求函數(shù)值域的常用方法

杜爽 韓旸

求函數(shù)的值域問題一般具有較強的綜合性，側重 于考查同學們的運算和綜合分析能力.求函數(shù)值域的 常用方法有配方法、換元法、圖象法、導數(shù)法、基本不 等式法等.本文結合實例，談一談求函數(shù)值域的三種常 用方法.

一、配方法

對于形如 f （x）= ax 2 + bx + c（a ≠ 0） 或 F（x）= af 2 （x）+ bf （x）+c（a ≠ 0） 的函數(shù)，可采用配方法來求函數(shù)的值域. 首先根據(jù)完全平方公式將函數(shù)式配方，得到形如 f （x）= a（x - h） 2 +k 的式子，然后根據(jù)二次函數(shù)的有界 性、單調性以及函數(shù)的定義域，來求函數(shù)的值域.

例1.求函數(shù) y = -x 2 + x + 2 的值域.

該函數(shù)為復合函數(shù)，且解析式中含有二次函數(shù) 式，需先運用配方法，將函數(shù)式化為 a（x - h） 2 +k 的形 式；然后根據(jù)二次函數(shù)的有界性和單調性，以及復合 函數(shù)“同增異減”的原則來求得函數(shù)的值域.

二、換元法

對于含有根式、絕對值、三角函數(shù)、復合函數(shù)等的 復雜函數(shù)式，通常需采用換元法來求函數(shù)的值域.首先 將函數(shù)中的某個式子，如根號下的式子，絕對值內部 的式子、某個三角函數(shù)式等用一個新元替換，從而將 原函數(shù)轉化為一個簡單的式子，通過求新函數(shù)的值 域，間接得到原函數(shù)的值域.

例2.求函數(shù) y = x + 1 - 2x 的值域.

該函數(shù)式中含有根式，較為復雜，需利用換元法， 將 1 - 2x 用新元 t 替換，進而得到一個關于 t 的二次 函數(shù)式，再利用二次函數(shù)的性質求得二次函數(shù)的值 域，即可得到原函數(shù)的值域.在換元的過程中，要注意 考慮新元、舊元的取值范圍，這是很多同學容易忽略 的地方.

三、判別式法

對于形如 y = ax 2 + bx + c dx 2 + ex + f 的函數(shù)式，我們常用判 別式來求函數(shù)的值域.首先把 x 看作未知數(shù)、y 看作參 數(shù)，將原函數(shù)式轉化為關于 x 的一元二次方程；然后 根據(jù)方程有實數(shù)根，得到判別式 Δ ≥ 0 ，即可建立關于 y 的不等式.求得 y 的取值范圍，就能求得原函數(shù)的值域

例3.求函數(shù) y = x 2 - x x 2 - x + 1 的值域.

根據(jù)函數(shù)式的特征將函數(shù)轉化為關于 x 的一元 二次方程，便可利用判別式法求其值域.值得注意的 是，本題中的 y - 1 為二次項的系數(shù)，需分 y - 1 = 0 和 y - 1 ≠ 0 兩種情況進行討論.只有在二次項系數(shù)不為0 時，該方程才是二次方程，才能運用判別式法求函數(shù) 的值域.

相比較而言，換元法的適用范圍較廣，配方法、判 別式法的適用范圍較窄，只適用于求解二次函數(shù)的值 域問題.同學們在解題時，要仔細研究函數(shù)式，明確其 結構、特征，合理進行配湊、換元、構造一元二次方程， 這樣才能用最短的時間求得函數(shù)的值域，提高解題的 效率.

基 金 項 目 ：國 家 科 技 支 撐 計 劃 課 題 （2013BAK12B0803），黑龍江省自然基金（B2015019）， 黑龍江省省屬高等學?；究蒲袠I(yè)務費科研項目 （135509122）.

（作者單位：齊齊哈爾大學理學院）