方程思想在初中數學教學過程中的運用

鐘志瑩

摘? 要：方程思想的學習與運用是初中數學教學的重要內容，文章從方程思想的基本概念出發(fā)，結合案例和教學心得，從方程思想在代數和幾何的教學過程的運用進行分析，驗證了方程思想在初中數學教學中的重要作用。

關鍵詞：方程思想，初中數學，教學過程

引言

方程思想是指從問題中的未知量入手，探求未知量和已知量之間的數量關系，運用數學語言，將問題中的條件轉化為數學模型，適當設元建立相應個數的方程（組），實現問題與方程的相互聯(lián)系，進而達到解決問題的目的。方程思想既是解決現實生活中數量關系和變化規(guī)律的重要思維方式，也是初中數學教學的核心內容之一。教師在教學中要有意識地滲透方程思想，讓學生學會初步應用。初中數學學習與小學數學學習有極大的不同，小學數學學習以同一題型反復多練，或者反復操練各種題型，也就是說小學的數學學習以模仿為主，這樣容易束縛學生思維，不利于學生思維能力的培養(yǎng)。中學新課程理念下的數學教學強調要重視數學思想方法的滲透，構建良好認知結構，培養(yǎng)和發(fā)展學生的數學思維能力。而方程思想是學生數學學習的指導思想，更是基本策略。在數學教學過程中有效地運用方程思想，能夠極大地優(yōu)化學生的知識結構，易于理解掌握，還能夠指導學生探索出更多解決問題的方法。

方程思想在初中數學學習中應用廣泛，常見的是與方程有關的應用題。解決這類問題，不僅可以訓練學生的方程思想，也可以讓學生體驗到利用方程思想解決問題的便捷性。在代數問題中建立方程求解未知數，在幾何問題中引入未知量，建立方程求解的教學，可以使學生樹立應用方程思想分析問題和解決問題的觀點，體驗到該方法的優(yōu)越性和直觀性。

小學數學中常出現的雞兔同籠問題兩種解法對比：

例1? ?雞兔同籠，共有頭30個，腿86條，問雞兔各多少只？

小學解法：設都是兔子，則30只兔子應有120條腿，而現在只有86條腿多算了34條。這是因為每把一只雞算成一只兔子就會多算兩條腿，多算了34條腿一定是因為把17只雞算成了17只兔子了。所以雞是17只，兔子是30-17=13只。

初中方程思想解法：設有雞x只，兔子y只，則

答：有雞17只，兔子13只。

顯然，初中方程思想解法一目了然，清晰易懂。

一、教學心得? 初中數學教學過程中，方程思想運用舉例

面對初一新生，如何上好第一節(jié)課甚為關鍵，通過介紹初中數學的學習方法與思想，特別是方程思想的學習，強化學生的思想認知。意識到中學數學學習，只要是求值、計算問題，每一節(jié)新課老師都是在教會你如何用新的方法尋找方程（組）或不等式（組），而你需要解決的大部分求值、計算問題都是在不斷地尋找方程（組）與解方程（組）的過程中完成。因此，審題時必須帶著方程的思想去將題目的條件轉變?yōu)榉匠?，從而達到解決問題的目的。

1.方程思想在代數教學過程中的運用：

（1）方程思想在數與式中的運用：

（2）方程思想在函數中的運用：

求點P的坐標和直線l1的解析式.

分析：a、函數圖像過已知點告訴我們什么？——點滿足函數解析式，即點的坐標可代入解析式得方程。b、函數圖像交點如何使用？——即圖像過交點（與a同理得方程）

顯然用待定系數法求函數解析式，這里有k，b兩個系數要求，必須要有兩個方程才能解決，兩個條件即告訴我們兩個方程，問題迎刃而解。

（3）方程思想在解應用題中的運用

例5? “綠水青山就是金山銀山”，為了更進一步優(yōu)化環(huán)境，甲、乙兩隊承擔河道整治任務。甲、乙兩個工程隊每天共整治河道1500米，且甲工程隊整治3600米河道用的時間與乙工程隊整治2400米所用的時間相等.求甲工程隊每天整治多少米？

應用題是同學們感覺入手比較難的題型，關鍵是找等量關系比較困難，其實一般都有明顯或隱含的等量關系即方程，本題“甲工程隊整治3600米河道用的時間與乙工程隊整治2400米所用的時間相等”是明顯的等量關系，如何準確表達出兩工程隊工作的時間就是解決問題的關鍵所在。

解：設甲工程隊每天整治x米，則乙工程隊每天整治（1500-x）米，根據題意可得：

解得x=900，

經檢驗，x=900是原方程的根，且符合題意.

答：甲工程隊每天整治900米.

例6? A、B兩地相距160km，一人騎自行車從A地出發(fā)，速度為20km/h;另一人騎摩托車從B地出發(fā)，速度是自行車速度的3倍，兩人同時出發(fā)，相向而行，經過多長時間相遇？

這種題看似沒有等量關系，實則隱含對所有行程問題都適用的方程s=vt，即：同一個人所走的路程與他的速度和時間的關系，還有，這是相遇問題，即兩人所走路程之和等于總路程，這樣，運用方程思想就容易解決了。

方程思想在解決代數問題時隨處可見，應用非常廣泛，下面談談方程思想在幾何計算中的運用。

2.方程思想在幾何教學中的運用

幾何教學中有幾何證明、幾何計算、作圖等知識點。幾何計算常會有求長度、求角度、求面積等問題，因此，找到合適的方程進行計算求值是必不可少的，下面舉幾個例子加以說明。

（1）方程思想在翻折問題中的運用：

如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=3，折疊紙片使AD邊與對角線BD重合，折痕為DG，求AG的長。

分析：這道題由于是矩形中部分翻折，因此，很多直角和直角三角形，故易想到直角三角形的性質和相關知識，如勾股定理，三角函數等等， 由翻折可知全等圖形，從而知道哪些線段相等？哪些角相等？把已知的量標在圖上相應位置，設要求的AG=x，則BG=4- x，在△ABD中運用勾股定理求得BD=5，由翻折可知 A'G= AG=x， A' D=AD=3， A' B=BD- A' D=2， 同理運用勾股定理可以表達出△BGA'? 中三邊關系A'B2+ A' G2=GB2，，即有22+ x2=（4-x）2? 求出x即可.這里充分利用了直角三角形中三邊關系勾股定理來構造方程解決問題.

（2）方程思想在相似三角形中的運用

例7? 如圖 D，E分別是△ABC邊AB，AC上的點，∠ADE=∠ACB，若AD=2，AB=6，AC=4，則AE的長是（ ）

A.1

B.2

C.3

D.4

分析：要求線段長度，自然想到找到等式來求解，即要找到相應的方程，告訴我們角相等，又有公共角，顯然想到三角形相似對應邊成比例是解決問題的關鍵。

解得，AE=3，故選C.

二、總結

經過實踐與案例的論證分析可知，在初中數學教學過程中，無論是代數還是幾何，方程思想的運用都是非常廣泛的，如能靈活掌握方程思想，充分運用方程思想，帶著方程思想去思考數學問題，將問題中已知量與未知量之間的數量關系，抽象成方程、不等式等數學模型，則初中數學的教與學必是輕松、愉快、高效的。

參考文獻：

[1]李樹臣.引導學生在過程中感悟數學思想——兼談學生感悟方程思想的根本過程[J].中學數學雜志， 2020（4）：1-5.

[2]王萍. 初中生方程思想解題現狀研究[D].上海：上海師范大學，2020.