量子計算數(shù)學(xué)本質(zhì)及金融應(yīng)用研究

林 陽

量子計算是遵循量子力學(xué)規(guī)律調(diào)控量子信息單元進(jìn)行計算的新型計算模式，被認(rèn)為能夠突破經(jīng)典電子計算機(jī)的芯片工藝和算力瓶頸，具有廣闊的發(fā)展空間。《中華人民共和國國民經(jīng)濟(jì)和社會發(fā)展第十四個五年規(guī)劃和2035年遠(yuǎn)景目標(biāo)綱要》提出，加快布局量子計算等前沿技術(shù)，加強(qiáng)關(guān)鍵數(shù)字技術(shù)創(chuàng)新應(yīng)用。中國人民銀行發(fā)布的《金融科技發(fā)展規(guī)劃（2022——2025年）》提出，探索運用量子技術(shù)突破現(xiàn)有算力約束、算法瓶頸，提升金融服務(wù)并發(fā)處理能力和智能運算效率，節(jié)省能源消耗和設(shè)備空間，逐步培育一批有價值、可落地的金融應(yīng)用場景。2022年10月，諾貝爾物理學(xué)獎花落量子力學(xué)和量子計算領(lǐng)域的三位物理學(xué)家，更加凸顯了量子計算的重要性。

量子計算與經(jīng)典的電子計算相比具有鮮明的特點和差異，表現(xiàn)出并行和隨機(jī)計算的特性，并在特定的數(shù)學(xué)問題上有良好的應(yīng)用前景。金融業(yè)加深對于量子計算特點和數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握，有利于進(jìn)一步深化對量子計算的應(yīng)用。

量子計算數(shù)學(xué)本質(zhì)和特點

量子計算遵循的是微觀世界的物理規(guī)律————量子力學(xué)，采用物理對象的狀態(tài)（如光子偏振態(tài)、電子自旋態(tài)等）的不同存儲信息進(jìn)行計算。量子力學(xué)的數(shù)學(xué)性質(zhì)決定了量子計算在數(shù)學(xué)上呈現(xiàn)并行性和隨機(jī)性兩種特性，也決定了其適合解決的數(shù)學(xué)問題的類別。

并行性。經(jīng)典的電子計算機(jī)存儲信息單元是比特，一個比特只能存儲0或者1兩種信息中的一種，其存儲能力隨經(jīng)典比特數(shù)量的增加而線性增加。而量子計算的存儲信息單元是量子比特，量子比特可以呈現(xiàn)基態(tài)|0＞或基態(tài)|1＞，也可以是基態(tài)的任意復(fù)系數(shù)的線性疊加態(tài)，數(shù)學(xué)上表述為|φ＞=a|0＞+b|1＞（a和b均為復(fù)數(shù)）。其中的根本原因是，表述量子力學(xué)狀態(tài)的波函數(shù)是遵從薛定諤方程的，而薛定諤方程是線性偏微分方程，其波函數(shù)解的任意復(fù)系數(shù)線性組合也是允許的解。因此，基態(tài)的任意復(fù)系數(shù)線性組合疊加態(tài)也是允許存在的狀態(tài)。上述表述中，基態(tài)可以理解為不會被測量改變的狀態(tài)，可以類比一個處于正面或反面的硬幣，而疊加態(tài)則更像一個處于旋轉(zhuǎn)中的硬幣，同時包含了兩種基態(tài)的信息。

因此，一個量子比特可以同時存儲|0＞和|1＞兩種信息。按照此規(guī)律延伸，N個量子比特可以存儲從|00…0＞到|11…1＞共2N個可能的狀態(tài)，其存儲能力隨著量子比特數(shù)量的增加而指數(shù)增長。這種多態(tài)并存的數(shù)學(xué)特性使得量子計算機(jī)能夠?qū)崿F(xiàn)實質(zhì)意義上的并行計算。而經(jīng)典的電子計算機(jī)只能依靠硬件效率的提升（如采用頻率更高的CPU）或硬件堆疊（如采用多個CPU或多核CPU）來實現(xiàn)算力的線性提升；而量子計算由于其量子比特的疊加態(tài)的存在，可以通過一次運算并行得到所有存儲在量子比特中的狀態(tài)的結(jié)果，實現(xiàn)算力的指數(shù)提升。

概率性。根據(jù)量子力學(xué)的數(shù)學(xué)原理，量子比特盡管可以以疊加態(tài)存儲多個狀態(tài)，但從這些狀態(tài)提取信息時必須經(jīng)過測量。而測量將使得量子比特從疊加態(tài)“退化”為其中的一個基態(tài)，就如同一個旋轉(zhuǎn)的硬幣在被按住觀察時只能呈現(xiàn)正反面中的一面的道理。具體的，對于一個量子比特|φ＞=a|0＞+b|1＞進(jìn)行觀測，其退化為基態(tài)|0＞的概率為其復(fù)系數(shù)a的模平方|a|2，退化為基態(tài)|1＞的概率為其復(fù)系數(shù)b的模平方|b|2=1-|a|2。這一點和經(jīng)典電子計算機(jī)也存在本質(zhì)差別，經(jīng)典電子計算機(jī)無論進(jìn)行多少次測量都不會改變其狀態(tài)和其中存儲的信息。

金融業(yè)應(yīng)用量子計算的幾類數(shù)學(xué)問題

從上文對于量子計算的特點分析可以看出，由于其數(shù)學(xué)本質(zhì)，量子計算更加擅長并行計算和隨機(jī)計算。這也決定了量子計算在金融業(yè)的應(yīng)用并非所有的場景都適合，例如對于準(zhǔn)確性要求極高的交易、賬務(wù)處理等領(lǐng)域就不適合應(yīng)用量子計算。金融業(yè)可以圍繞上述兩個特點，尋找適合量子應(yīng)用的場景。我們可以將這些場景試著抽象和歸納為如下數(shù)學(xué)問題。

組合爆炸問題。金融業(yè)中有較多場景在數(shù)學(xué)本質(zhì)上是組合爆炸問題。例如，投資組合的優(yōu)化問題，如果要從100種潛在的資產(chǎn)中選擇10種資產(chǎn)打包為一個投資組合，即便是不考慮資產(chǎn)的權(quán)重分配的不同，也有17萬億種可能的組合。因此，金融機(jī)構(gòu)經(jīng)常需要對潛在資產(chǎn)進(jìn)行人為篩選，來匹配有限的分析能力。如應(yīng)用量子計算并行得到多個投資組合的表現(xiàn)結(jié)果，將會極大地提升金融機(jī)構(gòu)選擇投資品的視野，也有助于不同的金融機(jī)構(gòu)找到不同的投資組合，避免投資中的羊群效應(yīng)引發(fā)的市場劇烈波動。

風(fēng)險管理中的入模因子選擇問題也是組合爆炸問題。金融業(yè)面對的風(fēng)險往往受到國內(nèi)外政治環(huán)境、宏觀經(jīng)濟(jì)以及金融政策等方面因素的影響。金融機(jī)構(gòu)通過因子建模的方式試圖在數(shù)學(xué)上分析多因子影響下的表現(xiàn)。對于多因子影響模型，應(yīng)該選擇哪些因子進(jìn)行建模，在數(shù)學(xué)上也是一個組合爆炸問題。應(yīng)用量子計算并行對于多種入模因子組合進(jìn)行分析，將有可能將部分不易察覺的風(fēng)險因子或因子組合納入考慮，提升金融機(jī)構(gòu)風(fēng)險控制的全面性。

此外，還有拓?fù)鋵W(xué)中的路徑選擇問題，例如金融機(jī)構(gòu)網(wǎng)點（或ATM等自助機(jī)具）布局優(yōu)化問題、金融市場的套利機(jī)會尋找問題（例如套匯方案）等，本質(zhì)上也是在各個路徑之間的排列組合中選優(yōu)的問題，因此也是量子計算的潛在應(yīng)用場景。

搜索和匹配問題。在排序算法的支持下，結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)的搜索效率是可以得到保障的。但對于非結(jié)構(gòu)化的數(shù)據(jù)，如視頻、圖像等的搜索，由于缺乏有效的數(shù)據(jù)組織方法，搜索效率相對較低，只能基于窮舉等方法提升效率。而量子計算則可以利用其并行計算能力和Grover等算法極大地提升非結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)搜索算法的效率。金融機(jī)構(gòu)數(shù)字化轉(zhuǎn)型勢必要涉及客戶人臉數(shù)據(jù)、“雙錄”或安保等場景的視頻數(shù)據(jù)，以及票據(jù)、證件影像等圖像數(shù)據(jù)等非結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)的搜索和分析。因此，相關(guān)的場景也將是金融機(jī)構(gòu)應(yīng)用量子計算的一個潛在領(lǐng)域。

隨機(jī)數(shù)問題。傳統(tǒng)的電子計算機(jī)采用確定的方法生成不易被猜中規(guī)律的“偽隨機(jī)數(shù)”，但仍有被破解的可能性。真正的隨機(jī)數(shù)只能通過物理過程產(chǎn)生。而量子計算的隨機(jī)性是源自物理過程的真隨機(jī)性，不可被重復(fù)和破解。因此，基于隨機(jī)性的量子計算也可以應(yīng)用在需要隨機(jī)數(shù)的金融服務(wù)場景，如密鑰生成、客戶登錄驗證碼生成等。

模擬問題。例如，資本市場中的衍生品定價問題，由于衍生品的價格取決于底層資產(chǎn)的走勢，而衍生品定價中理論的BSM模型等都對市場作了某種理想化假設(shè)（無交易摩擦、無風(fēng)險套利機(jī)會等），所以蒙特卡洛模擬算法廣泛地應(yīng)用在衍生品定價領(lǐng)域，通過模仿底層資產(chǎn)的走勢來獲得期權(quán)定價的合理期望值。而量子計算由于其真隨機(jī)性導(dǎo)致了其能夠更好地去除偽隨機(jī)性帶來的模擬噪聲，且其并行計算的特性相對于時間線性的蒙特卡洛算法也可以擁有更好的效率。因此，量子計算廣泛地應(yīng)用在資本市場的衍生品定價等領(lǐng)域。

金融業(yè)量子計算領(lǐng)域發(fā)展建議

綜上，量子計算的數(shù)學(xué)特性決定了其對于特定數(shù)學(xué)問題的適應(yīng)性。金融業(yè)在探索量子計算應(yīng)用時，可還原和抽象金融問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，然后利用量子計算的特性對相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行求解或效率提升，最終將相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)論還原到真實的金融場景中。盡管目前量子計算距離大規(guī)模商用仍有一定距離，但量子計算不是傳統(tǒng)意義上的組合創(chuàng)新，而是具備顛覆式創(chuàng)新能力的新技術(shù)，將對包括金融業(yè)在內(nèi)的各行各業(yè)產(chǎn)生廣泛而深遠(yuǎn)的影響，具有較好的潛在發(fā)展價值。建議金融機(jī)構(gòu)將量子計算視為未來影響自身數(shù)字化轉(zhuǎn)型的關(guān)鍵技術(shù)，加大研究和投入力度，為未來應(yīng)用量子計算做好充分準(zhǔn)備。

加強(qiáng)應(yīng)用場景的梳理和探索。對目前量子計算的多種使用場景和案例進(jìn)行系統(tǒng)性梳理，還原量子計算機(jī)的特性以及適合解決金融問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)。從金融問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)出發(fā)，結(jié)合自身業(yè)務(wù)的實際需要，在眾多金融業(yè)務(wù)場景中尋找適合量子計算發(fā)揮作用的業(yè)務(wù)場景，深化量子計算的金融應(yīng)用。

加強(qiáng)跨行業(yè)交流。量子計算金融應(yīng)用涉及量子計算提供商、云計算提供商、科研院所和金融機(jī)構(gòu)的多方合作。建議建立健全各方跨行業(yè)交流機(jī)制，對應(yīng)用需求明確、有望引領(lǐng)和促進(jìn)金融業(yè)數(shù)字化轉(zhuǎn)型的量子計算技術(shù)方向開展針對性研究，進(jìn)一步提升相關(guān)技術(shù)成熟度和可應(yīng)用性。

加大人才培養(yǎng)。人才是未來金融業(yè)發(fā)展和應(yīng)用量子計算的根本。金融業(yè)量子計算相關(guān)人才需要具備金融、計算機(jī)、數(shù)學(xué)、物理學(xué)等多重復(fù)合背景，門檻高、培養(yǎng)難度大。建議量子計算產(chǎn)業(yè)相關(guān)方和金融機(jī)構(gòu)加大對量子計算人才的培養(yǎng)，為金融業(yè)應(yīng)用量子計算培養(yǎng)扎實理論基礎(chǔ)和業(yè)務(wù)實際經(jīng)驗兼?zhèn)涞娜瞬藕髠滠姟?/p>