“函數(shù)”單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)設(shè)計(jì)

張嘉玲

摘? 要：單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)有助于學(xué)生理清知識的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，養(yǎng)成解決問題的一般規(guī)律. 明確“函數(shù)”單元結(jié)構(gòu)，掌握學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)，圍繞數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，用結(jié)構(gòu)化的觀點(diǎn)進(jìn)行“函數(shù)”單元的教學(xué)設(shè)計(jì). 從具體到具體，形成研究具體函數(shù)的一般路徑;從具體到抽象，探索函數(shù)的本質(zhì)特征;從一般到具體，培養(yǎng)學(xué)生用函數(shù)解決問題的能力，體現(xiàn)“函數(shù)”單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)的系統(tǒng)性、聯(lián)系性和發(fā)展性原則.

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)化教學(xué);單元教學(xué)設(shè)計(jì);函數(shù)

隨著新版教材的實(shí)施和推廣，高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該從全局觀、大局觀、聯(lián)系觀的角度出發(fā)，設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的課堂教學(xué). 獲得的知識如果沒有完美的結(jié)構(gòu)聯(lián)系在一起，則多半會被遺忘. 為了避免學(xué)生所習(xí)得的知識碎片化，以結(jié)構(gòu)化的觀點(diǎn)進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計(jì)，重組教學(xué)內(nèi)容，重視數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)習(xí)的可持續(xù)發(fā)展. 從整體的角度來認(rèn)識數(shù)學(xué)知識，從聯(lián)系的觀點(diǎn)剖析數(shù)學(xué)本質(zhì)，更有利于學(xué)生建立數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，探尋解決數(shù)學(xué)問題的一般規(guī)律，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 用結(jié)構(gòu)化的觀點(diǎn)，對“函數(shù)”單元進(jìn)行整體分析，形成“函數(shù)”單元教學(xué)的一般路徑.

一、單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)設(shè)計(jì)的含義

單元教學(xué)設(shè)計(jì)是從某一單元（章節(jié)）或者某部分適合組織在一起的知識出發(fā)，綜合利用各種教學(xué)方法和教學(xué)策略進(jìn)行的教學(xué)設(shè)計(jì)，以讓學(xué)生通過這一階段的學(xué)習(xí)完成相對完整的知識單元的學(xué)習(xí). 結(jié)構(gòu)化教學(xué)就是從整體的角度，以聯(lián)系的觀點(diǎn)和促進(jìn)發(fā)展的目的進(jìn)行課堂教學(xué). 單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)設(shè)計(jì)就是用整體觀、聯(lián)系觀和發(fā)展觀進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計(jì)，突出大概念、大單元的思想，單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)的核心是促進(jìn)學(xué)生完善知識體系，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展思維，促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成能力.

二、“函數(shù)”單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)設(shè)計(jì)的意義

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，它的重要性不僅在于知識本身，更在于其中蘊(yùn)涵的豐富的數(shù)學(xué)思想，與其他數(shù)學(xué)知識聯(lián)系緊密. 例如，用函數(shù)思想求解方程與不等式，用函數(shù)觀點(diǎn)解釋數(shù)列及求解析幾何中的距離問題等. 函數(shù)內(nèi)容豐富、思想深遠(yuǎn)，奠定了其在數(shù)學(xué)中的重要地位. 以結(jié)構(gòu)化視角，將數(shù)學(xué)知識建立從點(diǎn)狀到結(jié)構(gòu)、從局部到整體的聯(lián)系，更有利于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

“函數(shù)”單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)的意義重大. 首先，從整體看局部，有助于理清知識之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián). 以宏觀的角度把握函數(shù)知識的脈絡(luò)，建立知識結(jié)構(gòu)圖，起到統(tǒng)籌全局、運(yùn)籌帷幄的效果. 其次，從內(nèi)部看聯(lián)系，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 教師就如同方向標(biāo)，指引學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)單元知識，聚焦局部問題之間的關(guān)聯(lián)，通過內(nèi)部的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法和數(shù)學(xué)思想. 最后，從局部看整體，有助于形成解決問題的一般規(guī)律，使學(xué)生學(xué)會用函數(shù)思想解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，使學(xué)生的能力得到進(jìn)一步升華.

三、“函數(shù)”單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)設(shè)計(jì)的原則

在整體觀引領(lǐng)下，用聯(lián)系的觀點(diǎn)和發(fā)展的眼光，以函數(shù)的某個主題為教學(xué)主線進(jìn)行的教學(xué)設(shè)計(jì)，應(yīng)該遵循系統(tǒng)性、聯(lián)系性和發(fā)展性原則. 函數(shù)貫穿于小學(xué)、初中、高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，隨著學(xué)生知識結(jié)構(gòu)與認(rèn)知能力的發(fā)展，其對函數(shù)的認(rèn)識不斷完善. 因此，需要關(guān)注函數(shù)的核心內(nèi)容，重視函數(shù)知識的系統(tǒng)性和發(fā)展性. 對于函數(shù)的內(nèi)部知識結(jié)構(gòu)，既要關(guān)注函數(shù)知識間的內(nèi)部聯(lián)系，也要關(guān)注函數(shù)知識與其他數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，重視函數(shù)的應(yīng)用，以及函數(shù)在其他學(xué)科的輻射意義. 函數(shù)單元的教學(xué)，重在啟發(fā)學(xué)生的思維發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生從具體到一般、從一般到應(yīng)用，掌握研究問題的一般規(guī)律，形成解決問題的一般方法.

四、“函數(shù)”單元的整體結(jié)構(gòu)化分析

1. 整體看教材，明確函數(shù)單元結(jié)構(gòu)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中明確指出，函數(shù)的內(nèi)容包括：函數(shù)概念與性質(zhì)，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，函數(shù)應(yīng)用. 滬教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修第一冊，對函數(shù)內(nèi)容進(jìn)行了調(diào)整，將函數(shù)內(nèi)容分為兩個部分：第四章“冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”，研究函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì);第五章“函數(shù)”，包含函數(shù)、函數(shù)的基本性質(zhì)、函數(shù)的應(yīng)用、反函數(shù)（選學(xué)）. 將冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)內(nèi)容前置，再引出函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖象，最后為函數(shù)的應(yīng)用. 遵循了“具體函數(shù)—函數(shù)—函數(shù)的應(yīng)用”的教學(xué)主線，是一種數(shù)學(xué)思想的引領(lǐng)，幫助學(xué)生掌握研究函數(shù)的一般規(guī)律.“函數(shù)”單元的知識結(jié)構(gòu)如圖1所示.

本單元的總體設(shè)計(jì)，是從特殊到一般，再從一般到特殊的過程，幫助學(xué)生進(jìn)行概括與抽象、探究與實(shí)踐，符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律. 從冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)這三類具體的初等函數(shù)入手，研究其概念、圖象及性質(zhì). 函數(shù)相關(guān)概念及性質(zhì)的學(xué)習(xí)延續(xù)了具體函數(shù)學(xué)習(xí)的一般歷程，對具體函數(shù)中的共性進(jìn)行歸納概括，提煉出函數(shù)的一般概念，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng). 使學(xué)生學(xué)會用函數(shù)圖象和代數(shù)運(yùn)算研究函數(shù)的性質(zhì)，了解其蘊(yùn)含的規(guī)律，為研究一般函數(shù)的性質(zhì)和圖象打好基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和直觀想象素養(yǎng). 在現(xiàn)實(shí)問題中，能利用函數(shù)模型解決問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

2. 掌握學(xué)情，明確學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)

學(xué)生是課堂學(xué)習(xí)的主體. 作為教學(xué)活動的組織者和引導(dǎo)者，教師需要明確教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)，并基于學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)開展有效教學(xué). 認(rèn)知發(fā)展共有四個階段：感知運(yùn)動階段、前運(yùn)算階段、具體運(yùn)算階段和形式運(yùn)算階段. 高一學(xué)生正處于形式運(yùn)算階段，對事物的理解傾向于具體形象，具有一定的抽象概括能力. 本單元的學(xué)習(xí)，前有冪運(yùn)算、指數(shù)運(yùn)算、對數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)，也有初中學(xué)習(xí)的具體函數(shù)為基礎(chǔ)，教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)該結(jié)合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的特點(diǎn)，關(guān)注學(xué)生的思維形成過程，發(fā)展學(xué)生智力. 以起點(diǎn)為基點(diǎn)，分析學(xué)生的思維形式、思維方式和思維過程，從學(xué)生的視角入手找到學(xué)生思維的難點(diǎn). 從特殊到一般、從具體到抽象、從現(xiàn)象到本質(zhì)，再從一般到具體、從本質(zhì)到應(yīng)用進(jìn)行整體教學(xué)設(shè)計(jì)，使每位學(xué)生都獲得發(fā)展.

3. 圍繞核心素養(yǎng)，確定單元教學(xué)重點(diǎn)和教學(xué)難點(diǎn)

函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律最為基本的數(shù)學(xué)語言和工具，在解決實(shí)際問題中發(fā)揮著重要作用，是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線. 通過學(xué)生的生活背景，以具體的初等函數(shù)引入課題，使學(xué)生感知數(shù)學(xué)來源于生活、應(yīng)用于生活，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)文化的認(rèn)同感，潤物細(xì)無聲地發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人作用. 用描點(diǎn)法作具體函數(shù)的圖象，歸納、總結(jié)函數(shù)圖象的性質(zhì)，并用代數(shù)方法研究函數(shù)的性質(zhì)，逐漸形成研究具體函數(shù)的一般路徑. 歸納、完善函數(shù)的概念及性質(zhì)，學(xué)會用集合語言和對應(yīng)關(guān)系理解函數(shù)，初步體會用代數(shù)運(yùn)算和函數(shù)圖象解釋函數(shù)的主要性質(zhì). 利用函數(shù)的思想構(gòu)造模型，讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程，解決簡單的數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題. 在函數(shù)單元的學(xué)習(xí)中形成數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等素養(yǎng)，最終達(dá)到會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、會用數(shù)學(xué)思維思考世界、會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.

五、“函數(shù)”單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)設(shè)計(jì)的案例分析

1. 從具體到具體，形成研究具體函數(shù)的一般路徑

冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的教學(xué)具有共性，都是以具體函數(shù)為載體，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、歸納、證明函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，為接下來學(xué)習(xí)函數(shù)的概念及性質(zhì)奠定基礎(chǔ)，可以形成研究具體函數(shù)的教學(xué)路徑. 以“冪函數(shù)”教學(xué)為例（預(yù)計(jì)2課時），其主要內(nèi)容包括冪函數(shù)的定義與圖象，冪函數(shù)的性質(zhì).

（1）教學(xué)目標(biāo)分析.

從學(xué)生生活實(shí)際中發(fā)現(xiàn)冪函數(shù)，從具體函數(shù)中總結(jié)、提煉冪函數(shù)的概念，用描點(diǎn)法作冪函數(shù)的圖象，從特殊到一般，歸納冪函數(shù)的圖象特征，并用代數(shù)方法證明冪函數(shù)的性質(zhì). 學(xué)會運(yùn)用冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)比較大小、求解不等式、作具體函數(shù)圖象. 初步體會圖象與代數(shù)運(yùn)算是研究函數(shù)性質(zhì)的重要方法，為研究函數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)提供一個基本途徑.

（2）教學(xué)方法分析.

對于冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，從學(xué)生熟悉的生活問題入手構(gòu)建冪函數(shù)模型，幫助學(xué)生感受用函數(shù)描述客觀世界事物的變化規(guī)律，感受冪函數(shù)模型在生活中的廣泛應(yīng)用，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng). 采用從特殊到一般的方法進(jìn)行概括與抽象，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象、從幾何直觀到代數(shù)證明的過程，體會運(yùn)用圖象與代數(shù)運(yùn)算是研究函數(shù)性質(zhì)的一般方法，為下一階段函數(shù)圖象、性質(zhì)及應(yīng)用的探究奠定基礎(chǔ).

（3）教學(xué)環(huán)節(jié)分析.

設(shè)計(jì)7個教學(xué)環(huán)節(jié)：直觀感知、形成概念、明確概念、繪制圖象、研究性質(zhì)、應(yīng)用探究、結(jié)構(gòu)概念.

環(huán)節(jié)1：直觀感知.

從生活實(shí)例發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題：橘子每千克1元，購買[x]千克需支付[y]元;正方形面積為[x]，邊長為[y];神舟十一號載人飛船飛行1千米花了[x]秒，平均速度為[y]千米 / 秒. 將[y]表示成關(guān)于[x]的函數(shù)，直觀感知、歸納總結(jié)出冪函數(shù)的共同特征，感受數(shù)學(xué)的魅力，滲透愛國主義教育.

環(huán)節(jié)2：形成概念.

由直觀感知，引導(dǎo)學(xué)生歸納冪函數(shù)的形式特征，形成冪函數(shù)的概念，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力，使他們學(xué)會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.

環(huán)節(jié)3：明確概念.

考慮到學(xué)生的學(xué)習(xí)能力差異，通過概念辨析進(jìn)一步幫助學(xué)生理解概念，明確冪函數(shù)的形式特點(diǎn)，理解具體符號和變量的意義.

環(huán)節(jié)4：繪制圖象.

在同一平面直角坐標(biāo)系中作函數(shù)[y=x12，y=x3，y=][x-2]的圖象，通過描點(diǎn)法作圖，觀察、總結(jié)函數(shù)圖象的幾何特征，學(xué)會用代數(shù)方法證明性質(zhì). 初步體會數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，為研究一般函數(shù)的性質(zhì)提供一般化路徑.

環(huán)節(jié)5：研究性質(zhì).

通過具體函數(shù)的圖象和性質(zhì)，總結(jié)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象和性質(zhì)，啟發(fā)學(xué)生用代數(shù)方法證明函數(shù)性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象的歸納能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

環(huán)節(jié)6：應(yīng)用探究.

構(gòu)造冪函數(shù)比較大小，如[1.3243]與[-243];已知[a-3-3<1+2a-3]，求實(shí)數(shù)[a]的取值范圍;對于函數(shù)[y=x-1x-2，] 利用函數(shù)性質(zhì)作圖. 在解決問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，引領(lǐng)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.

環(huán)節(jié)7：結(jié)構(gòu)概念.

引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)所學(xué)內(nèi)容，建構(gòu)屬于自己的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)圖或思想方法結(jié)構(gòu)圖，師生共同建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)圖如圖2所示.

2. 從具體到抽象，探索函數(shù)概念的本質(zhì)特征

學(xué)習(xí)函數(shù)的概念及函數(shù)的基本性質(zhì)，是一種從具體到抽象的過程. 例如，對于函數(shù)及函數(shù)的表示方法，可以設(shè)計(jì)教學(xué)主線如圖3所示.

（1）教學(xué)目標(biāo)分析.

從生活實(shí)際和具體函數(shù)中感知數(shù)學(xué)的實(shí)際價值，在初中用變量之間依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步用集合語言和對應(yīng)關(guān)系來刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念，滲透化歸思想. 了解構(gòu)成函數(shù)的幾個要素，能夠根據(jù)不同的需要用圖象法、列表法、解析法表示函數(shù)，通過具體實(shí)例了解函數(shù)的分段表示法，能在簡單情形下求函數(shù)的定義域，理解函數(shù)圖象的意義. 了解函數(shù)概念的形成與發(fā)展，體會數(shù)學(xué)知識的來之不易，達(dá)成立德樹人的育人目標(biāo).

（2）教學(xué)方法分析.

學(xué)習(xí)函數(shù)的過程，經(jīng)歷了小學(xué)、初中、高中，函數(shù)概念的學(xué)習(xí)從模糊到清晰、從樸素到深入，與歷史上函數(shù)概念的形成與發(fā)展過程類似，符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律. 本單元重在對具體函數(shù)中的共性進(jìn)行歸納，提煉出函數(shù)的一般概念，是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的具體體現(xiàn). 能夠用代數(shù)運(yùn)算和函數(shù)圖象揭示函數(shù)的主要性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)了直觀想象素養(yǎng). 教學(xué)過程中，從具體到抽象，再回到具體的過程，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

（3）教學(xué)環(huán)節(jié)分析.

設(shè)計(jì)6個教學(xué)環(huán)節(jié)：情境引入、形成概念、明確概念、概念辨析、概念應(yīng)用、歷史回眸.

環(huán)節(jié)1：情境引入.

分別以生活實(shí)例和具體函數(shù)作為引入情境，如噴泉的水柱高度和時間的對應(yīng)關(guān)系;吉林一號衛(wèi)星的速度和燃料質(zhì)量的對應(yīng)關(guān)系;天氣預(yù)報中溫度和時刻的對應(yīng)關(guān)系. 感知數(shù)學(xué)的實(shí)際價值，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

環(huán)節(jié)2：形成概念.

由具體函數(shù)歸納函數(shù)的概念，學(xué)會用集合語言和對應(yīng)關(guān)系完善函數(shù)的概念，挖掘概念的表現(xiàn)到本質(zhì)，體現(xiàn)系統(tǒng)性原則，培養(yǎng)學(xué)生歸納、總結(jié)的能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，滲透化歸思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

環(huán)節(jié)3：明確概念.

進(jìn)一步理解概念，抓住概念的本質(zhì)，逐步形成探究事物的一般規(guī)律. 從函數(shù)的概念中提煉函數(shù)的兩個要素——定義域、解析式，進(jìn)而確定函數(shù)的值域. 結(jié)合情境中的生活實(shí)例，總結(jié)函數(shù)的表示方法——解析法、列表法、圖象法，體現(xiàn)聯(lián)系性原則.

環(huán)節(jié)4：概念辨析.

圍繞概念設(shè)計(jì)簡單問題，辨析函數(shù)的概念，了解函數(shù)圖象的作用;會判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)，如[fx=xx]與[gx=1，x>0，-1，x<0.] 了解函數(shù)的分段表示法.

環(huán)節(jié)5：概念應(yīng)用.

圍繞函數(shù)的概念，幫助學(xué)生解決函數(shù)的相關(guān)問題，會求函數(shù)的定義域和解析式，理解函數(shù)值的意義，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng). 會作具體函數(shù)的圖象，利用代數(shù)運(yùn)算總結(jié)函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用圖形特征檢驗(yàn)函數(shù)的性質(zhì)，形成數(shù)學(xué)直觀素養(yǎng). 在解決問題的過程中進(jìn)行單元小結(jié)，整理出整節(jié)課數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法、核心素養(yǎng)的脈絡(luò).

環(huán)節(jié)6：歷史回眸.

介紹函數(shù)概念的形成與發(fā)展，讓學(xué)生從函數(shù)的歷史由來感知函數(shù)概念的形成是從模糊到清晰、從樸素到深入的逐漸完善的過程，也是人們認(rèn)識事物的一般規(guī)律. 了解函數(shù)概念的發(fā)展歷史，對于更好地理解函數(shù)概念有很大幫助.

3. 從一般到具體，培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力

學(xué)生通過函數(shù)單元的學(xué)習(xí)，體驗(yàn)從一般到具體、用函數(shù)思想解決現(xiàn)實(shí)世界中的變量關(guān)系，探尋現(xiàn)實(shí)生活中變與不變的規(guī)律，提升解決實(shí)際問題的能力. 以用函數(shù)觀點(diǎn)求解方程與不等式、用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)為例，設(shè)計(jì)函數(shù)應(yīng)用的教學(xué)路徑如圖4所示.

（1）教學(xué)目標(biāo)分析.

理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語言和工具. 在實(shí)際情境中，會選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實(shí)問題中有關(guān)量的變化規(guī)律. 了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的關(guān)系. 在簡單的教學(xué)情形下，能借助函數(shù)的性質(zhì)求解方程與不等式，能借助函數(shù)的圖象解釋求解的過程. 了解連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理，理解用二分法求方程近似解的思想及算法.

（2）教學(xué)方法分析.

學(xué)會用函數(shù)的觀點(diǎn)求解方程與不等式，探究函數(shù)、方程、不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)思想和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化能力，在解決問題的過程中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng). 函數(shù)的應(yīng)用中蘊(yùn)含了三條主線，分別是數(shù)學(xué)知識主線、數(shù)學(xué)思想方法主線和解決數(shù)學(xué)問題主線. 引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.

（3）教學(xué)環(huán)節(jié)分析.

設(shè)計(jì)5個教學(xué)環(huán)節(jié)：問題導(dǎo)入、理論背景、思想提煉、應(yīng)用探究、結(jié)構(gòu)升華.

環(huán)節(jié)1：問題導(dǎo)入.

以簡單的數(shù)學(xué)問題導(dǎo)入，用函數(shù)觀點(diǎn)解不等式[x-12-1>0.] 將不等式[fx>0]的解用函數(shù)的觀點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)[y=fx]的圖象位于[y>0]部分的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)，關(guān)注函數(shù)[y=fx]的零點(diǎn)，即方程[fx=0]的解.

環(huán)節(jié)2：理論背景.

解釋其理論背景，探究函數(shù)、方程、不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系，明確函數(shù)的零點(diǎn)、方程的解、函數(shù)圖象的交點(diǎn)之間的關(guān)系，了解零點(diǎn)存在性定理，理解二分法. 提煉解決一類問題的知識基礎(chǔ)，闡明關(guān)聯(lián)，體現(xiàn)聯(lián)系性原則.

環(huán)節(jié)3：思想提煉.

提煉數(shù)學(xué)思想，用函數(shù)的觀點(diǎn)求解方程與不等式，用函數(shù)的圖象解釋求解的過程. 理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的一個重要數(shù)學(xué)語言和工具. 函數(shù)思想與方程思想本質(zhì)上揭示了運(yùn)動和靜止的萬物規(guī)律，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，用函數(shù)的圖象及其性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而解決問題.

環(huán)節(jié)4：應(yīng)用探究.

用函數(shù)的觀點(diǎn)求解方程問題及不等式問題. 例如，用函數(shù)的觀點(diǎn)證明方程[x3+2x+1=100]不存在整數(shù)解;用函數(shù)的觀點(diǎn)解不等式[2x+log2x≥2.] 培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)思想及數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化能力，在解決問題的過程中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng). 探尋函數(shù)、方程、不等式之間的相互聯(lián)系，揭示變與不變之間相互依存、相互轉(zhuǎn)化的規(guī)律. 對學(xué)有余力的學(xué)生進(jìn)行思維拓展訓(xùn)練：若方程[x4+ax-4=0]的各個實(shí)根[x1，x2，…，xk k≤4]所對應(yīng)的點(diǎn)[xi， 4xi i=1，2，…，k]均在直線[y=x]的同側(cè)，求實(shí)數(shù)[a]的取值范圍.

環(huán)節(jié)5：結(jié)構(gòu)升華.

在數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想、問題解決的主線中，通過小組合作學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識，促進(jìn)思維發(fā)展，探尋事物變化的規(guī)律，形成數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法. 幫助學(xué)生逐步形成對函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識，學(xué)會用函數(shù)的觀點(diǎn)解決實(shí)際問題，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

六、結(jié)束語

“函數(shù)”單元的結(jié)構(gòu)化教學(xué)，是以系統(tǒng)性、聯(lián)系性、發(fā)展性為指導(dǎo)原則，以函數(shù)的某一個主題為教學(xué)單元，關(guān)注數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，注重學(xué)生的思維養(yǎng)成，重視學(xué)生的能力發(fā)展，形成解決問題的一般規(guī)律. 學(xué)生心中有結(jié)構(gòu)，便能形成獨(dú)立的學(xué)習(xí)架構(gòu);教師心中有結(jié)構(gòu)，便能系統(tǒng)地指導(dǎo)學(xué)生發(fā)展，啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光探索未知世界，開闊視野、豐富見識.

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[4]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

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