3D 打印模型在光彈性法教學中的應用研究1)

任張瑜 謝惠民 鞠 楊

?(清華大學航天航空學院應用力學教育部重點實驗室，北京 100084)

?(中國礦業(yè)大學(北京)，煤炭資源與安全開采國家重點實驗室，北京 100083)

準確表征和直觀顯示材料內部應力場是分析結構力學行為、研究其失效破壞過程的基礎。光測力學是實驗力學的重要分支之一，其結合現代光學方法進行物體力學參數的測量與表征，如表征應力場的光彈性法、表征變形場的幾何云紋法、云紋干涉法、數字圖像相關法等。其中，作為一種能夠直觀顯示材料內部全場應力分布的方法，光彈性法測試技術的發(fā)展在工程應用中備受重視。目前，光彈性法已成為光測力學方法教學中的重要內容[1-2]。光彈性法是建立在諾埃曼-麥克斯韋應力-光學定律基礎上的應力分析方法[3]。該方法主要利用光敏樹脂材料的暫時雙折射效應，即當處于偏振光場中的模型受力時，偏振光穿過模型，沿不同的折射方向傳播，在不同折射方向上形成的光程不同[4-5]。當不同折射方向的光線穿過檢偏鏡后，在檢偏鏡光軸方向上發(fā)生干涉，便形成光彈條紋，這些條紋可以表示不同折射主軸方向上的光程差信息，根據應力-光學定律便可將光程差轉化為主應力差和主應力方向信息[6]，進而可以直觀地顯示二維和三維模型中全場應力的分布狀態(tài)。根據測量模型的不同，可以將其分為二維光彈性法和三維光彈性法，其中，二維光彈性法以其操作簡單，光彈條紋直觀可視等優(yōu)點，已成為測試方法的核心教學內容之一。

光彈性法主要分為如下三個步驟[5,7]。(1) 模型制備，即基于幾何相似條件，設計真實物體的相似模型，利用環(huán)氧樹脂、聚碳酸酯等具有暫時雙折射效應的透明樹脂材料澆鑄模型，模型成型后，進行退火處理，消除模型內部的殘余應力；(2) 光彈條紋形成，即將光彈模型置于光彈性光路中，根據真實物體的邊界條件施加模型邊界載荷，得到模型內部的光彈性條紋圖；(3)應力場提取，即基于條紋分析技術，如相移法、載波法等，處理光彈性條紋圖，得到模型內部的應力場信息。其中，光彈性模型的成功制備是光彈性法得以應用的前提。目前，一般采用傳統(tǒng)光彈性澆鑄方法制備模型，存在制作周期長，成本高，模型殘余應力大，難以制備內嵌復雜結構的模型等問題，相關問題限制了光彈性法的發(fā)展、應用[8-11]。同時，傳統(tǒng)光彈性模型制備多以環(huán)氧樹脂為原料，加入固化劑、增塑劑等材料，澆鑄固化成型，模型制作過程中，會產生有較強刺激性氣體，不利于在課堂教學中直接展示和應用[4]。

近年來，3D 打印技術，特別是以光敏樹脂為原材料的3D 打印技術快速發(fā)展，為光彈性模型的高效制備提供了有效的新方法[12]。文獻[13-16]采用具有應力雙折射效應的3D 打印材料，制備了含有與天然巖體內部復雜孔隙、裂隙、顆粒等結構一致的三維物理模型，并將其用于三維應力光彈法凍結試驗，實現了復雜巖體結構內部三維應力場的可視化測量。Amini 等[17]利用3D 打印技術制備復雜形狀的顆粒模型，并結合光彈法研究了其受載時內部應力分布情況。

為了簡化光彈性模型的制作過程，降低模型的殘余應力，提高復雜結構模型的制備能力，促進光彈性方法在實驗教學中的應用，本研究將3D 打印技術(PolyJet) 引入光彈性實驗力學方法的教學中，利用光敏樹脂打印制備模型。以光彈性法教學中常用的圓盤模型為例，展示了基于3D 打印技術的光彈性模型制備過程，實驗結果表明: 3D 打印光彈性模型具有工藝殘余應力低，成型精度高，制作周期短等優(yōu)點。本文研究中，以圓盤和圓環(huán)模型的對徑壓縮試驗為例，結合相移法和條紋解包裹技術，計算了模型內部的等傾線和等色線分布。通過受壓圓盤中心區(qū)域條紋級數與其理論解的對應關系，求解了該3D 打印模型材料的光彈性應力條紋值。打印制備了含有不同形狀孔隙的實驗模型，豐富了實驗教學內容。將3D 打印技術引入光彈性方法的教學過程中，實現了光彈性法從數字光彈模型設計，物理模型制備，光彈性條紋圖采集，應力場提取等全過程的展示，可以使學生對光彈性方法、技術有更直觀認識和深入的理解，為進一步進行工程結構的測量應用奠定基礎。

1 光彈性模型制備

3D 打印制備光彈性模型分為數字模型設計和模型打印兩個步驟，首先借助三維模型設計軟件，如AutoCAD, Solidworks 等設計所需的數字模型，然后將設計的三維數字模型導入3D 打印機，進行物理模型打印。本實驗中，采用AutoCAD 軟件設計了圓盤和圓環(huán)模型，將數字模型以STL 文件格式導出，該文件既包含了模型的幾何尺寸信息，同時可以與打印機控制軟件匹配、對接。我們利用Stratasys 公司的3D 打印機(型號為Objet Connex500) 進行模型的打印，如圖1(a)所示。該打印機采用的是光固化成型SLA (stereo lithography appearance)中的Polyjet打印技術，最大成型體積為50 cm×40 cm×20 cm。該技術通過打印噴頭將液態(tài)的光敏樹脂噴涂到模型設計的區(qū)域，紫外線光源隨打印噴頭移動，保證打印噴頭噴涂的液體樹脂能夠快速固化成型，模型厚度隨打印過程逐層增加，最后完成整個模型的打印[18]。該打印機功能豐富，可實現多種材料混合式打印[13]，其最小打印厚度為16 μm，具有較高的成型精度。PolyJet 打印技術的打印過程可以參考其公司網頁說明 (https://www.stratasys.com/polyjettechnology)。打印中，圓盤試件的打印方向和厚度堆積方向如圖1(b) 所示。研究表明，沿Z方向堆積成型的模型具有最好的透光性[15]，層間界面位于與圖1(b)所示的X和Y軸垂直的平面上，對與Z軸垂直的平面影響最小，所以層間界面對光彈性成像的影響可以忽略，打印模型完全能夠滿足光彈性技術的要求。圖1(c) 展示了打印成型后的圓盤試件及其幾何尺寸。

圖1 (a) Objet Connex500 的打印機，(b) 打印方向和堆積方向，(c) 成型后模型，(d) 單色光源圓偏振光暗場條件下的光彈性條紋

采用Objet Connex500 打印機制備圓盤模型如圖1(c) 所示，所采用的液體光敏樹脂材料為RGD Veroclear810，打印圓盤模型質量約為20 g，所需時間約為54 min。模型制作效率遠遠高于傳統(tǒng)光彈性法，因為傳統(tǒng)的光彈性模型制備流程需要經歷液體配置、模具制備、澆鑄固化、脫模、退火等多個環(huán)節(jié)構成的復雜制造過程，制樣周期長、且制作中容易產生氣泡，影響制樣質量。而基于3D 打印機制備模型，整個模型制備過程都在打印機箱遮蔽的平臺上進行，既不會對室內環(huán)境產生影響，也可以隨時觀察模型制備進度，這為課堂教學展示提供了便利。為了測量3D 打印制備模型中殘余應力，將3D 打印的圓盤模型放置在以單色鈉光燈為光源的圓偏振光暗場光路中(該光路下，光彈條紋直接反映模型內部的應力場)，如圖1(d) 所示，未受載圓盤內部沒有明顯的光彈性條紋，說明3D 打印模型內部的殘余應力較小。

3D 打印技術為光彈教學實驗提供了模型制備新技術。圖2 為3D 打印制備的內含不同形狀孔隙結構的光彈性教學模型，豐富了課堂教學的內容。采用Polyjet 3D 打印技術制作光彈性模型還可以制備內含復雜非規(guī)則結構的三維模型，為了直觀展示3D打印制備復雜結構三維光彈性模型的能力，圖3(a)～圖3(c) 展示了從含有復雜裂隙結構的天然煤巖體到打印與其內部結構一致的光彈模型的過程，首先由CT 掃描獲取其內部的裂隙結構，然后通過數字圖像處理建立其三維數字模型，最后導入3D 打印機進行打印，從圖3(c) 可以看出基于3D 打印技術可以制備含缺陷的復雜模型結構，缺陷結構幾何形狀可以靈活設計、位置可任意調整[12]，且一次成型，提升了制樣效率。

圖2 不同結構的光彈性法教學模型，內含(a) 正方形，(b)等邊三角形，(c) 圓形，(d) 小曲率橢圓形(長軸: 短軸=2:1)和(e) 大曲率橢圓形(長軸:短軸= 8:1) 結構的教學模型

圖3 基于3D 打印技術制備的復雜結構模型，(a) 天然煤巖體模型，(b) 天然煤巖體內部復雜裂隙結構的三維數字模型，(c) 打印煤巖體結構模型[13]

2 光彈性實驗

實驗中利用如圖4(a)所示的光彈性條紋測量系統(tǒng)采集的光彈條紋圖，該系統(tǒng)包括白光和單色光光源(鈉光燈)、起偏鏡、兩個1/4 玻片、檢偏鏡、CCD 相機和平面伺服加載系統(tǒng)。平面伺服加載系統(tǒng)對圓盤施加對徑壓縮載荷，利用CCD 相機捕捉光彈性條紋圖。為了保證準靜態(tài)加載條件，實驗中以0.05 mm/min的加載速度緩慢加載至1 500 N，然后分別拍攝單色光和白光光源下圓偏振光暗場時的光彈性條紋，如圖4(b)和圖4(c)所示。實驗結果表明,條紋清晰、對比度高，3D 打印材料具有較好的應力雙折射效應。

圖4 (a) 光彈性條紋測量系統(tǒng)，(b) 對徑壓縮圓盤(載荷為1500 N) 在白光光源的圓偏振光暗場下的光彈條紋圖，(c) 對徑壓縮圓盤(載荷為1500 N) 在以單色光光源(鈉光燈) 的圓偏振光暗場下的光彈條紋圖

3 相位求解

圓偏振光暗場條件下的光彈性條紋分布直接反映全場應力的分布，但是根據條紋的分布只能半定量或者定性反映模型內部的應力場。如果要定量計算模型內部全場應力分布，必須求解干涉形成的光彈性條紋對應的等傾線和等色線相位，以及將等色線相位轉換為應力場的材料應力條紋值。

3.1 對徑受壓圓盤內部的等傾線和等色線相位

光彈性法常用的相位解包裹有相移法、載波法、RGB 法等，其中相移法以其抗干擾能力強和全場快速求解的優(yōu)勢被廣泛應用。本文采用四步和六步相移法對模型內部全場等傾線和等色線相位進行求解。

四步相移法采用漫反射白光光源，光路設置如圖5(a) 所示，通過調整偏振片不同的光軸角度，拍攝不同光軸角度組合的4 幅彩色條紋圖(見圖5(c))，最后聯立彩色條紋圖的光強方程確定包裹等傾線相位[19-20]。平面偏振光路時透射光光強J為[4]

其中Ib和Ia分別為背景光強和光源光強，β為檢偏鏡光軸角度，δ為光程差。θ為等傾線相位，四步相移法不同組合的偏振片光軸角度和光強表達式見表1，α為起偏鏡光軸角度。表中光強Ji為紅、綠、藍光強的平均值，即Ji= (Jir+Jig+Jib)/3,i=1,2,3,4,Jir，Jig和Jib為彩色相機紅、綠、藍通道的光強[4]。通過聯立光強表達式可得

表1 四步彩色相移法不同偏振角度時的光強方程

需要注意的是，方程(2)中的反正切函數的取值范圍為(-π/2, π/2)，所以通過方程(2) 計算的等傾線相位在(0, π/4) 范圍內，通過解包裹方法可將其擴展到(-π/2, π/2) 范圍內(見圖5(e))[20]。

六步相移法采用單色光光源，光路設置如圖5(b)所示，通過調整不同的偏振片和1/4 玻片的光軸角度，拍攝不同光軸角度組合的6 幅單色條紋圖(見圖5(d))，聯立光強方程獲取等色線信息[21-23]。六步相移法中的光強為[4]

其中Ib和Ia分別為背景光強和光源光強，η和β分別為第二個1/4 波片和檢偏鏡光軸角度。對于圖5(b)所示的光路，不同組合的偏振片光軸角度、1/4玻片角度和光強表達式見表2，ξ為第1 個1/4 玻片光軸角度。通過聯立光強表達式可得

表2 六步相移法圓偏振光場光強表達式[4]

圖5 (a) 和(b) 四步和六步相移法光路設計圖，(c) 四步相移法使用的4 幅彩色條紋圖，(d) 六步相移法使用的6 幅單色條紋圖，(e) 等傾線相位圖，(f) 包裹等色線相位圖，(g) 等色線相位圖

其中θ′為由四步相移法確定的等傾線相位，由方程(4) 和其分子、分母的正負情況可直接得到包裹等色線相位[0, 2π] 的分布，如圖5(f) 所示。然后應用相位解包裹方法[24-26]，計算得到連續(xù)分布的等色線相位(見圖5(g))。

3.2 對徑受壓圓環(huán)內部等傾線和等色線

圓環(huán)是光彈實驗教學中的常用模型，為了豐富展示3D 打印技術用于光彈性模型制備的有效性，本文增加了對徑受壓圓環(huán)內部光彈性條紋、等傾線和等色線的測量結果。打印圓環(huán)的厚度為8 mm，外徑為50 mm，內徑為20 mm，所受的對徑壓縮載荷為1 000 N。圖6(a)和圖6(b)分別展示了對徑受壓圓環(huán)在白光和單色光作為光源時圓偏振光暗場條件下的光彈性條紋圖。采用3.1 節(jié)中介紹的四步和六步相移法，計算了對徑受壓圓環(huán)內部的等傾線和等色線相位，結果如圖7(a)～圖7(c) 所示，分別為圓環(huán)內部的等傾線、包裹等色線和解包裹后的等色線分布云圖。

圖6 對徑受壓圓環(huán)模型在圓偏振光暗場條件下的光彈性條紋圖，(a) 白光作為光源，(b) 單色鈉光作為光源

圖7 對徑受壓圓環(huán)內部(a) 等傾線分布，(b) 包裹等色線分布，(c) 等色線相位分布

3.3 材料條紋值

根據光彈性應力-光學定律，等色線相位和主應力差的對應關系可以表示為

其中σ1和σ2為第一和第二主應力分量，δ為等色線相位，d為模型厚度，f為材料條紋值。材料條紋值是連接應力場和等色線相位的關鍵參數，條紋值確定后，根據方程(5)，可將等色線相位直接轉換為主應力差的分布。

光彈性法中材料條紋值是基于對徑受壓圓盤內部局部區(qū)域的理論解與等色線相位或條紋級數的對應關系進行計算的。對徑受壓圓盤內部應力分量的理論解[27]為

方程(8)中，等色線相位δ可由3.1 節(jié)所述方法計算，應力分量表示的主應力差可由對徑受壓圓盤的理論解求得。因為對徑受壓圓盤加載端應力高度集中，條紋比較密集，等色線相位計算誤差比較大，所以本文采用如圖8 所示的區(qū)域(灰色區(qū)域為510×440 像素，整個圓盤為890×900 像素) 作為條紋值計算區(qū)域[28-29]。將圖8 灰色區(qū)域中的等色線相位和對應位置主應力差的理論解代入到方程(8)中，得到該區(qū)域中510×440 個條紋值，然后對這些條紋值進行最小二乘擬合，最后得到條紋值大小為36.01 N/mm/條。基于方程(5)，可將模型內部的光彈性等色線相位直接轉換為主應力差分布，其分布趨勢與等色線相位一致。

圖8 條紋值計算與理論解匹配區(qū)域

4 結論

本文將3D 打印技術制備光彈性模型的方法引入教學過程中，實現了光彈性法從數字模型設計，物理模型制備，光彈性條紋圖采集，應力場提取等全過程的教學與展示，豐富了光彈性法的教學內容。主要結論如下。

(1) 采用以光敏樹脂為原材料的3D 打印技術(Polyjet) 制備光彈性實驗教學模型，并以圓盤模型為例，展示了3D 打印光彈性模型的制備過程，驗證了模型較低的初始殘余應力和良好的光彈性效應，實驗結果表明3D 打印技術的應用，極大地簡化了光彈性模型的制備過程，降低了模型的初始殘余應力，提升了含復雜結構教學模型的制備能力，豐富了光彈性實驗的教學模型。

(2)獲得了光彈性法教學中常用的3D 打印圓盤和圓環(huán)模型內部的光彈性條紋圖，并采用相移法和解包裹技術，計算了模型內部的等傾線和等色線相位，通過對徑壓縮圓盤中心區(qū)域的條紋級數分布，計算了所用3D 打印材料的條紋值。

(3) 通過本文實驗，可以使學生了解先進的3D打印制樣技術，加深對光彈性方法測試理論的理解、認識；培養(yǎng)光彈性法測量應力的基本實驗能力，為學生進一步應用該方法解決工程問題奠定基礎。