理法交融 思維升級(jí)

沈瑞華

［摘 要］“筆算多位數(shù)乘一位數(shù)”是銜接表內(nèi)乘法和多位數(shù)乘法的重要內(nèi)容。文章先對(duì)比分析四個(gè)版本的教材和學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，重組教學(xué)路徑后進(jìn)行課堂教學(xué)，歸納出計(jì)算教學(xué)的主要策略。

［關(guān)鍵詞］計(jì)算教學(xué)；筆算；多位數(shù)乘一位數(shù)

［中圖分類號(hào)］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A［文章編號(hào)］ 1007-9068（2022）35-0055-03

“筆算多位數(shù)乘一位數(shù)”是人教版教材第五冊(cè)第六單元的內(nèi)容，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了表內(nèi)乘法和兩位數(shù)乘一位數(shù)口算（不進(jìn)位）的基礎(chǔ)上教學(xué)的。它是學(xué)習(xí)多位數(shù)乘兩位數(shù)、除數(shù)是兩位數(shù)的除法的基礎(chǔ)，是學(xué)生建立和理解位值概念重要的載體。對(duì)于三位數(shù)乘一位數(shù)的筆算教學(xué)，很多教師都認(rèn)為筆算教學(xué)就是理解算理、掌握算法，認(rèn)為三位數(shù)乘一位數(shù)就是讓學(xué)生掌握一位數(shù)分別與三位數(shù)每一位上的數(shù)相乘的計(jì)算技能。這樣的認(rèn)識(shí)背后有沒有隱憂？計(jì)算教學(xué)僅僅是掌握計(jì)算程序？在計(jì)算教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維能力？

一、隱憂：三位數(shù)乘一位數(shù)的學(xué)習(xí)起點(diǎn)

在教學(xué)“兩位數(shù)乘一位數(shù)”后，教學(xué)“三位數(shù)乘一位數(shù)”前，筆者對(duì)本校三年級(jí)（3）班和（4）班共90位學(xué)生進(jìn)行了前測(cè)，結(jié)果見表1。

分析數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在計(jì)算不進(jìn)位、進(jìn)一次位或隔位進(jìn)位的三位數(shù)乘一位數(shù)時(shí)，正確率都超過90%。這說明學(xué)生已經(jīng)具備了從筆算兩位數(shù)乘一位數(shù)遷移到筆算三位數(shù)乘一位數(shù)的能力。在與學(xué)生的交流中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生筆算錯(cuò)誤集中在兩個(gè)方面。

1. 疊加進(jìn)位易算錯(cuò)

計(jì)算385×6時(shí)，385的每一位與6相乘都向前一位進(jìn)位，而且乘法進(jìn)位過程中又出現(xiàn)了兩位數(shù)加一位數(shù)的加法進(jìn)位—— 48+3和18+5，這樣的乘法與加法的疊加進(jìn)位，學(xué)生心算時(shí)感覺非常困難。

2.中間有0會(huì)誤乘

在計(jì)算末尾有0的三位數(shù)乘一位數(shù)時(shí)， 學(xué)生能把口算整十、整百數(shù)乘一位數(shù)的方法遷移過來，末尾的0不參與計(jì)算，前兩位乘好后再添末尾的0，相當(dāng)于還是在計(jì)算兩位數(shù)乘一位數(shù)。但計(jì)算中間有0的三位數(shù)乘一位數(shù)時(shí)，學(xué)生會(huì)根據(jù)“從個(gè)位起，依次相乘”的運(yùn)算程序，讓0也參與計(jì)算，誤把304×6的十位“0×6+2”的得數(shù)算成8。

計(jì)算三位數(shù)乘一位數(shù)的乘法時(shí)，學(xué)生會(huì)用哪些運(yùn)算策略呢？表2是對(duì)三（3）班和三（4）班的學(xué)生的測(cè)試結(jié)果。

這兩道題的數(shù)據(jù)特點(diǎn)很明顯，都可以通過改變運(yùn)算順序進(jìn)行簡算。但在參與測(cè)試的90位學(xué)生中，只有1%至2.2%的學(xué)生用了簡算方法（300×4+25×4和400×4-2×4），97.8%以上的學(xué)生都是程序化地在用筆算方法計(jì)算。這說明，學(xué)生只會(huì)像計(jì)算機(jī)一樣，按部就班地從三位數(shù)的個(gè)位起，依次相乘。積的書寫也是從個(gè)位起，一位一位挨著去寫，不考慮位值。雖然能計(jì)算出正確得數(shù)，但教師不清楚學(xué)生是否已經(jīng)理解了算理，這會(huì)不會(huì)給將來的教學(xué)埋下巨大的隱患？

懷著這種擔(dān)心與猜測(cè)，筆者訪談了四年級(jí)的數(shù)學(xué)老師，發(fā)現(xiàn)部分四年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法時(shí)果然出現(xiàn)了問題：位值概念模糊，第二層積的位置反復(fù)寫錯(cuò)。四年級(jí)學(xué)生出現(xiàn)這些問題，源頭就在于學(xué)習(xí)多位數(shù)乘一位數(shù)時(shí)，學(xué)生只記住了乘的順序，但不清楚乘的順序本質(zhì)是什么。造成這些問題，也與教材的編排有一定的關(guān)系。

二、 分析：多位數(shù)乘一位數(shù)筆算教材編排對(duì)比

1. 對(duì)比四個(gè)版本的教材內(nèi)容

對(duì)比四個(gè)版本的教材后，可以發(fā)現(xiàn)三個(gè)異同點(diǎn)：一是將三位數(shù)乘一位數(shù)作為例題的教材有2個(gè)版本，占50%；二是將三位數(shù)中間或末尾有0的乘法作為新課例題的教材有3個(gè)版本，占75%；三是教學(xué)筆算乘法采用固定程序“個(gè)位算起，依次相乘”的教材有3個(gè)版本，占75%。從四個(gè)版本的異同點(diǎn)來看，人教版、蘇教版、北師大版教材更側(cè)重于三位數(shù)乘一位數(shù)的程序教學(xué)，筆算方法唯一，即從個(gè)位算起，依次相乘，學(xué)生容易掌握，但挑戰(zhàn)性不大。浙教版教材注重三位數(shù)乘一位數(shù)的算理教學(xué)，筆算方法多樣，即乘的順序有多種。這樣的編排更有利于學(xué)生根據(jù)實(shí)際情況選擇合理的算法，但挑戰(zhàn)性較大。

2. 分析人教版教材關(guān)于多位數(shù)乘一位數(shù)筆算的編排

通過表格分析，可以得到兩個(gè)結(jié)論。一是教材默認(rèn)學(xué)生能使用遷移的方法自己學(xué)會(huì)三位數(shù)乘一位數(shù)。但從實(shí)際教學(xué)來看，學(xué)生理解程度不夠，還是需要正式學(xué)習(xí)的過程。二是教材在學(xué)生掌握計(jì)算一般三位數(shù)乘一位數(shù)后，再安排新授課學(xué)習(xí)三位數(shù)中間有0和末尾有0的乘法，是有必要的，對(duì)學(xué)生理解位值原理有幫助。即使學(xué)生在筆算時(shí)掌握了“從個(gè)位起，依次相乘”的計(jì)算程序，并能熟練計(jì)算，也不能說明他們真的會(huì)算了，只有理解了任意順序的筆算，清楚位值原理才是真正懂了筆算本質(zhì)。

三、重組：筆算教學(xué)學(xué)習(xí)路徑設(shè)計(jì)

根據(jù)以上分析，筆者對(duì)多位數(shù)乘一位數(shù)筆算單元的教學(xué)進(jìn)行了重組（如表5）。

筆算兩位數(shù)乘一位數(shù)的教學(xué)，首先借助數(shù)學(xué)教具小棒理解兩位數(shù)乘一位數(shù)，可以看成幾個(gè)幾十和幾個(gè)幾來算，也就是用口算的方法學(xué)習(xí)筆算；可以從低位乘起，也可從高位乘起，也就是兩位數(shù)的每一位都要與一位數(shù)相乘，和運(yùn)算的順序無關(guān)。接著，借助小棒依次理解滿十進(jìn)一、疊加進(jìn)位的算理。將中間或末尾有0的三位數(shù)乘一位數(shù)的教學(xué)提前，掙脫固定的計(jì)算程序的束縛，引導(dǎo)學(xué)生單純從算理的角度去思考，學(xué)生很容易就發(fā)現(xiàn)304×6既可以表示6個(gè)304，也可以看成6個(gè)300和6個(gè)4，用300×6+4×6來算。這樣十位的0完全沒有參與計(jì)算的必要，只用兩句口訣“三六十八，四六二十四”就輕松計(jì)算出結(jié)果。在書寫時(shí)注意位值原理，明確18表示18個(gè)百，即1800，1和8分別記在千位和百位上（如圖1）。

有了以上兩步的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)一般的三位數(shù)乘一位數(shù)時(shí)，也能從“個(gè)位算起，依次相乘”的固定程序中走出來了。例如，計(jì)算385×6時(shí)可以將原式轉(zhuǎn)化成三層積：300×6+80×6+5×6（從高位算起或從低位算起均可），或轉(zhuǎn)化為兩層積：85×6+300×6（踢百法）、380×6+5×6（踢個(gè)法）或305×6+80×6（踢十法）。經(jīng)過轉(zhuǎn)化，三位數(shù)乘一位數(shù)疊加進(jìn)位的難點(diǎn)被輕松化解。而且，寫成兩層積或三層積的形式時(shí)，學(xué)生不再只是按順序計(jì)算，而會(huì)去關(guān)注位值，思考每部分的積表示的含義。

四、思考：實(shí)現(xiàn)從計(jì)算教學(xué)走向運(yùn)算教學(xué)的策略

運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，可見運(yùn)算能力的培養(yǎng)已經(jīng)得到了極大的重視。那么運(yùn)算能力的培養(yǎng)如何落地？

1.抓住本質(zhì)促使理法交融

學(xué)習(xí)是由外在知識(shí)與內(nèi)在知識(shí)結(jié)構(gòu)之間的交互作用實(shí)現(xiàn)的，計(jì)算的學(xué)習(xí)亦是如此。比如將三位數(shù)乘一位數(shù)轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的兩位數(shù)乘一位數(shù)與整百數(shù)乘一位數(shù)的結(jié)合（踢百法），或者轉(zhuǎn)化成幾百、幾十和幾分別乘一位數(shù)（三層積），通過小棒、人民幣等素材幫助學(xué)生理解每種算法的算理，也就是多位數(shù)的每一位都和一位數(shù)相乘是算法的本質(zhì)，與乘數(shù)的位值有關(guān)，而與運(yùn)算的先后順序無關(guān)。在豎式上確定每層積的位置，也就是明確位值概念，將算理和算法合二為一，真正做到知“書”達(dá)“理”。在學(xué)習(xí)新知的過程中，學(xué)生還擁有了用轉(zhuǎn)化的思想來解決問題的能力。

筆算三位數(shù)乘一位數(shù)的新課結(jié)束后，筆者對(duì)實(shí)驗(yàn)班和對(duì)照班進(jìn)行了后測(cè)。測(cè)試題為：一套數(shù)學(xué)叢書的價(jià)格是67元，王老師買了5套，營業(yè)員用計(jì)算器計(jì)算時(shí)，按錯(cuò)了一個(gè)數(shù)字，結(jié)果多收了10元。下面的判斷正確的是（? ? ? ）。

A.把6按成8? ? ? B.把7按成9? ? ? ?C.把5按成7

3個(gè)選項(xiàng)，分別是多算了5個(gè)20、5個(gè)2、2個(gè)67。學(xué)生需要充分理解兩位數(shù)乘一位數(shù)的算理、明確位值概念，才能找到正確選項(xiàng)。實(shí)驗(yàn)班與對(duì)照班對(duì)比，本題正確率分別是86.3%和25.2%。這說明實(shí)驗(yàn)班的學(xué)生對(duì)筆算多位數(shù)乘一位數(shù)的算理理解得更深刻、更到位，這對(duì)他們后續(xù)學(xué)習(xí)的幫助是比較大的。

2.挑戰(zhàn)學(xué)習(xí)促使思維升級(jí)

使學(xué)生理解算理、掌握算法，是運(yùn)算教學(xué)的基礎(chǔ)目標(biāo)，而發(fā)展思維是高階目標(biāo)。運(yùn)算教學(xué)中的練習(xí)題，要避免機(jī)械操練，多設(shè)計(jì)一些富有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)，驅(qū)動(dòng)學(xué)生學(xué)會(huì)分析、學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)概括、學(xué)會(huì)推理。

比如，對(duì)于兩位數(shù)乘一位數(shù)，可以設(shè)計(jì)比較開放的挑戰(zhàn)題（如圖2）。

找出其中一個(gè)解并不難，但要準(zhǔn)確地找出所有解，光靠計(jì)算技能是不夠的，還要具備策略意識(shí)。首先考慮積的個(gè)位是2，由表內(nèi)乘法得出的積的末尾有2的只有2、12、32、42、72這五個(gè)，所以對(duì)應(yīng)的表內(nèi)乘法分別是1×2、2×6、3×4、4×8、6×7、8×9這六對(duì)。再看得數(shù)，五百多的得數(shù)說明十位上的數(shù)乘一位數(shù)得四百多或五百多，那么一位數(shù)至少是5，只能是6、7、8、9這四種情況，馬上排除1×2、3×4這兩對(duì)。這樣，按一定的策略去思考，就能快速而準(zhǔn)確地得到8種不同填法。

再如，對(duì)于三位數(shù)乘一位數(shù)，可以設(shè)計(jì)挑戰(zhàn)性練習(xí)：用1、3、5、8組成三位數(shù)乘一位數(shù)的算式，使積最大。如果只是一次次地去試算，那思維是低級(jí)又低效的。教師要引導(dǎo)學(xué)生分析：首先確定8和5的位置，有500×8和800×5兩種可能，它們的積相同；接著看后兩位，31×8大于31×5，所以確定把最大數(shù)8作為一位數(shù)，5、3、1依次放在三位數(shù)的百位、十位和個(gè)位上。

開放的挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)任務(wù)，能促進(jìn)學(xué)生在運(yùn)算中提升策略意識(shí)，提高邏輯推理能力。

總之，教師要根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的理念，從計(jì)算教學(xué)走向運(yùn)算教學(xué)時(shí)講究“理”“法”相融。把計(jì)算教學(xué)作為載體，少一些機(jī)械操練，多一些思維卷入，在提升學(xué)生的計(jì)算技能的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，促使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。

（責(zé)編 金 鈴）