《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程教學(xué)方法探究
——以古典概率和條件概率為例

□劉 燕

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，它是與現(xiàn)實(shí)世界聯(lián)系緊密、應(yīng)用最為廣泛的學(xué)科之一，已成為人們從事生產(chǎn)勞動(dòng)、科學(xué)研究和社會(huì)活動(dòng)的一個(gè)基本工具。其中，古典概率和條件概率是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中兩個(gè)基礎(chǔ)且重要的概率，大量的后續(xù)概率建立在這兩個(gè)概率的基礎(chǔ)之上[1]，比如事件的獨(dú)立性、乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式、二項(xiàng)分布、隨機(jī)向量的條件分布等，因此應(yīng)重視古典概率和條件概率的教學(xué)與學(xué)習(xí)。文章通過生活案例講述古典概率和條件概率，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并分析典型的常見錯(cuò)誤，指出注意問題，避免學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中發(fā)生不必要的錯(cuò)誤，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)信心，進(jìn)而提高課堂教學(xué)質(zhì)量與教學(xué)效果。

一、古典概率

古典概型定義[2]：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E滿足下列條件：

①(有限性)試驗(yàn)的樣本空間只有有限個(gè)樣本點(diǎn)，即

Ω={ω1,ω2,…,ωn}；

②(等可能性)每個(gè)樣本點(diǎn)的發(fā)生是等可能的，即

P({ω1})=P({ω2})=…P({ωn}),

則稱隨機(jī)試驗(yàn)E為古典概型。事件A的概率為：

由上可知，計(jì)算古典概率首先判斷這個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型。確定之后，要弄清樣本空間包含的樣本點(diǎn)總數(shù)和隨機(jī)事件中的樣本點(diǎn)數(shù)，列出比式求出概率。過程看起來并不復(fù)雜，但學(xué)生往往就在找樣本空間中包含的樣本點(diǎn)總數(shù)和隨機(jī)事件中所含的樣本點(diǎn)數(shù)這兩個(gè)數(shù)據(jù)上遇到困難，原因在于這兩個(gè)數(shù)據(jù)的計(jì)算常常涉及到排列和組合、乘法原理和加法原理的知識(shí)，結(jié)合古典概型的性質(zhì)，有時(shí)還需要建立一個(gè)簡單的數(shù)學(xué)模型[2]。鑒于此，在教學(xué)中將抽象的數(shù)學(xué)問題背景化，從生活實(shí)例入手，增強(qiáng)學(xué)生的求知欲。下面看幾個(gè)生活實(shí)例。

例1 試計(jì)算福利彩票35選7中特等獎(jiǎng)的概率，中一等獎(jiǎng)(對(duì)6個(gè)號(hào)碼)的概率？

由上可知，無論中特等獎(jiǎng)還是一等獎(jiǎng)用古典概率知識(shí)可算出它們都是很小的概率事件，在生活實(shí)際中很難發(fā)生。由此告誡同學(xué)們?cè)谏钪信c其守株待兔等待小概率事件的發(fā)生，不如踏實(shí)學(xué)習(xí)、認(rèn)真工作，慢慢積累財(cái)富更為妥當(dāng)。

例2 某接待站在某一周接待12次來訪，已知這12次接待在周二和周四進(jìn)行，問是否可判斷接待時(shí)間是有規(guī)定的？

二、條件概率

由此可知，條件概率也可看成古典概率模型，可由古典概率計(jì)算，此法稱為縮減樣本空間法。由條件概率定義，當(dāng)P(B)>0時(shí)，P(AB)=P(B)P(A|B)或當(dāng)P(A)>0時(shí)，P(AB)=P(A)P(B|A)，此兩個(gè)公式稱為兩事件的乘法公式，它是條件概率的變形，同時(shí)也給出了條件概率與乘法公式之間的關(guān)系。區(qū)別條件概率和積事件的概率關(guān)鍵在于是否有附加條件[3]，下面看幾個(gè)應(yīng)用。

例3 設(shè)袋中有7只白球，3只紅球。白球中有4只木球，3只塑料球；紅球中有2只木球，1只塑料球?，F(xiàn)從袋中任取1球，假設(shè)每個(gè)球被取到的可能性相同，若已知取到的球是白球，求它是木球的概率？

解析：方法1(公式法)設(shè)A表示事件任取一球，取得木球，B表示事件任取一球，取得白球。列表觀察分析

白球紅球總計(jì)木球426塑料球314總計(jì)7310

AB表示事件取的球是白球且是木球，由上表知事件AB所含的樣本點(diǎn)數(shù)為4，事件B所含的樣本點(diǎn)數(shù)為7，樣本空間所含的樣本點(diǎn)總數(shù)為10，有古典概率可得

例4 中秋節(jié)快到了，想外出游玩兩天，需要知道兩天的天氣情況，已知第一天下雨的概率為0.6，第二天下雨的概率為0.3，兩天都下雨的概率為0.1。想知道(1)第一天下雨時(shí)，第二天不下雨的概率;(2)第一天下雨時(shí)，第二天也下雨的概率。

解析：設(shè)A表示事件第一天下雨，B表示事件第二天下雨，已知P(A)=0.6，P(B)=0.3，P(AB)=0.1。

(1)欲求的概率為A發(fā)生條件下事件B不發(fā)生的概率，即

由此可知，條件概率與無條件概率之間的大小無確定，即P(B)與P(B|A)的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同，它們是兩個(gè)不同的概念，在數(shù)值上一般也不相等。

三、古典概率和條件概率常見典型錯(cuò)誤分析

(一)抽簽?zāi)Ｐ椭械母怕逝c條件概率理解錯(cuò)誤。

例5 一罐中裝有a個(gè)黑球，b個(gè)白球，不放回的抽取兩球，已知取出的兩個(gè)球中有一個(gè)黑球，求另一個(gè)球也是黑球的概率。

分析：對(duì)于本例，同學(xué)們?cè)谇蠼鈺r(shí)往往會(huì)出現(xiàn)以下錯(cuò)誤解法。

錯(cuò)誤解法2：將“兩個(gè)球中有一個(gè)黑球”理解錯(cuò)誤。設(shè)A1表示兩個(gè)球中有一個(gè)是黑球事件，A2表示兩個(gè)球中另一個(gè)是黑球事件，所求概率是在A1發(fā)生的條件下事件A2發(fā)生的概率，則

此種解法錯(cuò)誤在于學(xué)生將“兩個(gè)球中有一個(gè)是黑球”理解為“兩球中恰有一個(gè)是黑球”導(dǎo)致P(A1)求解錯(cuò)誤?！皟蓚€(gè)球中有一個(gè)是黑球”實(shí)際指的是“兩球中至少有一個(gè)是黑球”。

正確解法：設(shè)A1表示兩個(gè)球中有一個(gè)是黑球事件，A2表示兩個(gè)球中另一個(gè)是黑球事件，所求概率是在A1發(fā)生的條件下事件A2發(fā)生的概率，則

(二)積事件的概率與條件概率的理解錯(cuò)誤。例6一罐中裝有a個(gè)黑球，b個(gè)白球，不放回的抽取兩球，每次任取一個(gè)，求第二次才取到黑球。

錯(cuò)誤解法：對(duì)于這個(gè)問題，由于問題中有個(gè)“才”字，所以同學(xué)們都會(huì)注意到“第一次取的球肯定是白球”，但部分學(xué)生會(huì)犯下如下錯(cuò)誤：

四、結(jié)語

古典概率與條件概率是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中兩個(gè)基礎(chǔ)的概率，大量后繼概率在這兩個(gè)概率的基礎(chǔ)上引申而來，且它們?cè)趯?shí)際問題中有著很廣泛的應(yīng)用。運(yùn)用實(shí)例講解這兩個(gè)概率，不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且也體現(xiàn)出概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)來源于生活，回歸于生活的理念。通過列舉具體實(shí)例分析學(xué)生在學(xué)習(xí)這兩個(gè)概率過程中出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤，不僅能夠有效地提高教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果，而且對(duì)每位初學(xué)者學(xué)好概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及它在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)各個(gè)領(lǐng)域中的應(yīng)用具有重要的作用。