從“價值”入手學(xué)習(xí)“數(shù)對”
——“用數(shù)對確定位置”的教學(xué)實踐與思考

周維娜 浙江省寧波市奉化區(qū)尚田街道中心小學(xué)

“位置”的內(nèi)容屬于“圖形與幾何”領(lǐng)域，是對應(yīng)學(xué)段目標(biāo)“探索一些圖形的位置關(guān)系，了解確定物體位置的方法”的要求而設(shè)計編排的，是數(shù)學(xué)課程改革新增的內(nèi)容，主要學(xué)習(xí)在具體情境中根據(jù)行與列這兩個因素確定物體的位置，繼而學(xué)習(xí)用數(shù)對表示具體情境中物體的位置，同時學(xué)會在方格紙上根據(jù)數(shù)對確定物體的位置。這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)是基于生活實際與現(xiàn)實的需要，以學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗為抓手，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，同時為溝通六年級上冊“位置與方向”及第三學(xué)段“圖形與坐標(biāo)”的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。

一、課前追問、整理與思考

（一）課前追問

學(xué)生在日常生活中已有豐富的用數(shù)表示位置的經(jīng)驗，而且第幾排第幾個、第幾列第幾行已經(jīng)夠簡潔了，也能確定位置，那么為什么還要引入用數(shù)對確定位置呢？這種經(jīng)驗對學(xué)習(xí)數(shù)對是一種促進還是干擾？教學(xué)中，經(jīng)常用“哪種表示法比較簡潔”“還有更簡潔的表示方法嗎”引入數(shù)對，強調(diào)用數(shù)對表示位置的簡潔性。從學(xué)生的思維角度看，真的是這樣嗎？在平面圖和現(xiàn)實空間中確定位置，哪個更重要呢？

（二）整理與思考

1.學(xué)習(xí)用數(shù)對確定位置是數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需求

2011 年版課標(biāo)對“位置”教學(xué)做了如下規(guī)定：

在具體情境中，能在方格紙上用數(shù)對（限于正整數(shù)）表示位置，知道數(shù)對與方格紙上點的對應(yīng)。例如：小青坐在教室的第3 行第4 列，請用數(shù)對表示，并在方格紙上描出來。在同樣的規(guī)則下，小明坐在教室的第1 行第3 列應(yīng)當(dāng)怎樣表示？

【說明】需要先在方格紙上標(biāo)明正整數(shù)刻度，希望學(xué)生能夠把握數(shù)對與方格紙上點（行列或者列行）的對應(yīng)關(guān)系，并且知道不同的數(shù)對之間可以進行比較。這個過程有利于學(xué)生將來直觀理解直角坐標(biāo)系。

按照2011 年版課標(biāo)的要求，其教學(xué)目標(biāo)主要不在于用“數(shù)對”找位置，而是要為日后的平面直角坐標(biāo)系提供直觀的認(rèn)識，用數(shù)對分析幾何圖形，為“數(shù)”與圖形中的“點”架起一座橋梁?？梢妼W(xué)習(xí)數(shù)對確定位置不是為了解決生活問題，而是數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需求：建立平面直角坐標(biāo)系，在平面內(nèi)描述點的位置。

2.日常生活經(jīng)驗會干擾學(xué)生用數(shù)對表示位置

數(shù)對這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)是基于生活實際與現(xiàn)實溝通的需要，以學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗為抓手。數(shù)對是一個整體，是有序的、不可調(diào)換的。學(xué)生用數(shù)對表示位置時，首先，要克服自己已有生活經(jīng)驗的負(fù)遷移；其次，要理順數(shù)對表示位置的有序性：從左往右觀察第幾列，從下往上觀察第幾行。而現(xiàn)實教室空間中描述位置的規(guī)定又和平面圖上不一樣。現(xiàn)實空間中遵循方便原則，只要大家都明白，“數(shù)”與“位置”就建立了一一對應(yīng)的關(guān)系?？梢妼W(xué)生的現(xiàn)實經(jīng)驗和現(xiàn)實空間情境給學(xué)生造成了一定的干擾。數(shù)對表示位置的簡單、簡潔，只是書寫上的簡單、簡潔，對初學(xué)的學(xué)生來說在思維上反而更復(fù)雜。

3.平面圖上確定位置是學(xué)習(xí)重點

2011 年版課標(biāo)中說明，學(xué)習(xí)“有序數(shù)對”的目的是“為進一步學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系做好鋪墊”。也就是說，“有序數(shù)對”的價值更多地體現(xiàn)在表示平面中點的位置。在實際的教室中，學(xué)生用第幾排第幾個完全能說得清楚，為什么非要用數(shù)對表示位置呢？鑒于此，我們不能花大量時間在現(xiàn)實空間實際教室中學(xué)習(xí)用數(shù)對確定某位同學(xué)的位置，在平面圖上確定位置才是學(xué)習(xí)的重點。

那么要不要適當(dāng)在實際教室中確定位置呢？我覺得是有必要的?，F(xiàn)實教室中確定同學(xué)的位置，觀察方向和平面圖上不同，為了能正向引導(dǎo)學(xué)生在平面圖上用數(shù)對確定位置，不受現(xiàn)實教室的干擾，教學(xué)中，有必要經(jīng)歷將平面圖轉(zhuǎn)化為現(xiàn)實空間、將現(xiàn)實空間轉(zhuǎn)化為平面圖的過程。如果只是在平面圖上用數(shù)對確定某個點的位置，形式單一，學(xué)生會覺得枯燥，會降低學(xué)習(xí)的興趣和積極性。

二、教學(xué)實踐思考

基于上述課前追問、整理與思考，我從數(shù)對本身的特性、價值入手進行了課堂教學(xué)實踐。

（一）經(jīng)歷數(shù)對表示位置的統(tǒng)一性、結(jié)構(gòu)性和唯一性

1.自主建構(gòu)用數(shù)對確定位置：體會數(shù)對的統(tǒng)一性、結(jié)構(gòu)性

用數(shù)對確定位置，更為重要的是：數(shù)對表示方法的統(tǒng)一性、結(jié)構(gòu)性。也就是說，所有人都這樣表示，不會產(chǎn)生分歧和異議，便于溝通和交流。在課堂教學(xué)中，如何體現(xiàn)這種統(tǒng)一性和結(jié)構(gòu)性呢？主要通過“激發(fā)生活經(jīng)驗，制造矛盾沖突，加入統(tǒng)一規(guī)定，引入數(shù)對表示，介紹數(shù)對各部分組成”實現(xiàn)。

對在生活中已具有一定找位置經(jīng)驗的五年級學(xué)生來說，本節(jié)內(nèi)容沒有太大難度。那么為什么要安排學(xué)生自主探索呢？因為學(xué)生在生活中已經(jīng)能用“第幾”描述物體的位置，還經(jīng)歷了類似用“第幾排第幾個”的方法找到物體的位置，如教室里的座位、電影院的座位等，已初步積累了在二維空間中用2 個數(shù)表示位置的經(jīng)驗。為了不讓學(xué)生的生活經(jīng)驗對數(shù)對學(xué)習(xí)造成干擾，教學(xué)時，充分肯定、利用學(xué)生的這些已有經(jīng)驗，同時讓每個學(xué)生感受到：如果每個人都用自己的經(jīng)驗、自己的標(biāo)準(zhǔn)確定位置，每一次都需要做說明，若不說明別人不一定看得懂。此時，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗被調(diào)出來：這樣不方便溝通和交流，需要做統(tǒng)一規(guī)定。這個統(tǒng)一規(guī)定是怎樣的？

2.多種形式體會數(shù)對的唯一性

用數(shù)對確定位置的本質(zhì)是數(shù)與點的一一對應(yīng)性：一個具體的有序數(shù)對只能表示一個位置，平面內(nèi)的任意一個點都可以用一個有序數(shù)對表示。課堂教學(xué)中，如何讓學(xué)生體會這種一一對應(yīng)的唯一性呢？我是通過三個層次的任務(wù)設(shè)計實現(xiàn)的。

任務(wù)設(shè)計1：游戲形式體會數(shù)對的唯一性。

師：我們玩一個難度大一點兒的。周老師寫一個數(shù)對，請符合的同學(xué)站起來。

數(shù)對（3，x）讓第3 列的學(xué)生站起來，數(shù)對（x，4）讓第4 行的學(xué)生站起來，而數(shù)對（5，4）只讓1 個學(xué)生站起來。通過這樣的游戲形式，學(xué)生感受到同列數(shù)對只確定了列數(shù)，行數(shù)不確定；同行數(shù)對只確定了行數(shù)，列數(shù)不確定，所以數(shù)對（3，x）、（x，4）可以表示多個學(xué)生的位置，又由于現(xiàn)實班級人數(shù)原因，這里的x 不能表示任意數(shù)，只是正整數(shù)，還是有范圍的，是根據(jù)現(xiàn)實中教室座位確定的。數(shù)對（5，4）是列數(shù)、行數(shù)都確定的具體的數(shù)對，它只能確定1 個學(xué)生的位置。一個有序數(shù)對確定位置的唯一性通過游戲形式在不知不覺中完成。

任務(wù)設(shè)計2：體會數(shù)對和點一一對應(yīng)。

師：請用數(shù)對寫出自己的位置。

反饋時，指明學(xué)生到黑板上點著圖匯報。

層次反饋：

第一層次：直接能在方格圖上找到；

第二層次：在方格圖上找不到自己的位置，需要擴大方格圖。

這幅座位圖故意不按班級實際人數(shù)設(shè)計。如果班里學(xué)生正好40 人，我會追問：班里又來了1 個同學(xué)，坐在數(shù)對（5，6），你能找到他的位置嗎？如果班里學(xué)生超出了40人，肯定有學(xué)生不能直接找到自己的位置。這時，引發(fā)學(xué)生思考：我的座位還能在這幅座位圖上找到嗎？如果可以，怎么確定呢？增加1 行，擴大方格圖，就可以找到自己的位置?？磥?，表示位置的數(shù)對都可以在方格圖上找到對應(yīng)的位置，如果方格圖不夠，就增加行或列擴大方格圖，埋下一個有序數(shù)對表示位置唯一性的種子。

任務(wù)設(shè)計3：體會點和數(shù)對一一對應(yīng)。

“平面內(nèi)任意一個點都可以用數(shù)對表示”看起來挺深奧的，不容易理解?！叭绻c在方格外，你怎么確定它的位置”？這么一問，學(xué)生想起來可以增加行或列，擴大方格圖，這樣點就能用數(shù)對表示。如果點在方格圖的左下方，其實也是增加行或列，只是增加的是-1 這行、-2這行或-1 這列、-2 這列而已。小學(xué)階段“用數(shù)對確定位置”只表示第一象限，現(xiàn)在擴展到四個象限都有，初步建立了平面直角坐標(biāo)系。盡管這個環(huán)節(jié)考試時不會考，和學(xué)生的成績也無關(guān)，但是我覺得非常有必要，符合學(xué)生的學(xué)習(xí)認(rèn)知。既然方格上的點都可以用數(shù)對表示位置，那方格外的點呢？這是學(xué)生自然會想到的問題，所以不妨拿出來討論一下。同時讓學(xué)生更好地體會到：平面內(nèi)的任意一個點都可以和一個有序數(shù)對一一對應(yīng)，更好地體會數(shù)對的唯一性。

用“數(shù)對確定位置的方法”是人為規(guī)定的，但是這種“人為規(guī)定性”方法方便溝通和交流，給我們帶來便利，更為重要的是體會到這種表示法的價值。

（二）經(jīng)歷抽象化過程，初步體會直角坐標(biāo)思想

用“數(shù)對確定位置”的學(xué)習(xí)重點是在平面內(nèi)描述點的位置，而“平面圖”是需要逐級抽象的，在這個抽象的過程中，讓學(xué)生初步體會直角坐標(biāo)思想。

數(shù)對其實就是坐標(biāo)的原型，是點的位置的抽象。因此，從座位圖引入數(shù)對后，及時把座位圖抽象成點子圖。

任務(wù)設(shè)計:

師：為了看得更清楚，我們可以把全班學(xué)生的座位用一個個小圓點表示。

圖1

圖2

確定學(xué)生的位置，其實質(zhì)是：把學(xué)生的位置看成一個點，在平面圖上確定點的位置。以學(xué)生座位表為依托，引入數(shù)對表示位置的過程中，具體的學(xué)生座位平面圖已具有直角坐標(biāo)系的雛形，此時用小圓點表示學(xué)生的座位，從具體的座位平面圖中抽象出點子圖，學(xué)生是可以接受的。這樣可以避免生活經(jīng)驗干擾學(xué)生用數(shù)對確定位置，更多的是從統(tǒng)一規(guī)定出發(fā)確定點的位置，更接近學(xué)習(xí)數(shù)對的本質(zhì)：在平面圖上確定點的位置，同時為后面“0”起點的方格圖做了必要的鋪墊。

（三）經(jīng)歷分析數(shù)對，體會數(shù)對的價值

為什么要在平面內(nèi)描述點的位置呢？為什么要建立“數(shù)對”和格點之間的一一對應(yīng)關(guān)系呢？2011 年版課標(biāo)給出的答案是：為了以后建立坐標(biāo)系，數(shù)形結(jié)合，用“數(shù)”表示幾何對象，研究直線和曲線。課堂教學(xué)中，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)形結(jié)合、位置關(guān)系推導(dǎo)、分析數(shù)對等過程，發(fā)展學(xué)生的空間觀念，進一步認(rèn)識到學(xué)習(xí)數(shù)對的價值。

如列數(shù)相同的數(shù)對如（6，x）表示豎著的直線，行數(shù)相同的數(shù)對如（x，6）表示橫著的直線。根據(jù)數(shù)對的某種特性，在幾何上可以表示許多不同的直線，此時可以想象，學(xué)生內(nèi)心的震動是非常強烈的。

任務(wù)設(shè)計：以AB 邊為底，頂點C 與頂點A、B 組成等腰三角形，想一想，頂點C 會在哪兒移動呢？把你找的點連接起來，說說你發(fā)現(xiàn)了什么。

找頂點C 的過程中，有的學(xué)生只是零散地找到頂點C 的位置；有的學(xué)生頂點C（正整數(shù)點）都找到了，還主動排除了數(shù)對（6，3）；還有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)（6，0）、（6，1）、（6，2）、（6，4）、（6，5）、（6，6）、（6，7）、（6，8）這些數(shù)對都是第6 列，但是行數(shù)不同，可以用數(shù)對（6，x）表示，把這些點連接起來是一條豎著的直線，不過學(xué)生心中x 代表的數(shù)是1、2、4、5、6、7、8。這時，教師可以指著圖上“x=1.5、9、-1”的點追問：頂點C 在這里可以嗎？學(xué)生發(fā)現(xiàn)也可以，思路被打開，x 可以表示除3 外的任何數(shù)，也知道數(shù)對（6，x）表示頂點C 在第6 列這條豎著的直線上移動。

盡管當(dāng)頂點C 在方格外時或者表示類似數(shù)對（6，1.5）這樣的點時，學(xué)生理解起來有一定的難度；盡管學(xué)生的理解反饋層次不一，但是不影響學(xué)生更進一步認(rèn)識、體會數(shù)對的價值：當(dāng)列數(shù)確定、行數(shù)不確定時，數(shù)對表示豎著放的直線；數(shù)對可以表示點的移動，數(shù)和圖形建立起聯(lián)系。

學(xué)習(xí)用數(shù)對確定位置的價值，絕不僅僅是為了確定生活中諸如公園景點、教室中某個學(xué)生的位置確定等問題，更為重要的是體會這種“表示”的價值。數(shù)對是人為規(guī)定的，具有結(jié)構(gòu)性、統(tǒng)一性和唯一性；在經(jīng)歷抽象化的過程中，初步感知平面直角坐標(biāo)系的思想和方法；數(shù)對可以用來分析圖形?？梢?，數(shù)對本身的“特性”“價值”是“用數(shù)對確定位置”這節(jié)課的“魂”。