淺談對(duì)高三學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)

摘 要：文章立足高三數(shù)學(xué)教學(xué)，通過探討數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想及基本數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用，以培養(yǎng)和提高學(xué)生解決問題的能力，促使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);復(fù)習(xí)教學(xué);思維品質(zhì)

中圖分類號(hào)：G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號(hào)：2095-9192（2022）03-0064-03

引? 言

高三學(xué)生不同程度地存在重資料輕課本、重考法輕學(xué)法、重巧法輕通法、重知識(shí)輕能力的現(xiàn)象，往往忽視對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的掌握和運(yùn)用，因而造成了自身分析問題和解決問題能力的相對(duì)薄弱，備考心理素質(zhì)較差，考試成績(jī)不理想等情況。針對(duì)上述情況，高三數(shù)學(xué)教師在復(fù)習(xí)教學(xué)中除了要繼續(xù)抓緊抓好課本的使用和對(duì)《全日制普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試驗(yàn)修訂版）》（以下簡(jiǎn)稱《教學(xué)大綱》）的研究，把握正確的復(fù)習(xí)方向和迎考策略，努力夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)外，還應(yīng)加強(qiáng)和提高學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)中的參與意識(shí)與思維品質(zhì)。

筆者在多年的高三教學(xué)實(shí)踐中始終堅(jiān)持“重三基，織網(wǎng)絡(luò)，抓訓(xùn)練，提能力”，把培養(yǎng)和提高學(xué)生的參與意識(shí)和思維品質(zhì)放在重要位置。在課堂教學(xué)中，筆者努力體現(xiàn)以教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體、訓(xùn)練為主線的指導(dǎo)方針，本著“精、活、透、準(zhǔn)、新”的原則，全方位、高層次優(yōu)化課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)，并加大對(duì)學(xué)法指導(dǎo)的力度，取得了較好的教學(xué)效果。下面僅就高三數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)和優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)談一下個(gè)人的體會(huì)。

一、引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合的基本方法，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和獨(dú)創(chuàng)性

數(shù)學(xué)是研究客觀世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)[1]。數(shù)學(xué)問題的思考應(yīng)從數(shù)與形的聯(lián)系入手，教師應(yīng)充分重視并發(fā)揮學(xué)生的主體作用，最大限度地調(diào)動(dòng)學(xué)生的參與意識(shí)，這樣的課堂教學(xué)才會(huì)張揚(yáng)個(gè)性、激活思維，課堂上才會(huì)出現(xiàn)簡(jiǎn)捷、高效的解題思路，學(xué)生的創(chuàng)造性思維品質(zhì)才能真正得到發(fā)展。

數(shù)形結(jié)合的方法主要有圖像法、坐標(biāo)法、構(gòu)造法、綜合法等。數(shù)形結(jié)合的基本思路是以形助數(shù)、以數(shù)質(zhì)形、數(shù)形結(jié)合。數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)是建模。

以形助數(shù)，就是已知某一數(shù)學(xué)問題的幾何圖形，尋求這一圖形所對(duì)應(yīng)的代數(shù)表示。這一代數(shù)表示可能是方程，也可能是不等式。以形助數(shù)的應(yīng)用，對(duì)學(xué)生的思維層次和知識(shí)水平要求不是很高，因此在教學(xué)中問題不是很大。

以數(shù)質(zhì)形，就是已知某一數(shù)學(xué)問題的代數(shù)特征，探尋在該代數(shù)特征下，原數(shù)學(xué)問題中所包含的幾何解釋及其轉(zhuǎn)化規(guī)律。這是教學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，教師在教學(xué)中應(yīng)花大力氣去研究、探討和總結(jié)，使學(xué)生真正能夠理解和感悟以數(shù)質(zhì)形這種轉(zhuǎn)化過程的本質(zhì)和規(guī)律，從而真正提高學(xué)生的思維水平?，F(xiàn)舉兩例加以說明。

例1：若，則的最小值是（? ?）。

A.? ? ? B.? ? ? C.? ? ?D.1

【分析】此題難度不大，但學(xué)生往往從原方程出發(fā)解出，代入，然后由配方求解，這樣處理問題比較麻煩。若學(xué)生能發(fā)散思維，視為直線L，那么就表示直線L上任意一點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離，求的最小值實(shí)際上就轉(zhuǎn)化為求L上任意一點(diǎn)P到原點(diǎn)（0，0）的最短距離d，這樣就可求得d==，答案是A。

例2：當(dāng)1<a<b時(shí)，求證ab-1>ba-1.

【分析】直接證明有困難，稍做變形，情況會(huì)怎樣呢？?jī)蛇吶?duì)數(shù)，即證（b-1）lga>（a-1）lgb，由于b-1>a-1>0，于是上式改寫為>，由于lg1=0，此式即為，這讓我們聯(lián)想到斜率公式，若我們構(gòu)造函數(shù)，考慮到1<a<b，畫出如圖1所示的圖像： 其中A（a，lga ），B（b， lgb），C（1，0），易證KAC>KBC，于是有，從而原不等式得證。

從以上兩例的求解過程可以看出，有些數(shù)學(xué)問題中的幾何背景并不是一眼就能從題設(shè)中看出的，教師在教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生思維的分層遞進(jìn)和相關(guān)知識(shí)的有機(jī)滲透，這樣才能找到問題的本質(zhì)，從而有效解決問題。同時(shí)，數(shù)到形的轉(zhuǎn)化要求學(xué)生具備敏銳的觀察力、豐富的聯(lián)想能力、靈活遷移知識(shí)的能力。教學(xué)中，教師要有計(jì)劃、有步驟、有重點(diǎn)地培養(yǎng)學(xué)生的這三種能力。

因此，在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師應(yīng)多通過具體典型實(shí)例的講解與分析，使學(xué)生體會(huì)到自己的主體參與意識(shí)和大膽探究行為對(duì)獲取知識(shí)與解決實(shí)際問題的重要性，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的求知欲，使他們形成強(qiáng)烈的數(shù)形結(jié)合意識(shí)，從而提高學(xué)習(xí)效率。

二、通過函數(shù)、方程、不等式知識(shí)的整合與方程思想應(yīng)用的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性與廣闊性

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的一條主線，著名數(shù)學(xué)家克萊因曾說：“一般教育者在數(shù)學(xué)課上應(yīng)該學(xué)會(huì)的重要事情是用變量和函數(shù)來思考?！边@就告訴數(shù)學(xué)教師必須把函數(shù)思想滲透到教學(xué)的各個(gè)方面，更好地為解題教學(xué)服務(wù)。為此，在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生做到以下三點(diǎn)：第一，厘清函數(shù)、方程、不等式三者間的聯(lián)系;第二，明確函數(shù)與方程的關(guān)系;第三，學(xué)會(huì)用函數(shù)方法解決方程問題。通過第一點(diǎn)學(xué)生會(huì)明確認(rèn)識(shí)到：函數(shù)是整體，不等式是部分，方程是個(gè)體，可以結(jié)合二次函數(shù)的圖像來認(rèn)識(shí)。通過第二點(diǎn)和第三點(diǎn)學(xué)生明確認(rèn)識(shí)以下內(nèi)容：函數(shù)和方程是兩個(gè)不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，一個(gè)函數(shù)若有解析表達(dá)式，那么這個(gè)表達(dá)式就可以看成一個(gè)方程;一個(gè)二元方程，兩個(gè)變量間存在某種對(duì)應(yīng)關(guān)系，如果這種對(duì)應(yīng)關(guān)系又是函數(shù)關(guān)系，那么這個(gè)方程也可以看作一個(gè)函數(shù)。一個(gè)二元方程，它的兩端可以看成函數(shù)，方程的解就是這兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。因此，許多有關(guān)方程的問題也可以用函數(shù)的方法解決;反之，許多函數(shù)的問題也可以通過方程的方法解決。所以，在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師要積極引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)問題解題過程中的函數(shù)與方程思想，使學(xué)生真正獲得方法的積累和能力的提高。此外，教師還要重視課本，強(qiáng)化對(duì)單元題組的訓(xùn)練，進(jìn)而提高學(xué)生的思維能力。

例3：已知關(guān)于x的方程sin2x+acosx-2a=0有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

【分析一】（二次函數(shù)圖像法）將原方程化為二次函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖像來考慮。

將方程變形為cos2x-acosx+2a-1=0? ? ? ? ①

令t=cosx，則方程①變?yōu)?t2-at+2a-1=0

設(shè)f（t）=t2-at+2a-1，t∈[-1，1]

由f（-1）f（1）≤0或

解得：0≤a≤4

【分析二】（變量分離法）在帶參數(shù)的一元方程中，參數(shù)a與變量x之間必存在一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，這個(gè)關(guān)系如果是的函數(shù)關(guān)系，那么關(guān)于x的方程有實(shí)根時(shí)，求參數(shù)a的取值范圍可轉(zhuǎn)化為求實(shí)函數(shù)a=的值域，將方程① 變?yōu)?/p>

≤=，當(dāng)且僅當(dāng)2-cosx=時(shí)，（2-cosx）+ 有最小值， 所以a的取值范圍為。

通過上述一題多解的求解分析可以看出，函數(shù)、方程、不等式是互相包容和有機(jī)滲透的，而方程思想在高中數(shù)學(xué)的各個(gè)分支都有廣泛的應(yīng)用，因此在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師應(yīng)充分引導(dǎo)學(xué)生理解和重視函數(shù)、方程、不等式三者間的依賴關(guān)系及相關(guān)轉(zhuǎn)化原理，深入挖掘和探討數(shù)學(xué)問題中各題設(shè)間的內(nèi)在聯(lián)系，并靈活運(yùn)用方程思想去解決問題，這對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)的發(fā)展是非常有益的。

三、啟迪學(xué)生想象思維，培養(yǎng)學(xué)生思維的多向性和創(chuàng)造性

思維的多向性是指思維的發(fā)散性和求異性，即善于從不同的方位、不同的層次去考慮問題，或從同一條件下得出多種不同的結(jié)論。創(chuàng)造性思維形成于發(fā)散思維后的收斂思維中，可見發(fā)散思維是創(chuàng)造性思維的核心。數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生思維多向性的培養(yǎng)，一般的做法是以問題解決為核心，啟迪學(xué)生多層次觀察，多方面聯(lián)想，多角度探索，多途徑獲解。

例4：已知b>a>0，m>0，求證.

關(guān)于它的證明，順向思維和逆向思維將產(chǎn)生以下作差法、作商法、分析法、反證法四種常規(guī)證明方法。

在學(xué)生明確了上述常規(guī)證明方法后，為了進(jìn)一步拓寬學(xué)生的知識(shí)視野，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法，活躍不等式的證明思路，教師引導(dǎo)學(xué)生給出以下兩種非常規(guī)證明方法，也是非常有益的。

證明1（函數(shù)構(gòu)造法）：由與的類比，構(gòu)造單調(diào)遞增函數(shù)（x∈R+），于是0<x1<x2<+∞時(shí)，

∴f（x1）<f（x2）

∴f（x）在R+上是增函數(shù)，進(jìn)而f（x）在當(dāng)x≥0時(shí)，也是增函數(shù)

∴令x1=0，x2=m，得

證明2（解析構(gòu)造法）：將與解析幾何中的斜率公式類比，于是構(gòu)造圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)A（b，a），B（-m，-m）， KOA=，? KBA=，設(shè)AB與x軸交于點(diǎn)C，則∠ACX >∠AOC，tg∠ACX > tg∠AOC，

從例4的這兩種證法中可以看出，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)和活用基礎(chǔ)知識(shí)，善于類比聯(lián)想，注重轉(zhuǎn)化與化歸思想的滲透，是創(chuàng)造性、多向性解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵。

結(jié)? 語

因此，在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師應(yīng)幫助學(xué)生正確認(rèn)識(shí)思維品質(zhì)的發(fā)展對(duì)學(xué)好高中數(shù)學(xué)的重要性，這樣學(xué)生才會(huì)在重視知識(shí)掌握的同時(shí)自覺主動(dòng)地開展以思維創(chuàng)新、思維批判、思維發(fā)展等為內(nèi)容的學(xué)習(xí)活動(dòng)。教師也應(yīng)堅(jiān)持不懈地進(jìn)行以思維點(diǎn)撥、思維探究、思維升華等為目標(biāo)的教學(xué)研究與實(shí)踐活動(dòng)，使學(xué)生的思維品質(zhì)向著更深層次發(fā)展。

[參考文獻(xiàn)]

吳莉娜.精設(shè)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課 提升學(xué)生思維品質(zhì)[J].數(shù)學(xué)之友，2013（08）：75-77.

作者簡(jiǎn)介：王建軍（1964.3-），男，甘肅張掖人，任教于甘肅省張掖市第二中學(xué)，中學(xué)高級(jí)教師，研究生學(xué)歷。