火災(zāi)下四種不同邊界雙向板的極限承載力計(jì)算

朱三凡，董毓利，張大山，段進(jìn)濤

(1. 華僑大學(xué)土木工程學(xué)院，福建，廈門 361021；2. 健研檢測集團(tuán)有限公司，福建，廈門 361004)

鋼筋混凝土板在火災(zāi)下發(fā)生大撓度時(shí)的承載力比塑性鉸線理論計(jì)算值大得多，這是因?yàn)樵诨炷涟鍍?nèi)產(chǎn)生了受拉薄膜效應(yīng)[1-8]。目前，國內(nèi)外學(xué)者根據(jù)各自提出的薄膜效應(yīng)產(chǎn)生機(jī)理，推導(dǎo)出了一些計(jì)算方法，但存在計(jì)算過程比較復(fù)雜、假設(shè)條件太多等問題[9-15]。作者所在的課題組也在這方面進(jìn)行了深入研究：董毓利[16]用變形和分解原理求解了混凝土板的受拉薄膜效應(yīng)，給出了沒有水平約束的矩形、方形雙向板極限承載力計(jì)算公式，楊志年[17]、朱崇績等[18-19]、張大山等[20-21]在此基礎(chǔ)上提出了考慮受拉薄膜效應(yīng)的火災(zāi)下鋼筋混凝土四邊簡支雙向板、四邊固支雙向板、鄰邊簡支、鄰邊固支雙向板、僅在柱上有梁的雙向板樓蓋和平板無梁樓蓋單向板的極限承載力計(jì)算公式。

本文在課題組原有工作的基礎(chǔ)上，對三邊簡支一邊固支、三邊固支一邊簡支、兩長邊固支兩短邊簡支、兩長邊簡支兩短邊固支四種不同邊界鋼筋混凝土雙向板極限承載力計(jì)算作進(jìn)一步研究。

1 塑性鉸線理論

基本假定[17-18,21]：適筋板的破壞起始于受拉鋼筋的屈服。發(fā)生破壞時(shí)，在塑性鉸線處發(fā)生塑性變形及受拉鋼筋屈服。鋼筋未出現(xiàn)硬化。

基于經(jīng)典塑性鉸線理論，火災(zāi)下三邊簡支一邊固支、三邊固支一邊簡支、兩長邊固支兩短邊簡支、兩長邊簡支兩短邊固支四種不同邊界雙向板的破壞模式見圖1～圖4。

圖1 三邊簡支一邊固支雙向板的塑性鉸線模式Fig. 1 Plastic hinge line configuration of the slab with simply supported on three sides and clamped on one side

圖2 三邊固支一邊簡支雙向板的塑性鉸線模式Fig. 2 Plastic hinge line configuration of the slab with simply supported on one side and clamped on three sides

圖3 兩長邊固支兩短邊簡支雙向板的塑性鉸線模式Fig. 3 Plastic hinge line configuration of the slab with simply supported on two long sides and clamped on two short sides

圖4 兩長邊簡支兩短邊固支雙向板的塑性鉸線模式Fig. 4 Plastic hinge line configuration of the slab with simply supported on two long sides and clamped on two long sides

在雙向板中心位移達(dá)到v時(shí)，鋼筋合力方向不再保持水平，而是與水平向形成了一個(gè)角度θ，產(chǎn)生了豎向分力Tsinθ，如圖5 和圖6 所示。隨著板中豎向位移的繼續(xù)增大、板底鋼筋溫度的持續(xù)升高，混凝土壓力C和鋼筋的合力T均不斷減小，鋼筋豎向分力Tsinθ不斷增大，薄膜效應(yīng)不斷增強(qiáng)板的極限承載力也相應(yīng)提高[16]。，

圖5 塑性鉸線截面的受力Fig. 5 Forces at the yield hinge section of the slab

圖6 豎向位移及轉(zhuǎn)動(dòng)角示意圖Fig. 6 Diagram of vertical displacement and rotation angle

2 基于塑性鉸線理論的承載力計(jì)算

2.1 板塊平衡法

以三長邊固支一短邊簡支雙向板為例，常溫下：

板塊①繞AD軸轉(zhuǎn)動(dòng)的平衡方程為：

板塊②繞AB軸轉(zhuǎn)動(dòng)的平衡方程為：

板塊③繞BC軸轉(zhuǎn)動(dòng)的平衡方程為：

板塊④繞CD軸轉(zhuǎn)動(dòng)的平衡方程為：

式(1)～式(4)中：mx、my分別為常溫下塑性鉸線處x、y兩個(gè)方向的截面抵抗矩；mxe、mye分別為x、y兩個(gè)方向固支邊軸線處的負(fù)彎矩；q為混凝土板的承載力，包括板的恒載及板面活荷載。

由板塊幾何關(guān)系可知：y1=y2=l/2

由式(1)～式(4)可以解得：

混凝土板形成塑性鉸線后，塑性鉸線的位置就已確定，并且隨著撓度的增大，位置不再發(fā)生變化，故常溫下計(jì)算得到的xi、yi可用于高溫下雙向板極限承載力計(jì)算。

高溫下，受拉鋼筋豎向分力參與受力，板內(nèi)產(chǎn)生薄膜效應(yīng)后，式(1)～式(4)應(yīng)變化為：

其中：

三邊固支一邊簡支雙向板的極限承載力為：

基于板塊平衡法同樣可以對三邊簡支一邊固支、兩長邊固支兩短邊簡支及兩長邊簡支兩短邊固支三種邊界的雙向板進(jìn)行求解。

三邊簡支一邊固支雙向板：

兩長邊固支兩短邊簡支雙向板：

兩長邊簡支兩短邊固支：

將本文所提出的四種邊界雙向板求得的極限承載能力計(jì)算公式與文獻(xiàn)[17 - 18]所提出四邊簡支、四邊固支、鄰邊簡支鄰邊固支三種邊界雙向板極限承載力計(jì)算公式進(jìn)行匯總，匯總結(jié)果見表1。其中，式(23)～式(26)為四邊簡支雙向板各板塊極限承載力計(jì)算公式。由表1 及板塊平衡方程式(1)～式(4)可知，基于板塊平衡法雙向板各板塊的極限承載力計(jì)算公式僅與各自板塊的邊界條件有關(guān)，與其他板塊的邊界條件無關(guān)；不同邊界條件雙向板中相同邊界條件的板塊極限承載力計(jì)算公式相同，但塑性鉸線位置xi、yi不同。

表1 火災(zāi)下不同邊界雙向板極限承載力(板塊平衡法)Table 1 Load-carrying capacity of two-way slabs with different boundary (plate balance method)

在表1 基礎(chǔ)上整理得到可適用于各種邊界條件的雙向板極限承載力計(jì)算通用公式：

式中：k=0,1為所屬板塊有固支邊時(shí)為1，無固支邊時(shí)為0；i=1,2為q1和q3計(jì)算時(shí)，i分別取為2 和1，q2和q4計(jì)算時(shí)，i分別取為1 和2。

2.2 能量法

以兩長邊固支兩短邊簡支雙向板為例，大撓度情況下，板的張拉薄膜效應(yīng)在塑性鉸線出現(xiàn)后產(chǎn)生，且產(chǎn)生薄膜效應(yīng)的原因是塑性鉸線截面處屈服鋼筋伸長所做塑性功[16]。塑性鉸線BE繞AB、BC轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)鋼筋伸長所做功為：

塑性鉸線AE繞AB、AD轉(zhuǎn)動(dòng)鋼筋伸長所做功為：

塑性鉸線CF繞CD、BC轉(zhuǎn)動(dòng)鋼筋伸長所做功為：

塑性鉸線DF繞軸線CD、AD轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)鋼筋伸長所做功為：

塑性鉸線EF繞AB、CD軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)鋼筋伸長所做功為：

上述法律人士同時(shí)表示，在司法實(shí)踐中，罰金刑經(jīng)常會遇到執(zhí)行難問題，為了解決這一問題，有不少法院會以從輕處罰作為交換條件，促使被告人在正式宣判之前先繳納罰金，從而解決“判了白判”的問題。所以，開庭前催罰金也就成了不少法院（尤其是基層法院）的普遍做法。

截面彎矩轉(zhuǎn)動(dòng)做功為：

鋼筋伸長所做的功為：

外力做功與內(nèi)力做功相等，W=D1+D2，由式(39)～式(41)可以得到兩長邊固支兩短邊簡支雙向板的極限承載力：

將本文所提出的基于塑性鉸線理論能量法的四種邊界雙向板極限承載力計(jì)算公式與文獻(xiàn)[17 - 18]所提出三種邊界雙向板極限承載力計(jì)算公式進(jìn)行匯總，匯總結(jié)果見表2。式(47)為四邊簡支雙向板極限承載力計(jì)算公式。從表2 可知，基于塑性鉸線理論能量法計(jì)算不同邊界雙向板承載力極限計(jì)算公式與所有板塊的邊界條件均相關(guān)，各種邊界條件下承載力均可在四邊簡支板計(jì)算公式的基礎(chǔ)上加上固支邊彎矩產(chǎn)生的承載力分量得到。

在表2 基礎(chǔ)上整理得到可適用于各種邊界條件雙向板極限承載力計(jì)算通用公式為：

表2 火災(zāi)下不同邊界雙向板極限承載力(能量法)Table 2 Load-carrying capacity of two-way slabs with different boundary (energy method)

式中，k=0,1——所屬板塊有固支邊時(shí)為1、無固支邊時(shí)為0。

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證以上雙向板承載力計(jì)算公式，本課題組進(jìn)行了四種邊界條件類型的足尺鋼筋混凝土雙向板的火災(zāi)性能試驗(yàn)[23-24]，每種邊界條件均有兩個(gè)試件(本文各選取一個(gè)試件進(jìn)行驗(yàn)證)，表3為各試件主要參數(shù)表，各板的外加荷載均為5.0 kN/m2(含自重3.0 kN/m2)。

表3 試件的主要參數(shù)Table 3 Main parameters of specimens

選取雙向板中心豎向位移和底層鋼筋溫度的試驗(yàn)結(jié)果，根據(jù)表1 中計(jì)算公式可以得到各試件承載力。圖7 和圖8 分別為基于板塊平衡法和基于能量法的ES1～ES3 試件火災(zāi)作用下承載力計(jì)算值與底層鋼筋溫度變化關(guān)系曲線(圖中傳統(tǒng)方法為不考慮薄膜效應(yīng)的塑性鉸線理論公式)，表4 為各板在火災(zāi)下雙向板極限承載力結(jié)果對比。

表4 火災(zāi)下雙向板極限承載力結(jié)果對比Table 4 Comparison of ultimate bearing capacity of two-way slabs under fire

從圖7 和圖8 可以看出：傳統(tǒng)計(jì)算方法與本文計(jì)算方法，在下層鋼筋溫度超過400 ℃時(shí)，板的極限承載力出現(xiàn)快速下降，這是因?yàn)殇摻畹那?qiáng)度在高于400 ℃的溫度下會出現(xiàn)大幅度的折減[22]。根據(jù)本文公式計(jì)算的極限承載力值，在板中撓度小于v0時(shí)，承載力為常值；在板中撓度大于v0后，板的承載力開始變大，這是因?yàn)榘宓谋∧ば?yīng)開始顯現(xiàn)。

圖7 承載力隨溫度的變化(板塊平衡法)Fig. 7 Curve of bearing capacity with temperature(plate balance method)

圖8 承載力隨溫度的變化(能量法)Fig. 8 Curve of bearing capacity with temperature(energy method)

根據(jù)基于傳統(tǒng)板塊平衡法計(jì)算，試件ES1～ES3在底層鋼筋溫度為603 ℃、650 ℃、628 ℃時(shí)出現(xiàn)破壞，即極限承載力小于5.00 kN/m2，而此鋼筋溫度對應(yīng)各板中心豎向位移分別為l/24、l/23、l/27，均尚未達(dá)到l/20[25-26]的雙向板破壞準(zhǔn)則，板仍具有一定的抗火能力。可見傳統(tǒng)計(jì)算方法因?yàn)槲纯紤]高溫下雙向板薄膜效應(yīng)對承載力的提高作用，而導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果偏于保守。根據(jù)本文提出計(jì)算公式，試件在關(guān)火時(shí)的極限承載力分別為5.31 kN/m2、5.00 kN/m2和5.27 kN/m2，相對應(yīng)的板中心豎向位移分別為l/22、l/20、l/25，與試驗(yàn)結(jié)果基本吻合。

根據(jù)基于傳統(tǒng)能量法計(jì)算，試件ES1～ES3 在底層鋼筋溫度為656 ℃、690 ℃、680 ℃時(shí)出現(xiàn)破壞，而此鋼筋溫度對應(yīng)各板中心豎向位移分別為l/22、l/22、l/25 ，同樣未達(dá)到l/20的破壞準(zhǔn)則，可見傳統(tǒng)計(jì)算能量法與傳統(tǒng)板塊平衡法存在的問題，計(jì)算結(jié)果仍偏于保守，但偏離程度低于板塊平衡法。根據(jù)本文提出計(jì)算公式，試件在關(guān)火時(shí)的極限承載力分別為5.40 kN/m2、5.09 kN/m2和5.35 kN/m2，比本文提出的板塊平衡法計(jì)算值略大，存在2%左右的偏差，與試驗(yàn)結(jié)果基本吻合。

圖9 是板中豎向位移分別為l/15、l/20、l/25、l/30時(shí)，通過式(27)、式(28)得出的ES1～ES3 板承載力計(jì)算結(jié)果對比(ES1～ES3 板底鋼筋溫度取試驗(yàn)結(jié)果，板塊平衡法)。從圖9(b)可以看出停火時(shí)，豎向位移為l/20板承載力計(jì)算結(jié)果為5.00 kN/m2，與試驗(yàn)結(jié)果吻合；豎向位移為l/15、l/25、l/30時(shí)的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)均存在不同程度的偏差；驗(yàn)證了選取l/20作為破壞準(zhǔn)則的正確性。從圖9(a)和圖9(c)可以看出，在?；饡r(shí)，ES1 和ES3 板在給定豎向位移為l/20～l/30之間時(shí)承載力計(jì)算結(jié)果接近5.00 kN/m2，與豎向位移l/20的破壞準(zhǔn)則存在一定偏差。分析產(chǎn)生偏差的原因是，與ES2 板相比，ES1 和ES3 板板底鋼筋溫度低了很多，而鋼筋的屈服強(qiáng)度隨溫度升高將出現(xiàn)大幅度的降低。

圖9 板的極限承載力隨豎向位移變化Fig. 9 Ultimate bearing capacity of slab varies with vertical displacement

需要指出的是，在根據(jù)式(21)對兩長邊簡支兩短邊固支雙向板ES4 進(jìn)行計(jì)算時(shí)發(fā)現(xiàn)：x1>L/2，即該雙向板的塑性鉸線模式與圖4 不符合，故本文不對其進(jìn)行驗(yàn)證。根據(jù)ES4 板的軸線尺寸、配筋及邊界條件進(jìn)行測算，只有在L/l>1.74的情況下，該板的塑性鉸線模式才會與圖4 相符合，表1中的計(jì)算公式才適用。在L/l≤1.74的情況下，可按方形板進(jìn)行計(jì)算。

此外，利用表1 和表2 中公式進(jìn)行雙向板承載力計(jì)算時(shí)，板底鋼筋溫度將對最終計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生較大的影響。圖10 為ES1 板中熱電偶布置圖，圖11 為ES1 板中部T3～T6 等4 個(gè)板底鋼筋溫度測點(diǎn)的實(shí)測鋼筋溫度-時(shí)間曲線。從圖中可以看出，盡管處于同一火場內(nèi)，但不同位置處板底鋼筋溫度仍存在較大的差異：受火210 min 時(shí)，T3～T5 測點(diǎn)鋼筋溫度分別為664.0 ℃、626.4 ℃、658.4 ℃、823.2 ℃，最大溫差達(dá)196.8 ℃；與此相對應(yīng)的鋼筋屈服強(qiáng)度折減系數(shù)分別為0.316、0.407、0.330、0.098，差異很大。在表4 的雙向板極限承載力計(jì)算中，本文根據(jù)各參數(shù)所代表的物理意義及其所處位置的不同，選取不同測點(diǎn)板底鋼筋實(shí)測值作為其計(jì)算過程中對應(yīng)的溫度。圖12 為板底鋼筋溫度測點(diǎn)布置與塑性鉸線破壞模式關(guān)系，表5 為雙向板極限承載力計(jì)算值各參數(shù)溫度取值表。

表5 雙向板極限承載力計(jì)算時(shí)各參數(shù)溫度取值Table 5 Temperature value of each parameter in the calculation of ultimate bearing capacity of two-way slab

圖10 熱電偶布置圖 /mmFig. 10 Arrangement of thermal couples

圖11 板底鋼筋溫度-時(shí)間曲線Fig. 11 Temperature time curve of bottom reinforcement

圖12 板底鋼筋溫度測點(diǎn)布置與塑性鉸線破壞模式 /mmFig. 12 Arrangement of temperature measuring points and plastic hinge line configuration of the slab

4 結(jié)論

本文通過對三邊簡支一邊固支、三邊固支一邊簡支、兩長邊固支兩短邊簡支、兩長邊簡支兩長邊固支四種不同邊界鋼筋混凝土雙向板極限承載力計(jì)算進(jìn)行研究，主要得出以下結(jié)論：

(1) 本文基于塑性鉸線的板塊平衡法與能量法給出了四種不同邊界雙向板極限承載力計(jì)算公式，計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果較吻合，傳統(tǒng)塑性鉸線理論公式因未考慮薄膜效應(yīng)，計(jì)算結(jié)果偏保守。

(2) 在整合其他邊界雙向板計(jì)算公式的基礎(chǔ)上，提出了火災(zāi)下基于塑性鉸線理論板塊平衡法和能量法各種邊界雙向板極限承載力計(jì)算的通用公式。

(3) 火災(zāi)下矩形雙向板的塑性鉸線理論破壞模式存在與傳統(tǒng)塑性鉸線理論破壞模式不一致的可能性，在使用本文提出計(jì)算公式前需先進(jìn)行確認(rèn)。