巧用構(gòu)造法證明線面平行

王鑫

證明線面平行問題經(jīng)常出現(xiàn)在立體幾何試題中，此類問題主要考查線面平行的性質(zhì)定理和判定定理 的應(yīng)用.而證明線面平行，關(guān)鍵在于作出合適的輔助 線，構(gòu)造出一組平行線或平行平面.下面重點談一談如 何合理添加輔助線，巧妙構(gòu)造幾何圖形，輕松破解證 明線面平行問題.

一、構(gòu)造三角形的中位線

證明線面平行，通常需運用線面平行的判定定 理：若平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行， 則該直線與此平面平行.那么在證明線面平行時，需找 到一組平行線，使得其中一條直線在平面外，另一條 直線在平面內(nèi).若已知一條線段的中點，且平面內(nèi)或外的一條直線為三角形的底邊，則可過三角形的中點作三角形的中位線，那么就可以根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)：中位線平行且等于底邊的一半，來證明線面平行.

例1.如圖 1，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， D，E 分 別是 AB，BB1 的中點，AA1 = AC = CB = 2 2 AB.證明：BC1 ∥ 平面A1CD .

觀察該圖形，可猜測 BC1 ∥ DF ，而 D 是 AB 的中 點，于是連接 AC1 、DF ，那么 DF 為△ABC 的中位線， 這樣便構(gòu)造出三角形的中位線，利用三角形中位線的性 質(zhì)和線面平行的判定定理即可證明 BC1 ∥ 平面 A1CD .

二、構(gòu)造平行四邊形

我們知道，平行四邊形的對邊平行且相等.在證明 線面平行時，可根據(jù)圖形的特點，找到一組對邊平行 且相等的線段，分別將這四點連接，便可構(gòu)造出平行 四邊形，使另一組對邊分別為平面內(nèi)外的一條直線， 即可根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和線面平行的判定定理 證明線面平行.

例 2. 如 圖 2，在 三 棱 柱 ABC - A1B1C1 中 ，側(cè) 面 BCC1B1 為正方形，平面BCC1B1 ⊥ 平面ABB1A1 ，AB = BC = 2， M，N 分別為 A1B1，AC 的中點.求證：MN ∥ 平面 BCC1B1 .

取 BC 的中點 H ，連接 NH，B1H ，便可根據(jù)平行四 邊形的性質(zhì)證明四邊形 NHB1M 為平行四邊形，這樣 就能通過構(gòu)造出平行四邊形，得到平面 BCC1B1 內(nèi)的 一組平行線 MN、B1H，即可根據(jù)線面平行的判定定理 證明結(jié)論.

三、構(gòu)造平行平面

當(dāng)構(gòu)造三角形和平行四邊形困難時，可以考慮構(gòu) 造平行平面.若要證明 l ∥ 平面α ，只需構(gòu)造一個平面 β ∥ 平面α ，且 l ∈ β ，那么根據(jù)平行平面的性質(zhì)，即可 證明 l ∥ 平面α .在構(gòu)造平行平面 β 時，可在平面 β 內(nèi) 作一條直線 n ，使其平行于 l .也可直接根據(jù)正方體、 長方體、直棱柱的性質(zhì)構(gòu)造平行平面.

仍以例2為例.

解答本題，需根據(jù)三棱柱 ABC - A1B1C1 的性質(zhì)，添 加輔助線，構(gòu)造平面 NMK，使其平行于平面 BCC1B1 ， 就能根據(jù)平面平行的性質(zhì)：若兩個平面平行，則在一 個平面內(nèi)的任一條直線平行于另一個平面.結(jié)合線面 平行的判定定理即可證明結(jié)論.

由此可見，證明線面平行，需從幾何圖形中尋找 線線平行、線面平行、面面平行的關(guān)系；然后根據(jù)三角 形的中位線、平行四邊形的性質(zhì)、面面平行的性質(zhì)、線 面平行的判定定理來證明.

（作者單位：河北省邢臺市第三中學(xué)）