不同調(diào)幅波作用后，塔頂加速度響應趨勢基本一致，塔對不同調(diào)幅地震波的放大效應不同，總體表現(xiàn)為加速度幅值隨地震波調(diào)幅的增大而增大。小震作用下，塔的加速度時程曲線較穩(wěn)定;而中震和大震時，塔對地震波的加速度響應后期仍出現(xiàn)較多峰值，這與強震作用下塔身損傷程度較大有關(guān)。

每層加速度響應幅值與相應的調(diào)幅波加速度時程幅值之比為塔每層的動力放大系數(shù)，如圖8所示。由圖8可見，塔頂?shù)募铀俣确糯笮畲?，原因在于塔頂?shù)慕孛鎰偠茸钚?，地震響應較大，且現(xiàn)有古塔塔頂已有較嚴重的破損，若再經(jīng)受較大地震會加劇塔頂破損。整體分析可知，多遇地震調(diào)幅下的動力放大系數(shù)較大，這是因為中震或大震作用下古塔砌體進入彈塑性階段并發(fā)生彈塑性損傷，因此，消耗的塑性能較大，對地震加速度的響應較小。此外，由于結(jié)構(gòu)對于3種不同頻率特征的地震波產(chǎn)生的變形模態(tài)不同，在振幅及持續(xù)時間均相同的條件下，同等強度的3種地震波作用后的加速度放大曲線差異較大，其中，古塔的自振周期與EI-Centro波的特征周期最接近，因此，加速度響應較TAR-TARZANA波更大，但塔對人工波的加速度響應更顯著。

3）結(jié)構(gòu)損傷分析

采用ABAQUS嵌入的塑性損傷本構(gòu)模型計算可以直觀地反映出地震作用下古塔的損傷區(qū)域及損傷過程，由于磚砌體在剪力較大時極易產(chǎn)生剪切破壞以致開裂[9]，地震損傷部位為地震剪力較大部位，由此判斷地震剪力對古塔損傷的影響。圖9～圖11為稷王山塔在EI-Centro波作用后的損傷云圖，其中（a）為受拉損傷云圖，（b）為受壓損傷云圖。同時，提取損傷時程曲線分析結(jié)構(gòu)的損傷起始時間及損傷值大小，見圖12。

由損傷云圖可知，小震時，如圖9所示，古塔受拉受壓損傷均較小，僅在1層底部及2層塔底局部產(chǎn)生了受拉損傷，但未見大面積損傷破壞。中震時，如圖10所示，塔底首先在地震波的振動方向發(fā)生受拉損傷，且由下至上損傷區(qū)域明顯增多，塔身4層以下受拉損傷面積較大，受壓損傷值較小。大震作用下，如圖11和圖12所示，各層塔身出現(xiàn)受拉損傷的時間更早，塔底在地震波加載至1 s時首先出現(xiàn)受拉損傷，且沿地震波加載方向迅速擴展，同時自下而上傳遞至塔頂，1～4層塔身受拉損傷因子較大，均達到0.9以上，損傷較嚴重，第5層塔身最終損傷值也較中震的更大。塔底層至3層出現(xiàn)受拉損傷的時間較早且最終損傷因子較大，是塔身材料最易破壞的薄弱區(qū)域。這是由于地震作用下古塔的剪力和彎矩在底部最大，沿塔高逐層遞減，因此，塔底首先出現(xiàn)受拉損傷。另外，古塔截面逐層向內(nèi)縮進，截面剛度發(fā)生突變，大震作用下截面剛度突變引發(fā)的應力集中愈發(fā)嚴重，因此，損傷區(qū)域多集中在每層塔身底部且由底層向上蔓延。由以上分析可知，塔底3層是加固的重點部位。

4）應力狀態(tài)分析

古塔砌體是單軸抗拉強度遠小于單軸抗壓強度的脆性材料，而地震荷載作用下砌體墻的裂縫多因主拉應力超過其軸心抗拉強度而受拉破壞，因此，可采用單元主拉應力大于材料軸心抗拉強度時發(fā)生開裂破壞作為判別砌體單元失效的準則。

圖13～圖14為稷王山塔在中震及大震作用下的最大主應力分布圖。圖中標識了最大主拉應力超過砌體抗拉強度值的起始時間及初始開裂區(qū)域。由圖可知，在3種波作用下，最大主拉應力迅速在塔底層及2層斜向上開展并大面積超過古塔砌體的抗拉極限值，表明裂縫斜向上開展。EI-Centro波作用下的主拉應力出現(xiàn)時間較早并集中于塔底加載一側(cè)，古塔底層加載一側(cè)的主應力大面積超過砌體的抗拉強度，除沿地震波加載方向外，塔體其他立面也相繼出現(xiàn)斜向裂縫。大震作用下的最大主拉應力出現(xiàn)時間更早，裂縫向上擴展的塔層更多，開裂區(qū)域面積更大。

4 結(jié)論

通過對山西稷王山古塔進行模態(tài)分析及地震時程動力響應計算，得出以下主要結(jié)論：

1）運用磚石塑性損傷本構(gòu)模型并引入損傷因子，依據(jù)磚石砌體材料基本力學性能及地震動力計算基本參數(shù)，實現(xiàn)了稷王山古塔地震時程響應數(shù)值模擬。

2）加速度放大系數(shù)表明塔對3種波的動力響應程度有差異。小震時，塔體處于彈性階段，整體性較好;中震及大震作用下，塔體逐漸進入彈塑性極限階段，塑性能消耗增大，加速度放大效應減弱。

3）塔體損傷因子表明塔體主要以受拉損傷為主，損傷區(qū)域在塔首層最大，且由下至上逐步擴散。隨著地震波調(diào)幅系數(shù)的增大，損傷起始時間越早，損傷區(qū)域擴散越明顯，震害越嚴重。應力分析表明，塔的最大主拉應力超過砌體抗拉強度即引起塔體開裂，在中震及大震作用下，裂縫在加載初始階段出現(xiàn)于塔底并向斜上方擴展，易使塔體形成多立面斜向裂縫。

4）古塔結(jié)構(gòu)地震損傷結(jié)果表明：塔底層至3層裂縫損傷嚴重，需做重點修補加固;塔頂由于地震放大效應導致破損較嚴重，需做重點修復補砌。

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（編輯 黃廷）

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