非線性蘭姆波在階梯板中傳播的有限元仿真?

孔媛媛 安志武

(1 中國科學(xué)院大學(xué) 北京 100049)

(2 中國科學(xué)院聲學(xué)研究所 聲場聲信息重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京 100190)

0 引言

超聲導(dǎo)波在無損檢測領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。非線性導(dǎo)波檢測則利用了導(dǎo)波信號對亞波長缺陷的非線性響應(yīng)，如高次諧波、次諧波、和頻、差頻波等信號，實(shí)現(xiàn)對微結(jié)構(gòu)的無損檢測。理論上對導(dǎo)波的波形進(jìn)行信號分析，即可以對缺陷進(jìn)行有效的檢測和表征，然而影響導(dǎo)波波形的因素有很多種，如導(dǎo)波波形會受到被測結(jié)構(gòu)的幾何形狀的影響，在波導(dǎo)的幾何形狀不連續(xù)的地方會發(fā)生散射。研究波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的幾何形狀對導(dǎo)波波形的定性和定量影響，對導(dǎo)波無損檢測的實(shí)際應(yīng)用具有重要指導(dǎo)意義。

通過數(shù)值模擬、實(shí)驗(yàn)觀測和理論推導(dǎo)等方法，線性蘭姆波在變厚度板中的傳播性質(zhì)已經(jīng)得到了充分的研究。數(shù)值仿真方面，Cho[1]用有限元方法研究了變厚度板中蘭姆波的模式轉(zhuǎn)換特征；沈意平等[2]用有限元仿真了線性蘭姆波在變厚度板中的模態(tài)轉(zhuǎn)換特性。實(shí)驗(yàn)觀測方面，張旭等[3]運(yùn)用動態(tài)光彈法研究了A0 模式的蘭姆波在臺階板中的傳播特性。Marical 等[4]利用數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)觀測了蘭姆波在板厚高斯函數(shù)緩變的薄板中的傳播規(guī)律，文章觀測到了蘭姆波在厚度緩變處滿足絕熱模態(tài)的傳播條件，且在厚度變化為高斯函數(shù)的區(qū)域觀測到了束縛模態(tài)(trapped mode)，并定量研究了蘭姆波的反射和透射系數(shù)。理論計算方面，Schaal等[5]用最小二乘法推導(dǎo)了蘭姆波在臺階板中的傳播過程，給出了蘭姆波在臺階板中傳播的解析解。Pagneux 等[6]利用蘭姆波的正交性質(zhì)，用模式展開法給出了蘭姆波在厚度連續(xù)變化板中的解析解。Feng等[7]利用模式展開法，對任意幾何截面的板狀波導(dǎo)進(jìn)行階梯狀的離散，并給出了散射矩陣的具體表達(dá)式。

二次本構(gòu)關(guān)系下滋生的非線性蘭姆波在均勻板中的傳播，也已得到了較為完備的研究。Deng[8]、Lima 等[9]先后采用了部分波法和模式展開法研究了非線性蘭姆波二次諧波在固體板中的傳播，得到了蘭姆波二次諧波聲場的解析解。結(jié)果表明，伴隨基頻蘭姆波傳播產(chǎn)生的二次諧波需要滿足一定的共振條件才會表現(xiàn)出振幅隨傳播距離累積增長的性質(zhì)，這樣的共振條件是：二倍頻蘭姆波模式與基頻蘭姆波相速度相等，且基頻蘭姆波有非零能流饋入二次諧波。其他與基頻蘭姆波相速度不等的二倍頻蘭姆波模式，其振幅隨距離傳播出現(xiàn)拍效應(yīng)?；谶@些研究結(jié)果，發(fā)展出了非線性混頻檢測方法，該方法既利用了非線性效應(yīng)對微損傷的靈敏度，也在克服了非線性現(xiàn)象無法精準(zhǔn)定位損傷位置的缺點(diǎn)。非線性蘭姆波在厚度非均勻板中的研究還比較欠缺，Hu 等[10]通過理論計算和有限元仿真研究了厚度緩變板中S0 模式的非線性蘭姆波的傳播特征，得到了蘭姆波在厚度緩變板中的傳播規(guī)律，文章發(fā)現(xiàn)，滿足絕熱條件的蘭姆波模式在厚度緩變板中依然存在與勻厚板中類似的累積效應(yīng)和拍效應(yīng)。綜上所述，針對二次諧波在均勻?qū)Рㄖ械膫鞑ヒ?guī)律，已有較為完整的研究，得到了二次諧波幅值的增長規(guī)律；而針對非均勻板中的傳播規(guī)律，相關(guān)的研究還較為缺乏，只研究了厚度近似均勻、厚度緩變的情況。

本文通過有限元仿真模擬了非線性蘭姆波的S0 模式在臺階板中的傳播特征，并選擇S0-S0 蘭姆波模式對。仿真中只考慮幾何非線性和本構(gòu)關(guān)系非線性，本構(gòu)非線性采用Murnaghan 模型[11]。本文主要由4 部分組成，第一部分介紹了有限元仿真過程，包括幾何模型建立、本構(gòu)模型建立以及反射波的抑制；第二部分介紹了仿真信號的后處理方法，給出了二維離散傅里葉變換結(jié)果和蘭姆波模態(tài)幅值的對應(yīng)關(guān)系，以及蘭姆波模態(tài)能流的計算方法；第三部分介紹了勻厚度板中非線性蘭姆波傳播的仿真結(jié)果，通過驗(yàn)證諧波模態(tài)和累積二次諧波的增長周期證明了仿真程序的可靠性；第四部分給出了階梯板中非線性蘭姆波的仿真結(jié)果，通過二維離散傅里葉變換驗(yàn)證了傳播模態(tài)和二次諧波滋生的過程，并給出了不同厚度階梯板結(jié)構(gòu)中非線性蘭姆波的基波和二次諧波的透射、反射系數(shù)。

1 階梯板的有限元建模

1.1 階梯板幾何模型建立

階梯板的模型如圖1所示，進(jìn)行二維平面應(yīng)變仿真，主要參數(shù)為厚度差height_dif。分析區(qū)域總長為1000 mm，在A、B兩點(diǎn)處施加激發(fā)信號，即為信號傳播的起始點(diǎn)，激發(fā)出蘭姆波后沿x正方向傳播1000 mm 后被吸收，吸收層的總厚度為100 mm，信號向左傳播100 mm 后也進(jìn)入一個100 mm 的阻尼吸收層。

圖1 有限元仿真幾何模型Fig.1 Geometry of finite element simulation

1.2 阻尼吸收層的設(shè)置

通過修改吸收層材料的瑞利阻尼來吸收傳入的蘭姆波，以減小反射回波。將100 mm長的吸收層平均分成40個子層，每段子層長2.5 mm，材料設(shè)置為線彈性材料，吸收層材料的拉梅系數(shù)與傳播區(qū)域的材料拉梅系數(shù)相同，每一子層的瑞利阻尼不同，設(shè)第i層的瑞利阻尼為αi。序號按照蘭姆波的傳播方向依次編號，即入射波依次入射第1 層、第2 層···以此類推。瑞利阻尼設(shè)為[12]

其中，αmax=1.5×106。兩側(cè)吸收層都按照這樣的規(guī)律進(jìn)行設(shè)置。

1.3 材料本構(gòu)模型參數(shù)設(shè)置

分析區(qū)域的材料定義使用Murnaghan 模型，分析區(qū)域的材料參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 材料參數(shù)Table 1 Material parameters

圖1中標(biāo)記的分析區(qū)域以及分析區(qū)域左側(cè)100 mm 長的區(qū)域與分析區(qū)域均使用表1中的材料定義；其他區(qū)域的材料使用線彈性本構(gòu)關(guān)系，楊氏模量和泊松比的取值采用表1，吸收層參考第1.2 節(jié)額外定義瑞利阻尼系數(shù)。

2 信號后處理方法

2.1 離散二維傅里葉變換與頻率波數(shù)域的轉(zhuǎn)換關(guān)系

仿真過程中所得的位移信號可以看作關(guān)于位置和傳播時間的二維離散信號，對信號進(jìn)行二維傅里葉變換可以得到信號在波數(shù)-頻率空間的分布規(guī)律，從而得到關(guān)于各個傳播模態(tài)的有用信息。二維傅里葉變換將位移值分解成不同波數(shù)、頻率沿x方向傳播的行波之和[13?14]，離散二維傅里葉變換將時間空間域的二維矩陣u變換成相空間的矩陣：

其中，方括號中的兩個參數(shù)分別為矩陣的行列編號，M為空間采樣點(diǎn)數(shù)量，N為時域采樣點(diǎn)數(shù)量。記時域采樣頻率為fs，空間采樣頻率為f′s，時域采樣間隔為Δt，空間采樣間隔為Δx。有限元仿真所得數(shù)據(jù)是對板表面的面內(nèi)位移或離面位移在時間、空間上均勻采樣得到的M行N列的矩陣：

本文采用的時間、空間采樣點(diǎn)數(shù)、采樣率和采樣間隔如表2所示。

表2 采樣信息Table 2 Sampling parameters

當(dāng)M或N為奇數(shù)時，將M/2、N/2 分別替換成(M+1)/2、(N+1)/2 即可，由二維傅里葉變換的對稱性，頻率軸只有一半的有效值，只取頻率軸的前半部分。頻率波數(shù)域的轉(zhuǎn)換關(guān)系對應(yīng)圖2(a)和圖2(c)，相空間的上半部分的波數(shù)為正值，下半部分的波數(shù)為負(fù)值，圖2(a)中M和N均為偶數(shù)，圖2(c)中M和N均為奇數(shù)。為了和頻散曲線相對照，需要整體交換上下平面的順序，使波數(shù)的零點(diǎn)位于波數(shù)軸的中間，交換后的結(jié)果如圖2(b)和圖2(d)所示。此時第(p+1)行元素對應(yīng)的波數(shù)為

圖2 二維離散傅里葉變換矩陣與頻率波數(shù)的對應(yīng)關(guān)系Fig.2 Matrix obtained by discrete 2D Fourier transform and its relationship between wave number and frequency

頻率為f的正向傳播的模態(tài)n蘭姆波在均勻板中的位移場為

表達(dá)式為復(fù)數(shù)形式，取表達(dá)式的實(shí)部表示實(shí)際位移值。下標(biāo)為模態(tài)編號，上標(biāo)表示頻率，模態(tài)n的波數(shù)由頻散關(guān)系確定，令kfn >0。模態(tài)n在薄板上表面的離面位移可以寫成行波的形式：

比較式(3)和式(10)，可知二維傅里葉變換結(jié)果和蘭姆波模態(tài)振幅有如下對應(yīng)關(guān)系：

圖2(a)中，上半部分的波數(shù)為正，代表負(fù)向傳播的蘭姆波模態(tài)，下半部分的波數(shù)為負(fù)，代表正向傳播的蘭姆波模態(tài)，經(jīng)過二維離散傅里葉變換后的二維矩陣與對應(yīng)波數(shù)和頻率的蘭姆波模態(tài)一一對應(yīng)的關(guān)系，波數(shù)對應(yīng)關(guān)系為式(8)，頻率對應(yīng)關(guān)系為式(7)。

2.2 透射系數(shù)和反射系數(shù)的定義

參考Morvan等[15]的定義方式，定義系數(shù)：

該系數(shù)將理論的表面振幅U(h)與通過橫截面的能流φ聯(lián)系起來，S0 模態(tài)ξ的理論值與頻厚積的關(guān)系如圖3所示，其中材料參數(shù)的定義參考表1，每條線都表示不同的厚度板的計算結(jié)果，從遠(yuǎn)離原點(diǎn)到靠近原點(diǎn)的方向，依次表示厚度為4000 μm、3400 μm、2800 μm、2200 μm、1600 μm、1000 μm、400 μm 的薄板中的計算結(jié)果。其中空心圓對應(yīng)150 kHz，星標(biāo)對應(yīng)300 kHz，分別對應(yīng)有限元仿真中的基波和二次諧波的頻率。

圖3 不同厚度板中的蘭姆波ξ 值Fig.3 The value of ξ in plate with different thickness

經(jīng)過二維傅里葉變換，可以求得信號在相空間(k,f)的分布，即第n階蘭姆波在給定頻率f下的位移幅值，根據(jù)式(11)和式(12)，可以求出第n階蘭姆波模態(tài)的能流：

圖4列出了階梯板中各個模態(tài)的能流分布情況，φinnc(f)表示頻率為f的入射模態(tài)n，下標(biāo)為模態(tài)編號，上標(biāo)inc 表示入射波，若上標(biāo)為r表示反射波，t表示透射波?；l、二次諧頻S0 模態(tài)的透射、反射系數(shù)的定義為

圖4 各階模態(tài)蘭姆波能流Fig.4 Power flux of each Lamb mode

這里的反射與透射系數(shù)的定義與界面反射投射系數(shù)的定義類似，表示了特定頻率透射和反射波能量占入射波能量的比值。若只考慮入射和反射，反射、透射系數(shù)一般都小于1。

3 均勻厚度板有限元仿真結(jié)果與理論驗(yàn)證

3.1 激發(fā)條件

首先針對厚度差height_dif為零的情況進(jìn)行仿真，即板厚均勻的情況，板厚設(shè)置為4 mm。按照理論預(yù)測，滿足共振條件的S0 模式蘭姆波會產(chǎn)生出S0 模式的二次諧波。改變激發(fā)信號的中心頻率f0，分別設(shè)為150 kHz、170 kHz、190 kHz、210 kHz，在A、B兩點(diǎn)上下對稱地施加傳播方向的位移約束u(t)。圖5為S0模式蘭姆波的波結(jié)構(gòu)圖，位移值均已用二范數(shù)進(jìn)行歸一。實(shí)線表示面內(nèi)位移，即x方向位移，虛線表示離面位移，即y方向位移。圖5(a)～圖5(d)分別表示頻率為150 Hz、170 kHz、190 kHz、210 kHz 的S0 模式蘭姆波波結(jié)構(gòu)。振動模式包含x方向和y方向的位移，在150～210 kHz 頻段，面內(nèi)位移振幅大于離面位移振幅，振動模式以面內(nèi)位移為主。仿真過程中，統(tǒng)一在A、B兩點(diǎn)施加相同的面內(nèi)位移約束u(t)，以激發(fā)出想要的S0 模態(tài)，振幅大小為5 μm，u(t)為經(jīng)過漢寧窗調(diào)制的18 周期正弦波，中心頻率分別為150 kHz、170 kHz、190 kHz、210 kHz。中心頻率為150 kHz 的激發(fā)信號的時域和頻域曲線如圖6所示。

圖5 S0 模式蘭姆波波結(jié)構(gòu)圖Fig.5 Wave structure of S0 mode Lamb wave

每隔1 mm 接收一次板表面(y=h)處的位移信號，共得到1000 組不同傳播距離的位移信號。圖6(c)和圖6(d)分別為中心頻率為150 kHz 時，傳播距離為500 mm 處，x方向的時域位移信號u(t)和經(jīng)過傅里葉變換的頻域信號?u(f)，從頻譜反映出位移信號包含基頻(150 kHz)和二倍頻(300 kHz)成分，和激發(fā)信號相比滋生出了二次諧波信號。

圖6 激發(fā)和接收信號Fig.6 Excitation and receiving signals

3.2 累積二次諧波增長規(guī)律驗(yàn)證

對1000 個接收點(diǎn)接收到的時域信號依次做傅里葉變換，提取二倍頻處的幅值，不同激發(fā)頻率下二次諧波幅值隨著傳播距離的變化如圖7所示。由于吸收層無法將蘭姆波完全吸收，仍然存在微弱的反射波，故經(jīng)過傅里葉變換的二次諧波幅值受到了反射波波包中二次諧波成分的影響，存在一定的抖動，但基本上可以反映蘭姆波二次諧波隨距離的傳播規(guī)律，類似的兩個波包存在時進(jìn)行傅里葉變換所導(dǎo)致的抖動在階梯板中有更明顯的體現(xiàn)。為了避免這樣的影響，對時間信號統(tǒng)一做截斷，可以發(fā)現(xiàn)，在0～400 mm 處的二次振幅演化曲線的抖動明顯減輕，這是因?yàn)樵谶@段傳播距離內(nèi)沒有截取到反射波包，傳播到此處的時域信號僅包含一個波包。

圖7 二次諧波振幅隨著傳播距離的變化Fig.7 The relationship between the amplitude of second harmonics and propagation distance

當(dāng)相速度匹配條件近似滿足時，二次諧波的幅值呈現(xiàn)周期震蕩，理論震蕩周期為[7]

其中，kω0和k2ω0的下標(biāo)表示S0 模態(tài)，上標(biāo)表示該波數(shù)所對應(yīng)的頻率。產(chǎn)生累積二次諧波的條件為，對于傳播模態(tài)，即為k2ω0=2kω0，滿足匹配條件時，理論震蕩周期趨向無窮大，當(dāng)這個條件近似成立時，相速度越匹配，震蕩周期越大，累積增長的距離越長。利用理論公式和有限元仿真分別求得的二次諧波震蕩周期如表3所示。

表3 二次諧波振幅增長周期的理論解和仿真結(jié)果Table 3 Theoretical and simulated solutions of the period of accumulation

3.3 激發(fā)模態(tài)驗(yàn)證

下面只考察信號中心頻率為150 kHz 時得到的位移信號，每隔1 mm接收一次上表面(y=h)處的x方向位移信號，將這1000 組信號組合成一個位移矩陣。如圖8所示，位移矩陣的灰度圖如圖8(a)所示。灰度圖的橫軸表示接收點(diǎn)的位置，對應(yīng)的縱軸為時間軸，灰度表示振幅的大小，圖8(b)為距離接收點(diǎn)500 mm 處所接收到的時域波形，將其振幅轉(zhuǎn)換成灰度圖表示，如圖8(c)所示，即為圖8(a)灰度圖的第500列。

與圖6(c)類似，圖8(b)有輕微抖動，主要原因是蘭姆波在邊界處的反射。本文通過增大仿真邊界處材料的瑞利阻尼減少蘭姆波的反射，只能減少反射波的產(chǎn)生，無法消除所有反射波。在3.2節(jié)已有闡述，此次不再贅述。

圖8 各點(diǎn)接收到的位移信號組成的二維矩陣Fig.8 The matrix representing displacement signals received at different positions

對位移矩陣進(jìn)行二維傅里葉變換，可以得到信號在波數(shù)-頻率域的分布情況，如圖9所示，同樣也用灰度圖表示，橫軸表示頻率，縱軸表示波數(shù)。圖中的白色虛線為對稱模式的頻散曲線，白色實(shí)線表示反對稱模態(tài)的理論頻散曲線?？梢园l(fā)現(xiàn)，在基頻和二次諧頻處均激發(fā)出了向x軸正向傳播的S0 模式的蘭姆波模態(tài)。

圖9 二維離散傅里葉變換結(jié)果Fig.9 The result of 2D discrete Fourier transform

綜上所述，仿真得到的二維傅里葉變換結(jié)果與理論頻散曲線相吻合，S0 模式的基頻蘭姆波激發(fā)出了S0 模式的二次諧波。同時仿真所得的二次諧波的增長周期也與理論預(yù)測基本吻合，誤差在5%以下，驗(yàn)證了仿真程序的正確性。

4 S0模式非線性蘭姆波在階梯板中傳播的有限元仿真結(jié)果

4.1 基本傳播規(guī)律

材料參數(shù)不變， 固定激發(fā)信號的中心頻率為150 kHz，只改變兩個階梯板之間的厚度差height_dif， 分別將厚度差設(shè)置為3600 μm、2400 μm、1800 μm、1200 μm、600 μm、0 進(jìn)行仿真，各個傳播距離接收到的時域波形圖如圖10 所示?？梢杂^察到，在厚度突變處，部分蘭姆波發(fā)生反射，且反射波的振幅隨著厚度差的增大而增大，入射波和透射波的相速度和群速度保持不變。其中入射波和透射波的群速度約為5230.4 m/s，反射波的群速度約為?5437.0 m/s。對每個接收點(diǎn)處的時域信號進(jìn)行傅里葉變換，取二次諧波信號，可以得到蘭姆波的二次諧波隨傳播距離的變化規(guī)律，如圖11所示，可以看到，傳播距離為0～500 mm 時，二次諧波的振幅劇烈的抖動，表示不同接收點(diǎn)處入射和反射波包的傅里葉變換結(jié)果。傳播距離大于500 mm時，蘭姆波的累積效應(yīng)隨著厚度差的增大而增大，此處S0 模式的基波和二次諧波的相速度匹配程度隨著頻厚積的減小而增大，累積效應(yīng)增大。

圖10 不同階梯高度下的位移時域仿真結(jié)果Fig.10 Simulated time-domain displacement signal with different step heights

圖11 二次諧波幅值隨著傳播距離的變化Fig.11 Variation of the amplitude of the second harmonic wave with respect to propagation distance

4.2 模態(tài)分析

由于蘭姆波在不同厚度的板中的頻散關(guān)系不同，需要對傳播距離小于500 mm 以及大于500 mm 的時域位移信號分別進(jìn)行二維傅里葉變換。設(shè)仿真所得的所有信號為u(xi,tj)，其中0 ≤xi≤1000 mm，0 ≤tj≤6×10?4s，空間采樣率為1 mm，仿真結(jié)果可以組成一個1000 行的矩陣，對這個矩陣進(jìn)行分塊，分成前500 行和后500行，分別進(jìn)行二維傅里葉變換。圖12 是入射和反射波的波數(shù)-頻率域分布情況，即對前500 行位移信號的傅里葉變換結(jié)果；圖13 是透射波的波數(shù)-頻率域分布情況，即對后500 行位移信號的傅里葉變換結(jié)果。圖12 和圖13 上均疊加了理論頻散曲線，可以看到，圖13 疊加了厚度為4 mm 時的頻散曲線，圖12上疊加的頻散曲線各不相同，其對應(yīng)的厚度為(4 mm-height_dif)，即薄端的頻散關(guān)系。

圖12中可以觀察到兩個方向的傳播模態(tài)，既有波數(shù)為正的模態(tài)也有波數(shù)為負(fù)的模態(tài)，說明在厚端出現(xiàn)了兩個方向傳播的蘭姆波，即入射波和反射波。每個傳播方向又可以觀察到基頻波和二次諧波成分，分別對應(yīng)150 kHz 和300 kHz，所有模態(tài)都與S0模態(tài)的頻散曲線重合，說明兩個方向傳播的基波和二次諧波均為S0模式。色階圖也分別反映出了這4個模態(tài)的能量大小，反射波的二次諧波能量隨著階梯板的厚度差不斷增大。圖13 中只能觀察到一個方向的傳播模態(tài)，只有入射波，隨著厚度差的增大，S0 模式的頻散曲線在低頻處越趨向于一條直線，透射波二次諧波的幅度不斷增大，而且也更容易滋生S0 模式的高次諧波，因?yàn)榇藭r各個高階模態(tài)的相速度幾乎相同，滿足相速度匹配的條件。

圖12 入射和反射波二維離散傅里葉變換結(jié)果Fig.12 2D discrete Fourier transform of incident and reflected waves

4.3 透射和反射系數(shù)的計算和分析

基于圖12 和圖13 所示的二維離散傅里葉變換結(jié)果，可以分別提取出入射、反射和透射的基波和二次諧波振幅。利用公式(15)可以計算出不同頻率、不同傳播方向模式蘭姆波通過橫截面的能流大小，相應(yīng)的透射和反射系數(shù)與能量轉(zhuǎn)換關(guān)系，入射和反射系數(shù)的定義見公式(16)。圖14 分別為基波、二次諧波的透射和反射系數(shù)，實(shí)線為基波、虛線為二次諧波。階梯板厚度差增大，向薄端入射的基波幅值整體呈下降趨勢，反射系數(shù)單調(diào)增加。隨著階梯板厚度差增大，二次諧波的透射系數(shù)先增大后減小，且出現(xiàn)了透射、反射系數(shù)大于1 的情況，這與能量守恒關(guān)系并不矛盾，根據(jù)公式(16)的定義，透射和反射系數(shù)中的分母均為入射二次諧波的能流大小，透射和反射的高次諧波的能量大于入射二次諧波的能量，是傳播過程中基波能量向高次諧波饋入的結(jié)果。圖15 為入射、反射和透射波中二次諧波和基波的能流之比。對于入射波，波導(dǎo)厚度相同、傳播距離相同的情況下，二次諧波的能流與基波的能流之比不隨階梯板厚度的增大而改變。對于反射波，累積二次諧波的幅值也與波導(dǎo)厚度、傳播距離相關(guān)，二次諧波能量與基波能量之比應(yīng)該保持不變，但是在非線性諧波散射問題中，二次諧波的來源有兩種，反射基波的諧波滋生、入射二次諧波的反射。由于反射二次諧波的能量隨著階梯板厚度的增加而增加，反射波的二次諧波能量與反射基波的能量之比也隨著階梯板厚度差的增大而逐漸增大。可以看到，在階梯板中，由于散射的存在，反射二次諧波的幅值不僅與傳播距離相關(guān)，而且會隨著反射的增強(qiáng)而增大。

圖13 透射波二維離散傅里葉變換的結(jié)果Fig.13 2D discrete Fourier transform of transmitted waves

圖14 基波和二次諧波的透射和反射系數(shù)Fig.14 Transmission and reflection coefficient of fundamental and second harmonic waves

圖15 入射、反射、透射波中二次諧波與基波能量之比Fig.15 The power flux ratio of second harmonics to fundamental waves of incident, reflected and transmitted waves

5 結(jié)論

本文利用有限元研究了非線性蘭姆波在本構(gòu)非線性階梯板中的產(chǎn)生、傳播和散射現(xiàn)象，并分析了相關(guān)傳播規(guī)律?；诰鶆虬逯欣鄯e二次諧波滋生的現(xiàn)象，構(gòu)建了厚度突變的階梯板模型，研究了散射對累積二次諧波現(xiàn)象的影響。研究發(fā)現(xiàn)，階梯板的存在對非線性蘭姆波的傳播存在兩點(diǎn)影響：其一，厚度的改變會影響S0-S0 模式基波和二次諧波相速度的匹配程度，進(jìn)而影響二次諧波的累積效應(yīng)；其二，S0模式會在厚度突變處發(fā)生散射，且不發(fā)生模式轉(zhuǎn)換。隨著階梯板的厚度差增大，這兩種現(xiàn)象對于透射二次諧波的能量大小起到相反的作用，散射效應(yīng)使得透射能量逐漸減小，但是厚度的減小使得二次諧波累積效應(yīng)越來越明顯，仿真結(jié)果中可以觀察到透射二次諧波能量存在先上升后下降的趨勢，在一定厚度差處存在一個極大值。而在均勻厚度板中，累積二次諧波的大小只與傳播距離相關(guān)。綜上，階梯板中的非線性蘭姆波存在兩種能量轉(zhuǎn)換機(jī)制，一是傳播過程中基波能量向高次諧波饋入，二是階梯板處的反射和透射。兩種機(jī)制共同作用，決定了各個模態(tài)和頻率的非線性蘭姆波能量分配關(guān)系。