彈性能量半徑演化譜及其在多自由度體系地震反應(yīng)計(jì)算中的應(yīng)用

彭 灝，溫衛(wèi)平，張 培，孔璟常

（1.石家莊學(xué)院，河北石家莊 050035；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001；3.煙臺(tái)大學(xué)土木工程學(xué)院，山東煙臺(tái) 264005）

引言

近年來(lái)，設(shè)計(jì)地震反應(yīng)譜研究的熱點(diǎn)多集中于對(duì)傳統(tǒng)意義反應(yīng)譜表達(dá)形式進(jìn)行優(yōu)化，不同類(lèi)型場(chǎng)地中的反應(yīng)譜的計(jì)算以及對(duì)傳統(tǒng)振型分解反應(yīng)譜法進(jìn)行計(jì)算精度方面的改進(jìn)等。Rita等［1］發(fā)展了一種基于損傷的非線(xiàn)性譜，考慮了結(jié)構(gòu)損傷以及剛度退化等因素。Alexander 等［2］對(duì)反應(yīng)譜中的震源因素的不確定性進(jìn)行了研究。曾永平等［3］進(jìn)行了近斷層地震反應(yīng)譜特性分析研究。韓昕等［4］給出了一種新的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜表達(dá)方式，并提出新的場(chǎng)地相關(guān)反應(yīng)譜的標(biāo)定方法。李建波等［5］發(fā)展了基于包絡(luò)圓的改進(jìn)振型反應(yīng)譜法，并指出該方法用于鋼混結(jié)構(gòu)偏心受力構(gòu)件中，與傳統(tǒng)的振型分解反應(yīng)譜法相比可節(jié)省一定的配筋率。肖詩(shī)穎等［6］討論了指數(shù)阻尼體系地震反應(yīng)的振型分解反應(yīng)譜方法，推導(dǎo)了指數(shù)阻尼系統(tǒng)以反應(yīng)譜表示的地震作用計(jì)算公式。

但目前的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜僅能反映結(jié)構(gòu)峰值反應(yīng)，無(wú)法體現(xiàn)結(jié)構(gòu)反應(yīng)隨時(shí)間的變化。文中提出一種線(xiàn)性單自由度體系彈性能量半徑演化譜，其峰值與結(jié)構(gòu)的峰值位移反應(yīng)近似相等，且能體現(xiàn)結(jié)構(gòu)反應(yīng)隨地震持時(shí)的變化。在此基礎(chǔ)上文中發(fā)展了一種計(jì)算多自由度線(xiàn)性體系地震反應(yīng)的方法，與振型組合法及時(shí)程分析法的結(jié)果對(duì)比表明，對(duì)振型密集結(jié)構(gòu)，該方法計(jì)算簡(jiǎn)便且較傳統(tǒng)的振型組合CQC法更精確，適合抗震設(shè)計(jì)使用。

1 彈性能量半徑演化譜的概念

一個(gè)固有頻率為ω0，質(zhì)量為m的線(xiàn)性單自由度體系，其在地震作用下的運(yùn)動(dòng)方程為：

將上述方程兩邊乘以速度，并且對(duì)時(shí)間進(jìn)行積分，可得：

式中：c，k分別為結(jié)構(gòu)的阻尼和剛度；˙，u分別為結(jié)構(gòu)的相對(duì)加速度，相對(duì)速度和相對(duì)位移為地面加速度；Ek為結(jié)構(gòu)動(dòng)能；Eξ為阻尼耗能；Ep為彈性勢(shì)能；Ei為地震輸入總能量，

將此單自由度體系的反應(yīng)用相位圖的形式來(lái)表示（也即以位移和速度與固有頻率的比值分別為橫縱坐標(biāo)軸），在這樣的表示方法下，軌跡上任何一點(diǎn)與原點(diǎn)連線(xiàn)的長(zhǎng)度提供了一個(gè)彈性結(jié)構(gòu)能量Ee的量度（也就是動(dòng)能Ek與勢(shì)能Ep之和），即：

則式（5）可以進(jìn)一步寫(xiě)成：

整個(gè)軌跡中的最大半徑r就對(duì)應(yīng)了結(jié)構(gòu)所對(duì)應(yīng)的最大彈性能量級(jí)。r由Valles［7］首次定義，并被命名為彈性能量半徑。其還指出r與結(jié)構(gòu)能量相關(guān)，并具有長(zhǎng)度的單位，此外，r的最大值近似等于結(jié)構(gòu)的峰值位移。如圖1所示為周期0.5 s，阻尼比5%的單自由度體系在El Centro 波作用下的實(shí)際地震反應(yīng)相位圖，彈性能量半徑最大值與峰值位移均為0.467 m。

圖1 自振周期0.5 s，阻尼比5%的單自由度體系實(shí)際地震反應(yīng)彈性能量半徑的變化（圖中箭頭所示為最大半徑）Fig.1 Change of elastic energy radius in SDOF with period 0.5 s and damping ratio 5%（the arrow stands for the maximum radius）

但是，在Valles 的研究中，僅關(guān)注了彈性能量半徑的最大值，不能反映結(jié)構(gòu)彈性能量隨時(shí)間的變化。在此基礎(chǔ)上，文中提出了彈性能量半徑演化譜，可以反映線(xiàn)性單自由度體系彈性能量半徑隨時(shí)間的變化。下面給出利用地震動(dòng)演化功率譜得到彈性能量半徑演化譜的方法。

2 彈性能量半徑演化譜的生成

Kameda［8］指出一個(gè)單自由度的線(xiàn)性振子受到地震地面加速度隨機(jī)過(guò)程X(t)的激勵(lì)時(shí)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程可表示成式（8）的形式：

采用振子的總能量Q(t)，定義如下的隨機(jī)過(guò)程：

式中：k是振子的剛度，對(duì)于阻尼比β0＜＜1的情況，R(t)是一個(gè)平滑的時(shí)間函數(shù)，代表Y(t)的包絡(luò)過(guò)程。

假定地震動(dòng)演化功率譜密度函數(shù)G(t,ω0)與單位脈響函數(shù)的衰減段相比是緩慢變化的（Kameda 認(rèn)為阻尼比在0.05～0.2 范圍內(nèi)，均滿(mǎn)足這一假定），因此振子的瞬態(tài)響應(yīng)將被忽略，此時(shí)Y(t)的均方值可以寫(xiě)成以下形式：

根據(jù)式（10），當(dāng)單自由度體系滿(mǎn)足阻尼比0.05～0.2 的假定條件時(shí)，任一時(shí)刻結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)均可以用平穩(wěn)反應(yīng)來(lái)近似。上文已經(jīng)提到，R(t)可以看做Y(t)的包絡(luò)過(guò)程，需要注意的是，此包絡(luò)過(guò)程R(t)即是結(jié)構(gòu)在任一時(shí)刻的彈性能量半徑值。因此，只需計(jì)算R(t)的平均值E[R(t)]，就可以得到彈性能量半徑演化譜。

對(duì)于平穩(wěn)反應(yīng)來(lái)說(shuō)，已經(jīng)證明其包絡(luò)過(guò)程服從rayleigh分布，其均值由式（11）給出：

式中，eR為包絡(luò)過(guò)程的均值。可見(jiàn)，如果已知G(t,ω0)，則可由式（10）計(jì)算任意時(shí)刻的方差σ2Y(t)，然后代入式（11）即可得到包絡(luò)過(guò)程的均值E[R(t)]，按下式計(jì)算：

文中采用了Sugito［9］根據(jù)基巖場(chǎng)地地震動(dòng)記錄計(jì)算并統(tǒng)計(jì)得到的表達(dá)式，該表達(dá)式可以在給出震級(jí)和震源距的情況下估計(jì)地震動(dòng)演化功率譜密度，如式（13）所示：

其中αm(f)，ts(f)，tp(f)是根據(jù)震級(jí)和震源距擬合出來(lái)的參數(shù)。由式（12）、式（13）可知，對(duì)于一個(gè)自然頻率為f的單自由度結(jié)構(gòu)，其彈性能量半徑在ts(f) +tp(f)時(shí)刻達(dá)到峰值。

圖2給出了周期0.1～10 s單自由度線(xiàn)性體系（阻尼比均為5%）在震源距R=60 km，震級(jí)M=7.0級(jí)，場(chǎng)地類(lèi)型為基巖場(chǎng)地的情況下的彈性能量半徑演化譜?？梢钥闯?，該譜既能反映平均意義上的地震作用下彈性能量半徑（結(jié)構(gòu)位移）的峰值，又能體現(xiàn)結(jié)構(gòu)彈性能量隨時(shí)間參數(shù)的變化。

圖2 M=7.0，R=60 km，自振周期0.1～10 s，阻尼比5%線(xiàn)性單自由度體系彈性能量半徑演化譜Fig.2 Elastic energy radius evolutionary spectra in single degree of freedom system（M=7.0，R=60 km period 0.1～10 s，damping ratio 5%）

圖3～圖5 分別給出了不同條件下的線(xiàn)性單自由度體系的彈性能量半徑演化譜。此時(shí)，該譜由三維形式退化為二維形式，僅包含持時(shí)和彈性能量半徑兩個(gè)坐標(biāo)軸。

圖3 M=7.0，R=60 km 自振周期0.5，1，2 s，阻尼比5%線(xiàn)性單自由度體系彈性能量半徑演化譜Fig.3 Elastic energy radius evolutionary spectra in single degree of freedom system（M=7.0，R=60 km period 0.5，1，2 s，damping ratio 5%）

圖4 M=7.0，R=50，60，70 km，自振周期1 s，阻尼比5%線(xiàn)性單自由度體系的彈性能量半徑演化譜Fig.4 Elastic energy radius evolutionary spectra of SDOF（M=7.0，R=50，60，70 km，period 1 s，damping ratio 5%）

圖5 R=60 km，M=6.0，7.0，8.0，自振周期1 s，阻尼比5%線(xiàn)性單自由度體系的彈性能量半徑演化譜Fig.5 Elastic energy radius evolutionary spectra in single degree of freedom system（M=6.0，7.0，8.0，R=60 km，period 1 s，damping ratio 5%）

3 多自由度結(jié)構(gòu)地震位移反應(yīng)計(jì)算

雖然文中彈性能量半徑演化譜的推導(dǎo)基于單自由度結(jié)構(gòu)，但是結(jié)論可以推廣至多自由度體系。根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)相關(guān)知識(shí)，某一受地震作用的多自由度體系，其地震位移反應(yīng)u(t)可以按照振型分解為：

式中，γj、{φj} 、Dj(t)分別為第j階振型的振型組合系數(shù)，振型向量和等效單自由度體系的位移。

目前，我國(guó)現(xiàn)行抗震規(guī)范［10］中多自由度地震峰值位移反應(yīng)的計(jì)算方法，主要有振型分解反應(yīng)譜和時(shí)程分析法2 種。其中振型分解反應(yīng)譜法按照振型組合方式又可以分為SRSS 法和CQC 法，其中SRSS 法主要適用于不同振型周期相差較大的情況，對(duì)于不同振型周期接近或者存在平動(dòng)-扭轉(zhuǎn)耦聯(lián)的情況，則推薦采用CQC法。

若假設(shè)所有振型的最大值發(fā)生在相同時(shí)刻，通過(guò)絕對(duì)值相加對(duì)振型進(jìn)行組合，這種組合方法過(guò)于保守［11］。而彈性能量半徑恰好反映了不同振型能量峰值沿時(shí)間軸的分布。

根據(jù)隨機(jī)振動(dòng)理論［12］，由于振型等效單自由度線(xiàn)性體系在地震激勵(lì)下的反應(yīng)頻率成分比較單一，其結(jié)構(gòu)自振頻率ωj組分占絕對(duì)優(yōu)勢(shì)，因此整個(gè)反應(yīng)歷程Dj(t)可看做窄帶平穩(wěn)反應(yīng)，可根據(jù)其包絡(luò)Rj(t)以及相位θ(t)寫(xiě)成如下形式［12］：

相位θ(t)又可以進(jìn)一步寫(xiě)成：

式中αj(t)稱(chēng)為相位差，跟Dj(t)相比是慢變的，在整個(gè)反應(yīng)歷程當(dāng)中可看做不變量。因此式（16）可以進(jìn)一步寫(xiě)成：

上文已經(jīng)提到，Dj(t)的最大值與Rj(t)的最大值近似相等，假設(shè)當(dāng)t=tm時(shí)Dj(t)取得最大值，根據(jù)（15）可知此時(shí)Rj(t)也必然近似取得最大值，也即簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)項(xiàng)的值近似為1，此時(shí)令：

從而可以得到：

因此，

式中tm可取為彈性能量半徑演化譜峰值時(shí)刻，即tm=ts+tp。

將式（20）代入式（14）即可得利用彈性能量演化譜計(jì)算多自由度體系的地震位移反應(yīng)的方法式（21），根據(jù)式（21）即可求得峰值位移反應(yīng)，

4 計(jì)算示例

（1）某位于基巖場(chǎng)地的3層框架結(jié)構(gòu)，質(zhì)量和剛度分布均勻，各振型周期、振型參與系數(shù)見(jiàn)表1，試確定其在震級(jí)M=7.0，震源距R=50，60，70 km的平均地震作用下頂點(diǎn)的峰值位移反應(yīng)（假設(shè)各振型阻尼比均為5%）。

表1 3層框架結(jié)構(gòu)振型數(shù)據(jù)Table 1 Modes data of 3-floor frame structure

按照現(xiàn)行抗震規(guī)范，此類(lèi)結(jié)構(gòu)采用SRSS 法或彈性能量演化譜法（以下簡(jiǎn)稱(chēng)演化譜法）進(jìn)行計(jì)算時(shí)，將前3 階振型進(jìn)行組合，所采用的演化譜如圖2 所示，并按照各振型等效單自由度體系位移峰值與彈性能量半徑峰值相等計(jì)算。2種方法計(jì)算結(jié)果同列于表2。

表2 3層框架結(jié)構(gòu)計(jì)算結(jié)果匯總Table 2 Calculation results summary of 3-floor frame structure

結(jié)果顯示，3種工況下演化譜法的計(jì)算結(jié)果均與SRSS接近，誤差均在±5%以?xún)?nèi)，這也間接證明了演化譜法的正確性。

（2）某位于基巖場(chǎng)地的7層質(zhì)量剛度分布不均勻的框架結(jié)構(gòu)，各振型周期十分接近，各振型周期、振型參與系數(shù)見(jiàn)表3，試確定其在震級(jí)M等于7.0、8.0，震源距R分別等于50，60，70 km 共6 種工況下的頂點(diǎn)峰值位移反應(yīng)（假設(shè)各振型阻尼比均為5%）。

表3 7層框架結(jié)構(gòu)振型數(shù)據(jù)Table 3 Modes data and of 7-floor frame structure

本算例采用CQC 法，演化譜法以及時(shí)程分析法進(jìn)行計(jì)算結(jié)果對(duì)比。按照現(xiàn)行抗震規(guī)范，采用CQC 法或演化譜法計(jì)算時(shí)將前14階振型組合，所采用的演化譜如圖2所示，并按照各振型等效單自由度體系位移峰值與彈性能量半徑峰值相等計(jì)算。CQC法相關(guān)系數(shù)的計(jì)算參照規(guī)范相關(guān)規(guī)定。

時(shí)程分析法同時(shí)選取3 條人工地震波和4 條實(shí)際地震波進(jìn)行計(jì)算。實(shí)際地震波選用El Centro（1940），San Fernando Pocoima Dam（1971），Mexico city（1985），Northridge（1994），并根據(jù)基巖場(chǎng)地條件下震級(jí)、震源距和峰值地面加速度的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將峰值地面加速度進(jìn)行統(tǒng)一調(diào)整［13］。根據(jù)參考文獻(xiàn)［9］中給出的方法，以各種工況下的基巖場(chǎng)地地震動(dòng)演化功率譜作為目標(biāo)功率譜，并利用其生成人工地震波。

所選用地震波的峰值地面加速度（PGA）如表4所示。計(jì)算結(jié)果同列于表5。結(jié)果顯示：

表5 7層框架結(jié)構(gòu)計(jì)算結(jié)果匯總Table 5 Calculation results summary of 7-floor frame structure

（1）各工況下演化譜法計(jì)算結(jié)果均明顯大于CQC法，且結(jié)果誤差較穩(wěn)定。

（2）演化譜法計(jì)算結(jié)果較CQC 法更接近于時(shí)程分析法，對(duì)M=7.0 的3 種工況，演化譜法計(jì)算結(jié)果與時(shí)程分析法十分接近，但對(duì)M=8.0的3種工況，演化譜法計(jì)算結(jié)果較時(shí)程分析法，尚有一定誤差。這主要是由于，M=8.0 所對(duì)應(yīng)的3 種工況，人工地震動(dòng)的峰值地面加速度明顯小于實(shí)際地震動(dòng)的峰值地面加速度（見(jiàn)表4）。由于所采用的地震動(dòng)演化功率譜的模型誤差，此3種工況下，人工地震動(dòng)取得與實(shí)際地震動(dòng)相當(dāng)?shù)姆逯档孛婕铀俣仁掷щy。實(shí)際地震動(dòng)所取的峰值地面加速度較大，直接造成了此3 種工況的時(shí)程分析法位移計(jì)算均值也偏大，從而造成了較大的計(jì)算誤差。

表4 計(jì)算用地震波峰值加速度Table 4 Peak ground acceleration of seismic wave for calculation

（3）總體而言，演化譜法計(jì)算精度遠(yuǎn)高于CQC法。

5 結(jié)論

（1）提出了彈性能量半徑演化譜，用于描述地震過(guò)程中結(jié)構(gòu)彈性能量隨時(shí)間的變化，該譜可反映平均意義上線(xiàn)性多自由度體系各振型能量達(dá)到峰值的時(shí)間差異。

（2）利用演化譜發(fā)展了多自由度體系地震位移反應(yīng)計(jì)算方法，對(duì)于質(zhì)量剛度分布均勻結(jié)構(gòu)（振型稀疏結(jié)構(gòu)），該方法計(jì)算結(jié)果與振型SRSS 組合法相同；但對(duì)于質(zhì)量剛度分布不均勻結(jié)構(gòu)（振型密集結(jié)構(gòu)）而言，與傳統(tǒng)振型組合CQC法相比，該方法計(jì)算結(jié)果與時(shí)程分析法更為接近，準(zhǔn)確性明顯提高。

（3）文中的彈性能量半徑演化譜是利用基巖場(chǎng)地的地震動(dòng)演化功率譜得到的。同理，若已知其它場(chǎng)地類(lèi)型的地震動(dòng)演化功率譜，則同樣可通過(guò)文中提供的方法，得到該場(chǎng)地類(lèi)型下的彈性能量半徑演化譜.由此可見(jiàn)，采用準(zhǔn)確合理的地震動(dòng)演化功率譜模型是利用本方法獲得較好計(jì)算結(jié)果的關(guān)鍵。