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    論回歸性教學(xué)策略

    2022-03-07 17:09:16鐘志華李善良
    關(guān)鍵詞:回歸教學(xué)策略

    鐘志華 李善良

    摘? 要:回歸是一種十分重要的教學(xué)策略,是探明“學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么”的最有效途徑. 從理論上對(duì)回歸的本質(zhì)、目的、類型及基本途徑等方面進(jìn)行系統(tǒng)探討.

    關(guān)鍵詞:回歸;教學(xué)策略;認(rèn)知起點(diǎn)

    一、什么是回歸

    回歸,《漢語大辭典(三)》給出的解釋是“回還,返回”. 而在西方,回歸最早來自拉丁文recurrere(跑回來),它由再次發(fā)生(recur)的詞義而來. 美國著名教育學(xué)家布魯納認(rèn)為,如果沒有回歸性,任何關(guān)于思想的理論都是無用的. 一門課程在它的教學(xué)進(jìn)展中,應(yīng)反復(fù)地回到這些基本觀念,以這些觀念為基礎(chǔ),直到學(xué)生掌握了與這些觀念相適應(yīng)的完全形式的體系為止. 杜威則認(rèn)為,每一個(gè)終點(diǎn)就是一個(gè)新的起點(diǎn),每一個(gè)起點(diǎn)來自前一個(gè)終點(diǎn). 從聯(lián)系的觀點(diǎn)來看,回歸,是一個(gè)尋找并識(shí)別新知識(shí)的認(rèn)知起點(diǎn)并從中生成新知識(shí)的過程. 具體來說,它是把一個(gè)新知識(shí)或新問題放到學(xué)習(xí)者的已有知識(shí)結(jié)構(gòu)之中,利用已有知識(shí)來給予表征、解釋,或讓新知識(shí)、新方法從認(rèn)知起點(diǎn)生長出來的過程.

    二、為什么要回歸

    1. 回歸可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

    長期以來,很多人對(duì)數(shù)學(xué)存在偏見,認(rèn)為數(shù)學(xué)枯燥、難學(xué). 這種錯(cuò)誤的數(shù)學(xué)觀對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)非常有害,它像腐蝕劑一樣不斷銷蝕著學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和自信心. 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出,數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的首要任務(wù)就是充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 孔子認(rèn)為,好學(xué)者不如樂學(xué)者. 因此,只有采取各種行之有效的方法讓抽象、枯燥的數(shù)學(xué)變得生動(dòng)、有趣,學(xué)生才能好學(xué)、樂學(xué). 而要激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣,關(guān)鍵在于教師要將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)回歸具體,讓學(xué)生看得見、聽得到、摸得著,能讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的過程中充分激起探究興趣、激發(fā)數(shù)學(xué)思考、積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 只有這樣,學(xué)生的抽象才不會(huì)成為無源之水、無本之木.

    例如,在講授蘇教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》(以下統(tǒng)稱“教材”)“對(duì)數(shù)的概念”這一節(jié)課時(shí),教師將教材上的問題“某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì),每經(jīng)過1年,這種物質(zhì)剩留的質(zhì)量是原來的84%,若該物質(zhì)最初的質(zhì)量是1,則經(jīng)過[x]年該物質(zhì)的剩留量為[y=0.84x],若知道該物質(zhì)的剩留量[y,]求所經(jīng)歷的時(shí)間”改編成了“某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì),每經(jīng)過1年,這種物質(zhì)剩留的質(zhì)量是原來的84%,若該物質(zhì)最初的質(zhì)量是1,同學(xué)們能提出什么問題?”這樣一個(gè)更具開放性的問題. 由于它為學(xué)生準(zhǔn)確揭示了指數(shù)運(yùn)算、冪運(yùn)算及對(duì)數(shù)運(yùn)算這三個(gè)概念的共同認(rèn)知起點(diǎn)——如何從[ab=N]中知二求一?從而產(chǎn)生一石激起千層浪的效果,它不僅讓學(xué)生更深刻地認(rèn)識(shí)到指數(shù)運(yùn)算、冪運(yùn)算及對(duì)數(shù)運(yùn)算之間的區(qū)別與聯(lián)系,還為學(xué)生準(zhǔn)確找到新知識(shí)產(chǎn)生的認(rèn)知起點(diǎn),讓學(xué)生在教師精心預(yù)設(shè)的教學(xué)情境中激發(fā)出主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的強(qiáng)烈欲望,收到舉一反三之功效.

    2. 回歸可以更好地進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出,抽象性是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征之一,數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的是抽象的東西,數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的最重要的基本思想也就是抽象. 但是,數(shù)學(xué)的抽象性不是憑空產(chǎn)生的,它需要借助一定的直觀才能達(dá)到. 數(shù)學(xué)的發(fā)展過程充分表明,數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生與發(fā)展是一個(gè)不斷從具體到抽象循環(huán)往復(fù)、不斷上升的過程. 而對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解則需要從抽象回歸具體,要以具體作為理解的基礎(chǔ),作為新知識(shí)、新思路、新方法的生長點(diǎn). 這正如波利亞所言,抽象的道理是重要的,但要用一切辦法使它們看得見、摸得著,即在理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí),要通過回歸這一策略來實(shí)現(xiàn)從具體到抽象的升華. 我國著名數(shù)學(xué)家李大潛院士特別指出,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,要讓抽象成為一種意識(shí),讓探究成為一種習(xí)慣,讓回歸成為一種理念. 這不僅指明了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo)——抽象,而且進(jìn)一步指明了達(dá)到這一目標(biāo)的途徑與方法——探究和回歸. 因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師不僅要善于充分利用圖形所具有的幾何直觀,將復(fù)雜的數(shù)學(xué)對(duì)象簡明化,而且要善于恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造數(shù)學(xué)問題的現(xiàn)實(shí)情境,將抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系具體化,還要善于通過直觀調(diào)動(dòng)學(xué)生的直覺思維以獲得數(shù)學(xué)猜想,通過數(shù)形結(jié)合方法實(shí)現(xiàn)抽象與具體之間的轉(zhuǎn)變.

    例如,在講授教材上的“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用——單調(diào)性”這一內(nèi)容時(shí),教師播放“夜間汽車在山坡上行駛”的動(dòng)畫,并提問學(xué)生:如何根據(jù)汽車的燈光來判定汽車究竟是在上坡還是下坡?這種生活化問題情境,瞬時(shí)激起了學(xué)生強(qiáng)烈的探究欲望,為學(xué)生深入理解運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性奠定了良好的生活基礎(chǔ),讓學(xué)生通過將山坡抽象為一條曲線,將汽車抽象為曲線上的動(dòng)點(diǎn),將汽車的燈光抽象為過曲線上動(dòng)點(diǎn)的切線而很快地發(fā)現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的聯(lián)系.

    3. 回歸可以為新知識(shí)找到生長點(diǎn)

    眾所周知,高度的抽象性一直被認(rèn)為是數(shù)學(xué)的重要特點(diǎn),但現(xiàn)在已經(jīng)逐漸演變?yōu)閿?shù)學(xué)難學(xué)的代名詞. 數(shù)學(xué)固然抽象,但再抽象的數(shù)學(xué)結(jié)論總能找到相對(duì)直觀的表征和解釋. 學(xué)生之所以覺得數(shù)學(xué)抽象,最關(guān)鍵的是教師沒有為學(xué)生找到新知識(shí)賴以產(chǎn)生的源頭,這樣,新知識(shí)就很難從已有知識(shí)的基礎(chǔ)上自然而然地生長出來,于是很多教師只能把知識(shí)從外部硬塞到學(xué)生頭腦中. 由于新知識(shí)缺乏理解基礎(chǔ),學(xué)生自然會(huì)覺得新知識(shí)抽象.

    例如,在教學(xué)教材上的“直線與平面平行的判定定理”這一內(nèi)容時(shí),很多教師只會(huì)告訴學(xué)生如果平面外的一條直線與該平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線就與該平面平行,但不會(huì)給學(xué)生解釋為什么要在平面內(nèi)找這樣的平行線. 由于不能真正理解知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程,導(dǎo)致學(xué)生只能死記硬背知識(shí)點(diǎn). 事實(shí)上,如果從回歸的觀點(diǎn)來看,線面平行的認(rèn)知基礎(chǔ)是線線平行,注意到這一點(diǎn),就比較容易理解為什么要在平面內(nèi)找已知直線的平行線. 因?yàn)?,兩條直線平行的實(shí)質(zhì)是將一條直線平移以后能與另外一條直線重合,類比到直線與平面的平行,就是將直線適當(dāng)平移以后一定能夠落在該平面內(nèi),換種說法就是在平面內(nèi)存在一條直線與已知直線平行.

    像這樣,在教學(xué)時(shí)如果能讓學(xué)生充分回歸到新知識(shí)產(chǎn)生的認(rèn)知起點(diǎn),并讓新知識(shí)在教師的循循善誘下從認(rèn)知起點(diǎn)自然而然地生長出來,那么學(xué)生就不會(huì)覺得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難,也不會(huì)覺得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)枯燥無味. 杜威指出,有時(shí)思想的紛繁相續(xù),常常會(huì)使思考者離開出發(fā)點(diǎn)十分遙遠(yuǎn),以致不能回溯到出發(fā)點(diǎn),但細(xì)究起來,總是有一個(gè)直接經(jīng)驗(yàn)的情境在背后,是你所施的、所受的、所享的、所忍的,而決不單是所想的. 思維即為此情境而起. 這里的情境就是知識(shí)的生長點(diǎn),讓思維回歸到知識(shí)的生長點(diǎn),不僅可以使這一知識(shí)更好地固定在已經(jīng)熟悉的知識(shí)點(diǎn)上,加強(qiáng)與已有知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系,縮短與已有知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系路徑,減少信息提取的時(shí)間,有助于知識(shí)更好地被保持,還可以豐富由知識(shí)生長點(diǎn)所構(gòu)成的概念網(wǎng)絡(luò),建立更為豐富的意義家族相似網(wǎng)絡(luò),從而達(dá)到深化理解之目的. 它可以避免由于思維序列過長或思維層次比較復(fù)雜而導(dǎo)致的思維困難. 問渠那得清如許?為有源頭活水來. 總之,只有真正找準(zhǔn)學(xué)生的思維之源,才能充分激發(fā)學(xué)生的思維、激活學(xué)生的思路,才能在教師的精心啟發(fā)下,讓學(xué)生迸發(fā)出無窮的創(chuàng)造力.

    4. 回歸可以促進(jìn)知識(shí)的深度理解

    眾里尋他千百度,驀然回首,那人卻在燈火闌珊處. 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人常有這樣的體會(huì),有時(shí)候遇到一個(gè)難題苦思冥想總是不得要領(lǐng),但當(dāng)我們跳出這個(gè)問題回歸到這個(gè)問題產(chǎn)生的源頭時(shí)卻會(huì)豁然開朗. 之所以會(huì)出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象,是因?yàn)椋阂环矫?,問題的源頭盡管比較簡單,但卻蘊(yùn)含了理解新知識(shí)的鑰匙和解決復(fù)雜問題所需要的基本思想方法;另一方面,問題的源頭可以讓解題者去除遮蔽、返璞歸真,真正把握問題的本質(zhì),促進(jìn)深度理解. 斯萊爾馬赫認(rèn)為,只有返回到思想產(chǎn)生的根源,這些思想才可能得到真正的理解. 人工智能理論認(rèn)為,深度學(xué)習(xí)是通過組合低層特征形成更加抽象的高層特征的過程. 這說明,要深度理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)必須先回歸到這些知識(shí)產(chǎn)生的源頭.

    例如,很多高中生在剛學(xué)習(xí)函數(shù)的對(duì)應(yīng)定義時(shí)經(jīng)常有這樣的困惑:既然初中已經(jīng)學(xué)過函數(shù),為什么高中還要再學(xué)?初、高中函數(shù)定義之間到底存在什么區(qū)別與聯(lián)系?如果學(xué)生不能真正弄清這些問題,那么他們不僅很難真正理解高中函數(shù)概念的本質(zhì),而且還常常會(huì)混淆初、高中函數(shù)定義. 而解決這一問題的有效策略是采用HPM教學(xué)法,讓學(xué)生充分回歸函數(shù)概念的起源與發(fā)展歷史,讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到初中函數(shù)定義存在不完善之處,如變量的變化范圍不明確、缺乏嚴(yán)格的數(shù)學(xué)符號(hào)語言等,而高中函數(shù)定義正是為了解決初中函數(shù)定義的不完善之處而引入的,并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到初中函數(shù)定義與高中函數(shù)定義之間的區(qū)別與聯(lián)系(見下表),避免初中函數(shù)定義對(duì)高中函數(shù)定義的負(fù)遷移,從而讓學(xué)生真正認(rèn)識(shí)到高中函數(shù)定義由于建立在集合理論基礎(chǔ)上而變得嚴(yán)格這一數(shù)學(xué)本質(zhì).

    5. 回歸也是一種重要的解題策略

    眾所周知,解決問題時(shí)既可以從已知出發(fā)向目標(biāo)前進(jìn),也可以反其道而行之,從要達(dá)到的目標(biāo)出發(fā),思考達(dá)到目標(biāo)應(yīng)具備什么條件,已知條件是否支持這些條件?這種思想方法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用十分普遍,我們?cè)跀?shù)學(xué)解題中常用的分析法、倒推法、以退為進(jìn)法、特殊化法等本質(zhì)上就是一種回歸方法. 著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)指出,要善于退,足夠地退,退到最原始而不失重要的地方,是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅. 又說,先足夠地退到我們最容易看清楚的地方,認(rèn)透了,鉆深了,然后由此向前推進(jìn). 這充分說明回歸思想在數(shù)學(xué)解題中的重要性.

    例如,在解決“已知正數(shù)[a,b,c]滿足[5c-3a≤][b≤4c-a],[clnb≥a+clnc],則[ba]的取值范圍? ? ? ”(2012年江蘇卷理科第14題)這道題時(shí),如果采用回歸方法,通過作變量代換[bc=x],[ac=y],將已知條件中的字母[c]消去,并將原問題轉(zhuǎn)化為“已知[x,y]均為正數(shù),且滿足[5-3y≤][x≤4-y],[lnx≥y],求[xy]的取值范圍”這樣一個(gè)常規(guī)問題,則不僅可以促進(jìn)學(xué)生深刻把握問題本質(zhì),而且可以幫助學(xué)生迅速找到解決問題的思路與方法.

    三、回歸的常見類型

    1. 回歸定義

    這是一些有經(jīng)驗(yàn)的教師經(jīng)常采用的一種教學(xué)策略,這種策略運(yùn)用得恰到好處可以產(chǎn)生柳暗花明之效果. 美國著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育學(xué)家波利亞在總結(jié)“回到定義”這一數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)時(shí)說道,回到定義去是一項(xiàng)重要的思維活動(dòng). 如果我們想明白為什么用文字表達(dá)的定義是如此重要,我們就應(yīng)該先認(rèn)識(shí)到文字是很重要的. 要是不使用文字、標(biāo)記或某種符號(hào),我們就幾乎不能應(yīng)用我們的思維. 通過回到定義去,數(shù)學(xué)家尋求掌握隱藏在專業(yè)術(shù)語背后的數(shù)學(xué)對(duì)象間的真正聯(lián)系. 盡管許多教師平時(shí)也經(jīng)常使用這一教學(xué)策略,但可能僅僅停留于經(jīng)驗(yàn)層面,然而如果能夠真正認(rèn)識(shí)到這一策略的本質(zhì)卻可以更加自覺、更加理性地運(yùn)用它. 因?yàn)椤盎氐蕉x”可以讓解題者回到知識(shí)的生長點(diǎn),可以從知識(shí)的生長點(diǎn)去更深刻地理解問題的本質(zhì)并找到解決問題的思路與方法. 回歸定義既是一種最基本的辦法,也是一種沒有辦法時(shí)的辦法. 如果在解題時(shí),實(shí)在沒有其他辦法可用了,那么嘗試一下回歸定義,也許可以豁然開朗.

    例如,(1)如圖1,分別以[△ABC]的邊[AB,AC]為邊向外作正方形[ABDE]和正方形[ACFG],連接[EG],試判斷[△ABC]與[△AEG]之間的關(guān)系,并說明理由.

    (2)園林小路,曲徑通幽,如圖2,小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石鋪成. 已知中間的所有正方形的面積之和是[a]平方米,內(nèi)圈的所有三角形的面積之和是[b]平方米,這條小路一共占地多少平方米?

    對(duì)于剛學(xué)習(xí)全等三角形證明的學(xué)生來說,第(1)小題的困難是可想而知的,因?yàn)樗粌H需要學(xué)生從直觀上猜想[S△ABC=S△AEG],而且還需要采用非常規(guī)的方法證明這兩個(gè)三角形面積相等. 許多學(xué)生盡管能夠猜想出[S△ABC=S△AEG],但卻不知道如何去證明這一結(jié)論. 這時(shí),回歸定義的“威力”就顯現(xiàn)出來了,因?yàn)橐C明這兩個(gè)三角形面積相等,首先需要將這兩個(gè)三角形的面積表示出來,而要表示就需要用到三角形面積的定義. 當(dāng)然,在運(yùn)用定義的過程中需要具有一定的靈活性,許多學(xué)生一開始會(huì)受圖形條件的干擾去作線段[BC]和[EG]的高,但最后卻無功而返,因?yàn)榧葻o法證明[BC=EG],也無法證明其邊上的高相等. 這就需要結(jié)合具體圖形靈活運(yùn)用回歸定義方法. 事實(shí)上,只要注意到[△ABC]與[△AEG]有一條邊相等([AC=AG]),就容易想到分別作[AC,AG]邊上的高[BQ,EP],然后再證明[BQ=EP],如圖3所示.

    至于第(2)小題的求解,可以通過回歸第(1)小題而獲得解決.

    需要注意的是,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,許多學(xué)生常常會(huì)因?yàn)榭菰餆o味、考試不考而忽視定義的價(jià)值. 其實(shí),在思路的探求、方法的產(chǎn)生及問題的轉(zhuǎn)化等方面,定義有著其他方法無法取代的作用. 因此,在實(shí)際教學(xué)中,教師要牢牢抓住定義并引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)回歸定義,這樣既能幫助學(xué)生鞏固所學(xué),又能充分激發(fā)學(xué)生的思維,促進(jìn)數(shù)學(xué)問題的順利解決.

    2. 回歸原型

    心理學(xué)認(rèn)為,原型(Prototype)不是某一個(gè)特定對(duì)象的內(nèi)部復(fù)本,而是一類客體的內(nèi)部表征,它反映一類客體具有的基本特征,原型的最大特點(diǎn)是它能較其他樣例更容易發(fā)現(xiàn)這類模式的本質(zhì)特征. 事實(shí)上,無論一個(gè)問題多么復(fù)雜,它都是簡單問題通過多次變式以后得到的,我們總可以從中找到構(gòu)成復(fù)雜問題的基本要素——原型. 數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)及基本思想方法中有很多都可以作為解決復(fù)雜問題的原型,如勾股定理是余弦定理、兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式等諸多數(shù)學(xué)公式的原型;拋硬幣、擲骰子的經(jīng)驗(yàn)是理解許多概率問題的基礎(chǔ)——活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)原型;化歸方法、數(shù)形結(jié)合思想方法是解決許多數(shù)學(xué)問題的方法原型. 因此,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,我們應(yīng)該善于識(shí)別復(fù)雜問題中的原型,并及時(shí)將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為基本問題——原型,然后再從基本問題(原型)中找到解決復(fù)雜問題的思路與方法.

    例如,對(duì)于題目“在[△ABC]中,已知[∠ACB=90°],[AC=2,BC=23,E,F(xiàn)]是邊[AB]上異于[A,B]的兩點(diǎn),[EF=1],如圖4所示. 求[CE · CF]的范圍”,如果采用常規(guī)方法(建立平面直角坐標(biāo)系)求解,費(fèi)時(shí)費(fèi)力. 但是如果解題者知道極化恒等式[a · b=14a+b2-a-b2]這一原型,那么求解就變得非常容易. 事實(shí)上,令[M]為[EF]的中點(diǎn),則有[CE · CF=14CE+CF2-CE-CF2=][142CM2-EF2=CM2-14]. 這樣,只需要求出[CM2]的取值范圍即可.

    極化恒等式不僅在解決很多數(shù)學(xué)問題時(shí)非常有效,而且在數(shù)學(xué)發(fā)展史上也有重要地位. 在對(duì)數(shù)產(chǎn)生以前,人們?yōu)榱私鉀Q生產(chǎn)實(shí)際中出現(xiàn)的大量計(jì)算問題,常常利用極化恒等式將兩個(gè)大數(shù)的乘積先表示為這兩個(gè)數(shù)的平方和與這兩個(gè)數(shù)的平方差之差的四分之一,然后再通過查平方表進(jìn)行計(jì)算. 在近幾年的高考試題中,也經(jīng)常會(huì)見到極化恒等式的影子.

    例如,對(duì)于下面兩道高考試題,如果采用極化恒等式解題就非常簡便.

    (2010年福建卷文科第11題)若點(diǎn)[O]和點(diǎn)[F]分別為橢圓[x24+y23=1]的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)[P]為橢圓上的任意一點(diǎn),則[OP · FP]的最大值為(? ? ).

    (A)2? ? (B)3? ? ?(C)6? ? ?(D)8

    (2017年全國Ⅱ卷理科第12題)已知[△ABC]是邊長為2的等邊三角形,[P]為平面[ABC]內(nèi)一點(diǎn),則[PA · PB+PC]的最小值是(? ? ).

    (A)-2? ?(B)[-32]? ?(C)[-43]? ?(D)-1

    3. 回到核心觀點(diǎn)和核心概念

    約翰·D.布蘭思福特和安·L.布朗等人在研究中發(fā)現(xiàn),專家的知識(shí)不僅僅是對(duì)相關(guān)領(lǐng)域的事實(shí)和公式的簡單羅列,相反它是圍繞核心概念或“大觀點(diǎn)”(big idea)來組織的,這些概念和觀點(diǎn)引導(dǎo)他們?nèi)ニ伎甲约旱念I(lǐng)域. 根據(jù)這一研究,他提出教學(xué)要圍繞“大概念”或“大觀點(diǎn)”來聯(lián)系和組織……有效的學(xué)習(xí)要求教師必須了解他們所教學(xué)科的結(jié)構(gòu)(貫穿于其中的思想),并以此作為認(rèn)知路標(biāo)來指導(dǎo)學(xué)生的作業(yè),來評(píng)價(jià)學(xué)生的進(jìn)步. 這一研究結(jié)果與上面所提到的回歸性策略不謀而合,回歸的目的是回到知識(shí)產(chǎn)生的生長點(diǎn),并從此出發(fā)產(chǎn)生和發(fā)現(xiàn)新的知識(shí). 而核心概念和“大觀點(diǎn)”正是新知識(shí)得以產(chǎn)生的重要生長點(diǎn),回歸到核心概念或“大觀點(diǎn)”是為了更好地促進(jìn)知識(shí)的發(fā)生和生長.

    下面以“一元微積分”的教學(xué)為例來具體說明如何圍繞核心概念或“大觀點(diǎn)”來建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系,如圖5所示.

    ①→②,極限概念起源于函數(shù)概念,它研究的是函數(shù)的自變量在一個(gè)無限變化過程中因變量變化的趨勢,屬于函數(shù)性質(zhì)方面的內(nèi)容.

    ②→①,從極限返回研究函數(shù). 一方面,可以借助極限定義的概念——連續(xù)來對(duì)函數(shù)進(jìn)行重新分類,即把函數(shù)分成連續(xù)函數(shù)與非連續(xù)函數(shù);另一方面,可以利用極限更加深入地研究函數(shù)的圖象與性質(zhì),如通過研究函數(shù)圖象的漸近線可以更好地了解函數(shù)圖象無限伸展的趨勢.

    ②→③④,既是極限概念的進(jìn)一步深化與應(yīng)用,也是函數(shù)性質(zhì)的進(jìn)一步拓廣.

    ③→①,利用導(dǎo)數(shù)返回研究函數(shù). 這不僅可以更好地了解函數(shù)的本質(zhì),如可以利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn)、拐點(diǎn)、漸近線,求曲線的切線和法線等,而且可以更好地了解函數(shù)圖象的性態(tài),如可導(dǎo)函數(shù)在作圖時(shí)只要用平滑的曲線把有限個(gè)點(diǎn)連接起來就可以基本反映圖象的大體形狀.

    ③→②,利用導(dǎo)數(shù)可以研究函數(shù)的極限,如利用洛必達(dá)法則求不定式極限,利用泰勒公式求極限等,這讓極限計(jì)算如虎添翼.

    ③→④,主要解決如何求一個(gè)函數(shù)原函數(shù)的問題,它是導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的逆運(yùn)算.

    ④→①,利用積分返回研究函數(shù),可以進(jìn)一步深化對(duì)函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識(shí),如可以求封閉曲線所圍圖形的面積、可以討論函數(shù)的可積性等,而變上限函數(shù)的出現(xiàn)則進(jìn)一步開闊了我們對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí).

    ④→②,由定積分可以研究函數(shù)的極限,如用定積分定義求數(shù)列極限等.

    ④→③,不僅可以更好地認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)與積分之間的關(guān)系,而且利用導(dǎo)數(shù)可以更好地解決定積分的計(jì)算問題. 利用變上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)推得的牛頓-萊布尼茲公式不僅把定積分與不定積分有機(jī)聯(lián)系起來,而且簡化了定積分的計(jì)算.

    由圖5可以看出,一方面,一元函數(shù)微積分學(xué)的7個(gè)基本概念——函數(shù)、極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、不定積分、定積分(函數(shù)概念除外)都可以從函數(shù)這一核心概念生成,如導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量比極限,定積分是函數(shù)積分和極限等;另一方面,通過回歸式教學(xué)又可以對(duì)函數(shù)進(jìn)行分類,可以研究函數(shù)的連續(xù)性、單調(diào)性、最值、極值等各種性質(zhì),從而促進(jìn)對(duì)函數(shù)的深度理解. 這樣,上面的7個(gè)基本概念(函數(shù)概念除外)都可以統(tǒng)一在函數(shù)這一核心概念之下,一元微積分學(xué)最終歸結(jié)為利用極限研究一元函數(shù)的學(xué)問.

    4. 回歸生活

    數(shù)學(xué)來自生活,生活中處處包含著數(shù)學(xué). 著名教育家陶行知先生曾說過,生活教育是給生活以教育,用生活來教育,為生活的向上、向前的需要而教育. 數(shù)學(xué)存在于我們生活的方方面面,在平時(shí),教師應(yīng)處處留心生活情境,觀察生活事實(shí),挖掘潛藏在生活現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)知識(shí),并將其帶入數(shù)學(xué)課堂.

    生活點(diǎn)滴不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)的助力點(diǎn),也是教師創(chuàng)設(shè)生活情境的借力點(diǎn). 隨著課程改革的逐步實(shí)施,“滿堂灌”在數(shù)學(xué)課堂中日漸式微,現(xiàn)在的數(shù)學(xué)課堂更強(qiáng)調(diào)學(xué)生的自主探索,而這需要教師創(chuàng)設(shè)具有豐富生活背景的數(shù)學(xué)情境來引發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出問題,進(jìn)而分析與解決問題. 因此,教師應(yīng)注重觀察生活點(diǎn)滴、積累生活經(jīng)驗(yàn),在數(shù)學(xué)教學(xué)中以生活原型為背景,讓學(xué)生充分回歸生活,在生活中“找”數(shù)學(xué),“想”數(shù)學(xué). 例如,有的教師在講授“確定圓的條件”這一內(nèi)容時(shí)就針對(duì)學(xué)生畫圓不完整這一普遍現(xiàn)象創(chuàng)設(shè)了這樣一種教學(xué)情境:教師在黑板上畫圓時(shí)由于不小心手抖了一下,圓心找不到了,怎樣才能把剩下的部分畫完?然后自然而然想到在已有的圓弧上取一點(diǎn)、兩點(diǎn)直至三點(diǎn)才能確定圓心. 學(xué)生十分熟悉這一情境,不僅容易引起學(xué)生的共鳴,而且能充分激發(fā)學(xué)生的探究欲望.

    四、回歸的基本途徑

    1. 善于進(jìn)行新、舊聯(lián)想

    回歸,是一個(gè)尋找并識(shí)別新知識(shí)的認(rèn)知起點(diǎn)的過程. 因此,進(jìn)行回歸時(shí)要先努力尋求所學(xué)的新知識(shí)或面臨的新問題與學(xué)習(xí)者頭腦中已有知識(shí)之間的聯(lián)系,然后思考是否可以利用已有知識(shí)來表征或解釋這些新知識(shí)或新問題. 在這方面,波利亞曾經(jīng)提出了許多好的策略,他指出,遇到一個(gè)新問題時(shí),首先要思考:這是什么類型的問題?你以前見過它嗎?它與某個(gè)已知的問題有關(guān)嗎?它像某個(gè)已知問題嗎?你見過同樣的題目以一種不同的形式出現(xiàn)嗎?你見過一個(gè)類似的問題嗎?你見過一個(gè)條件類似、結(jié)論類似、圖形類似或方法類似的問題嗎?你見過一個(gè)更特殊的問題嗎?你見過一個(gè)更一般的問題嗎?例如,在教學(xué)“簡單的線性規(guī)劃”這一新知識(shí)時(shí),教師就可以將其與“二元一次不等式(組)與平面區(qū)域”“一元函數(shù)的最值問題”“特殊二元函數(shù)的最值問題”“向量的數(shù)量積”等諸多知識(shí)建立聯(lián)系.

    2. 準(zhǔn)確識(shí)別認(rèn)知起點(diǎn)

    奧蘇貝爾在其名著《教育心理學(xué)——認(rèn)知觀點(diǎn)》的扉頁上這樣寫道:“假如讓我把全部教育心理學(xué)僅僅歸結(jié)為一條原理的話,那么,我將一言以蔽之曰:影響學(xué)習(xí)的唯一重要的因素,就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么. 要探明這一點(diǎn),并應(yīng)據(jù)此進(jìn)行教學(xué).”這說明,只有準(zhǔn)確地把握認(rèn)知起點(diǎn),才能為新知識(shí)的學(xué)習(xí)找到生長點(diǎn)和固著點(diǎn),才能更好地認(rèn)識(shí)新知識(shí)的本質(zhì),新知識(shí)才能學(xué)得深、記得牢.

    例如,在解決“求[z=2x+3y]的最大值,使[x,y]滿足約束條件[x+2y≤8,x≤4,y≤3,x≥0,y≥0]”這一問題時(shí),如果將“一元函數(shù)的最值問題”或“特殊二元函數(shù)的最值問題”作為認(rèn)知起點(diǎn),就不僅可以使學(xué)生更加深刻地認(rèn)識(shí)到該問題是“求二元函數(shù)最值問題”這一實(shí)質(zhì),而且可以從學(xué)生熟悉的知識(shí)入手,通過類比自然而然找到解決問題的方法.

    3. 巧用啟發(fā)理解新知

    回歸不是目的,而是為了更好地前進(jìn). 找到了新知識(shí)的認(rèn)知起點(diǎn)和新、舊知識(shí)之間的聯(lián)系僅完成了回歸的第一步,只有把認(rèn)知起點(diǎn)作為新知識(shí)的生長點(diǎn)或新思想的生發(fā)點(diǎn),并靈活運(yùn)用各種啟發(fā)策略讓學(xué)生從這些認(rèn)知起點(diǎn)出發(fā)生成新知識(shí)、新思想、新方法,才算真正達(dá)到了回歸的目的.

    例如,在解決問題時(shí),教師可以這樣啟發(fā)學(xué)生:我們以前有沒有遇到過這類問題?如果學(xué)生回答“沒有”,教師就可以進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生:我們以前有沒有遇到過類似問題?提出這一問題的目的是引導(dǎo)學(xué)生回憶過去所學(xué)過的特殊二元函數(shù)的最值問題(如“已知函數(shù)[x,y]滿足等式[x-22+y2=3],求[yx]的最大值”等),如果學(xué)生能夠回憶起以前所學(xué)過的特殊二元函數(shù)的最值問題,教師就可以進(jìn)一步追問學(xué)生:我們當(dāng)時(shí)是怎么解決這一問題的?其中的數(shù)學(xué)思想方法是什么?提出這兩個(gè)問題的目的:一是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到解決這一問題的關(guān)鍵是找到目標(biāo)函數(shù)[yx]的幾何意義,并把它轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問題;二是為即將解決的線性規(guī)劃問題找到類比對(duì)象和新方法的生長點(diǎn). 當(dāng)學(xué)生把這些問題弄清楚以后,教師可以順勢提問學(xué)生:這與我們現(xiàn)在要求的問題有什么關(guān)系?你能從中獲得什么啟發(fā)?提出這兩個(gè)問題的目的:一方面,要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到這兩類問題之間具有特殊與一般的關(guān)系,并啟發(fā)學(xué)生類比舊問題解決新問題;另一方面,希望將學(xué)生的思維導(dǎo)向求二元函數(shù)最值問題的關(guān)鍵——找出目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,并將二元函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)最值問題. 如果學(xué)生能認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn),教師就可以很自然地提出“你能說出表達(dá)式[2x+3y]的幾何意義嗎?”“看到[2x+3y],你能聯(lián)想到什么?”等問題,通過這樣的啟發(fā)讓學(xué)生自然地將[2x+3y]與兩個(gè)向量[x,y],[2,3]的數(shù)量積聯(lián)系起來,進(jìn)而認(rèn)識(shí)到表達(dá)式[2x+3y]的幾何意義就是動(dòng)向量[x,y]在定向量[2,3]上的投影與定向量[2,3]的長度的乘積,從而將求目標(biāo)函數(shù)[z=2x+3y]這一二元函數(shù)的最值問題成功轉(zhuǎn)化為求動(dòng)向量[x,y]在定向量[2,3]上的投影這一一元函數(shù)的最值問題.

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