在變中求不變，以不變應(yīng)萬(wàn)變
——“變與不變”思想在小學(xué)低段數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透與實(shí)踐

張亞新 浙江省杭州市安吉路良渚實(shí)驗(yàn)學(xué)校

數(shù)學(xué)問(wèn)題千變?nèi)f化，但是萬(wàn)變不離其宗，許多問(wèn)題可以通過(guò)對(duì)比找到其中變化的量，通過(guò)變化來(lái)激活學(xué)生的思維，發(fā)現(xiàn)一定的數(shù)學(xué)規(guī)律，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深入思考，從而把握問(wèn)題的本質(zhì)，再以不變的本質(zhì)應(yīng)對(duì)萬(wàn)變的形式以及具體問(wèn)題。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出學(xué)生能“獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”，在我們平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐中尤其是低段教學(xué)中，對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)和技能，教師往往是比較重視的，也比較容易把握教學(xué)目標(biāo)，但一些教師可能就不會(huì)再有所延伸或者拓展，這樣很容易忽視學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)。而在后面高段學(xué)習(xí)中，其實(shí)數(shù)學(xué)思想的體會(huì)與運(yùn)用尤其重要。低段學(xué)生可能對(duì)復(fù)雜深度的數(shù)學(xué)思想理解有困難，但是教師不能“知難避難”，應(yīng)該結(jié)合低段學(xué)生的年齡特點(diǎn)設(shè)計(jì)課堂教學(xué)，采用簡(jiǎn)單活潑的活動(dòng)形式讓學(xué)生初步感悟以及理解數(shù)學(xué)的基本思想與方法。

“變與不變”思想是小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中一個(gè)重要的思想方法，許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決正是運(yùn)用了這種思想。在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，“變與不變”的思想貫穿所有年級(jí)，也有很多“變與不變”的素材值得教師好好學(xué)習(xí)利用，促使學(xué)生獲得基本的數(shù)學(xué)思想。下面，從筆者的幾個(gè)教學(xué)案例看如何在小學(xué)低段的教學(xué)中滲透“變與不變”的數(shù)學(xué)思想。

一、“變與不變”思想在教學(xué)中的實(shí)踐

（一）運(yùn)用“變與不變”思想體會(huì)數(shù)學(xué)概念

在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)當(dāng)中，數(shù)學(xué)概念是基礎(chǔ)知識(shí)，也是教學(xué)的核心內(nèi)容，想要學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)的內(nèi)容，前提是要有對(duì)數(shù)學(xué)概念的正確理解。數(shù)學(xué)的概念比較抽象難懂，小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中概念性知識(shí)比較多，小學(xué)生尤其低段學(xué)生由于其年齡特點(diǎn)，很難長(zhǎng)時(shí)間集中注意力，對(duì)概念性內(nèi)容興趣不高，可能會(huì)感覺(jué)枯燥乏味。在教學(xué)中，教師應(yīng)該一邊滲透“變與不變”思想，一邊把學(xué)生的認(rèn)知以及教學(xué)要求緊密地結(jié)合起來(lái)。在數(shù)學(xué)問(wèn)題中可以找出其中的不變量，利用這些不變量來(lái)引導(dǎo)學(xué)生觀察分析變化量，學(xué)生在觀察分析對(duì)比的過(guò)程中，了解概念的內(nèi)涵，能夠更好地體會(huì)概念的本質(zhì)，并將之內(nèi)化為自己的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，靈活運(yùn)用到解決問(wèn)題的具體情境中去。

教學(xué)片段1：二年級(jí)《有余數(shù)的除法》（初步認(rèn)識(shí)余數(shù)）

師：小朋友們，看看你們桌上有什么??？

生：一堆小棒。

師：今天我們用這些小棒來(lái)研究一些數(shù)學(xué)問(wèn)題。如果用這些小棒搭正方形，可以搭幾個(gè)？會(huì)有剩余嗎？有剩余的話會(huì)剩幾根呢？

學(xué)生猜測(cè)搭正方形可能是1 個(gè)、2 個(gè)、3 個(gè)、4 個(gè)……會(huì)剩下小棒7根、8根、3根、2根、1根、5根……教師直接把結(jié)果記錄在黑板上。

師：同桌兩人合作擺一擺，把擺出的結(jié)果寫(xiě)在這張記錄表上。記錄表你們能看懂嗎？看不懂的舉手。

生：能看懂。左邊一列是小棒的根數(shù)，中間讓我們寫(xiě)可以搭幾個(gè)正方形，右邊一欄寫(xiě)剩了幾根小棒。

師：現(xiàn)在怎么填都明白了嗎？好，開(kāi)始吧！

師：看看這個(gè)小組得到的結(jié)果，你們都是這樣的嗎？

生：是的，跟他們一樣的。

出示課件（圖1）

圖1

師：看，你們是不是這樣擺的？再看看這些剩余小棒的數(shù)量，它們有什么特點(diǎn)呢？

生：有剩1根的，還有剩2根、3根的。

生：有剩余的話，剩余的數(shù)量都是1根、2根、3根，沒(méi)有其他的了。

師追問(wèn)：你觀察得真仔細(xì)。為什么沒(méi)有你們剛剛猜的4根？5根？誰(shuí)能講清楚這個(gè)問(wèn)題？

生：因?yàn)槭Ｏ? 根，就又能擺一個(gè)正方形了，如果剩5 根的話，可以再擺一個(gè)正方形還剩一根。所以剩不下4根，5根。

師：他說(shuō)的你們聽(tīng)懂了嗎？誰(shuí)再來(lái)說(shuō)一說(shuō)。

師追問(wèn)：他很會(huì)思考，再想想會(huì)不會(huì)剩6根、7根？

生：沒(méi)有，6根的話可以再擺一個(gè)正方形，剩2根。7根的話可以擺一個(gè)正方形，剩3根。

師：所以大家思考一個(gè)問(wèn)題，擺一個(gè)正方形，最多會(huì)剩幾根小棒呢？

生：最多剩3根。

通過(guò)動(dòng)手?jǐn)[一擺、填一填，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了剩余小棒數(shù)量是1 根、2 根、3 根，因?yàn)樾“艨倲?shù)是在變化的，所以剩余小棒數(shù)量變化了也不奇怪。但是為什么剩余的一直是1根、2根、3根？這時(shí)通過(guò)追問(wèn)“剩余小棒的數(shù)量有沒(méi)有可能是4 根、5 根、6 根、7 根？”引發(fā)學(xué)生的思考，得出剩余小棒的數(shù)量即使再變化也不可能超過(guò)3 根，因?yàn)槌^(guò)3 根后，又可以擺成正方形了。設(shè)計(jì)“用一些小棒搭正方形，可以搭幾個(gè)”的學(xué)習(xí)任務(wù)，組織引導(dǎo)學(xué)生在動(dòng)腦猜想、動(dòng)手操作的基礎(chǔ)上進(jìn)行觀察、分析和比較，感知余數(shù)的產(chǎn)生以及余數(shù)的直觀意義。

教師在探索一些數(shù)學(xué)概念的過(guò)程中，要敢于試著創(chuàng)設(shè)多層面、多角度的數(shù)學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生在豐富多彩的情境中辨析并且感悟“變中有不變”的思想，從研究對(duì)象中舍棄特殊的、非本質(zhì)的屬性，得到相通的、本質(zhì)的屬性。例如，在教學(xué)“幾分之一”這節(jié)課時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生深入體會(huì)分?jǐn)?shù)的意義。課堂上可以設(shè)計(jì)一個(gè)小活動(dòng)：你能用一張正方形紙折出它的四分之一嗎？學(xué)生自己動(dòng)手去折去探索，活動(dòng)完后全班一起分享自己折的“四分之一”?？赡軙?huì)有如圖2所示的以下的幾種情況。

圖2

教師追問(wèn)：這些都表示四分之一嗎？按照平均分的理論，把一個(gè)物體平均分成4份，取其中的一份就是表示四分之一，這個(gè)分?jǐn)?shù)是相同的，但是它出現(xiàn)的形式變了。利用豐富的數(shù)學(xué)素材或者情境鞏固幾分之一的概念，不管形式怎么變化，它的意義沒(méi)有變，這個(gè)分?jǐn)?shù)也就沒(méi)變。因此在教學(xué)過(guò)程中，教師要充分注重?cái)?shù)學(xué)思想和方法的科學(xué)準(zhǔn)確應(yīng)用，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的真正理解。

（二）運(yùn)用“變與不變”思想感受數(shù)量關(guān)系

教學(xué)片段2：研究除數(shù)與余數(shù)的關(guān)系

師追問(wèn)：剛剛我們是擺正方形，如果是擺五邊形的話，可能剩幾根？

學(xué)生回答：可能會(huì)剩余1根、2根、3根、4根。

師：所以擺五邊形，最多?！?根。

師追問(wèn)：那擺三角形呢？

生：1根、2根，最多剩2根。

師：用小棒擺正方形，最多剩3 根；五邊形最多剩4 根；三角形最多剩2 根。那擺圖形時(shí)剩下的小棒根數(shù)和圖形的邊數(shù)有什么關(guān)系呢？你們能總結(jié)嗎？

生：剩余小棒根數(shù)少于圖形的邊數(shù)。

在剛剛的基礎(chǔ)上改變拼搭的圖形，實(shí)質(zhì)上就是改變了圖形的邊數(shù)即算式里的除數(shù)，讓學(xué)生進(jìn)一步想象、推理：用這些小棒搭三角形、五邊形、六邊形等多邊形，剩下的小棒根數(shù)和圖形的邊數(shù)之間有什么關(guān)系。學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)即使圖形在變、剩余小棒數(shù)量在變，但是他們對(duì)應(yīng)的大小關(guān)系不變，在具象理解的基礎(chǔ)上再抽象成算式，并能用除法的模型進(jìn)行初步建構(gòu)與擴(kuò)展，進(jìn)一步體會(huì)除數(shù)與余數(shù)之間的關(guān)系。

圖3

教學(xué)片段3

師：繼續(xù)觀察這組算式，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？這里哪些不變，哪些是在變化的？

生：除數(shù)都是4。被除數(shù)在變大。

生：余數(shù)總是1，2，3。還有一些余數(shù)是0。

師：你們很會(huì)觀察，余數(shù)在變化是1，2，3，除數(shù)不變都是4，說(shuō)明余數(shù)和除數(shù)有什么關(guān)系？

生：余數(shù)好像都比除數(shù)小。

生：除數(shù)比余數(shù)大。

師小結(jié)：在有余數(shù)的除法算式里面，余數(shù)都比除數(shù)小或者說(shuō)除數(shù)比余數(shù)大。

在有余數(shù)的除法算式里，通過(guò)觀察對(duì)比這一組算式，能夠發(fā)現(xiàn)除數(shù)一直都沒(méi)變，因?yàn)槌龜?shù)代表的是圍成一個(gè)正方形所需要的小棒數(shù)量，是不會(huì)發(fā)生變化的。余數(shù)是在變化的，因?yàn)楸怀龜?shù)變了，余數(shù)（剩余小棒數(shù)量）也發(fā)生相應(yīng)的變化，但是它不會(huì)像被除數(shù)一樣一直變大，無(wú)論如何變化都比除數(shù)4 小。從而揭示了余數(shù)與除數(shù)的關(guān)系。

（三）運(yùn)用“變與不變”思想探索數(shù)學(xué)規(guī)律

數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)考驗(yàn)觀察能力以及思考能力，比如一年級(jí)的《找規(guī)律》這節(jié)課也蘊(yùn)含著“變與不變”的數(shù)學(xué)思想，比較是數(shù)學(xué)思維和理解的基礎(chǔ)，我們可以通過(guò)比較以及對(duì)比的方法去觀察去發(fā)現(xiàn)。

教學(xué)片段3：一年級(jí)《找規(guī)律》課間操

師：小朋友們，老師帶大家做個(gè)游戲，你們想不想玩？

生：想。

師：那你們認(rèn)真看哦，看誰(shuí)反應(yīng)最快，能跟得上我。

老師開(kāi)始做動(dòng)作。

第一組：拍手 拍手 拍肩 拍手 拍手 拍肩 拍手拍手 拍肩……

第二組：拍手 跺腳 跺腳 拍手 跺腳 跺腳 拍手跺腳 跺腳……

很多學(xué)生能夠跟著一起做。

師：你們?cè)趺炊紩?huì)做了？

生：老師，你做的動(dòng)作是有規(guī)律的。

師：誰(shuí)也能像老師一樣，創(chuàng)造一組不一樣的來(lái)演一演？

領(lǐng)悟規(guī)律的內(nèi)涵，就要先知道研究對(duì)象之間的關(guān)系或者聯(lián)系，對(duì)于年紀(jì)較小的兒童來(lái)說(shuō)，事物之間比較容易理解的關(guān)系就是相同或者不同，也就是我們后面說(shuō)的“變與不變”。在這組動(dòng)作里面看似動(dòng)作發(fā)生變化了，但是懂得觀察的孩子就會(huì)發(fā)現(xiàn)，變化的動(dòng)作里面也有不變的，那就是《找規(guī)律》里面最關(guān)鍵的“一組”，這一組（可能是動(dòng)作、圖形、數(shù)字）是不變的，是重復(fù)發(fā)生的。從變化里面找不變（重復(fù)），學(xué)生就容易找到規(guī)律了。找到規(guī)律后教師又讓學(xué)生自己創(chuàng)造規(guī)律，帶來(lái)新的重組、變化。

（四）運(yùn)用“變與不變”思想建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

生活中的問(wèn)題千變?nèi)f化，在這些問(wèn)題里總有不變的數(shù)量和數(shù)量關(guān)系，有的問(wèn)題中看似沒(méi)有，但實(shí)際上這些不變的數(shù)量或者關(guān)系常常隱含在題目所給的信息中，在解決問(wèn)題時(shí)，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生盡量找到這些“不變量”，把它們作為突破口。小學(xué)教材中蘊(yùn)含著許多關(guān)于“變與不變”的素材，教師在研讀教材時(shí)應(yīng)該深入挖掘，在教學(xué)中無(wú)形滲透，幫助建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，解決看起來(lái)較為煩瑣復(fù)雜的問(wèn)題，以此提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

以三年級(jí)上冊(cè)《多位數(shù)乘一位數(shù)》單元的解決問(wèn)題為例。教材里的例題：媽媽買(mǎi)3個(gè)碗用了18元。如果買(mǎi)8 個(gè)同樣的碗，要用多少錢(qián)？教學(xué)這一問(wèn)題時(shí)，教師往往是引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出能表示數(shù)量關(guān)系的示意圖，需要運(yùn)用兩步解決的問(wèn)題，教師都會(huì)問(wèn)一句“這一題要先求什么”。但是真正教過(guò)的老師都會(huì)有同感，部分理解偏薄弱的學(xué)生對(duì)于這三個(gè)條件無(wú)從下手，理不清這三個(gè)量之間的關(guān)系。所以這時(shí)我們先帶學(xué)生溯源，為什么是“先求一個(gè)碗多少錢(qián)”？因?yàn)檫@個(gè)問(wèn)題里其實(shí)有兩個(gè)情境，第一個(gè)是“3個(gè)碗用了18元”，第二個(gè)是“8個(gè)同樣的碗用的錢(qián)”，兩個(gè)情境其實(shí)是有聯(lián)系的，碗是一樣的，所以每個(gè)碗的價(jià)錢(qián)是一樣的也就是單價(jià)不變。我在教學(xué)這部分的內(nèi)容時(shí)，問(wèn)的第一個(gè)問(wèn)題不是“先求什么”而是“在這個(gè)問(wèn)題中，你們找到相同或者不變的量了嗎？”這里把不變的量作為突破口，一旦找到這個(gè)不變的量，問(wèn)題就能迎刃而解。先要求出每份數(shù)，再求總數(shù)或份數(shù)的兩步計(jì)算解決問(wèn)題，就是“歸一問(wèn)題”的數(shù)學(xué)模型。

類(lèi)似的還有這單元的“歸總問(wèn)題”，教材里面的例題是“媽媽買(mǎi)6 元一個(gè)的碗，正好買(mǎi)6 個(gè)。用這些錢(qián)買(mǎi)9 元一個(gè)的碗可以買(mǎi)幾個(gè)？”這個(gè)題目同樣有兩個(gè)情境，一個(gè)是“買(mǎi)6 元一個(gè)的碗，正好買(mǎi)6 個(gè)”，然后是“用這些錢(qián)買(mǎi)9 元一個(gè)的碗可以買(mǎi)幾個(gè)”。在這兩個(gè)情境里面，碗的單價(jià)改變了，但還是有不變的量，那就是總價(jià)錢(qián)。所以用這個(gè)不變的量去溝通兩個(gè)情境，建立聯(lián)系，就能求出第二個(gè)情境的數(shù)量，從而建立“先求出總數(shù)是多少，再去解決具體問(wèn)題”的歸總問(wèn)題數(shù)學(xué)模型。

通過(guò)比較，引導(dǎo)學(xué)生找出不同事物共同的本質(zhì)屬性，促進(jìn)數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)。問(wèn)題從情境中來(lái)，等到熟練運(yùn)用“變與不變”的數(shù)學(xué)思想后，學(xué)生就會(huì)從不斷變化的情境中發(fā)現(xiàn)所有這些問(wèn)題的結(jié)構(gòu)、本質(zhì)都是相同的，通過(guò)觀察、分析、比較、推理跳出具體情境，從具象的形式中抽象出其本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生思維的進(jìn)一步發(fā)展。在數(shù)學(xué)教材中，無(wú)論是概念的引入、規(guī)律的探索或者模型的建構(gòu)都蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)的基本思想方法，教師備課時(shí)一定要深入鉆研教材，挖掘出重要的數(shù)學(xué)思想方法。

二、運(yùn)用“變中有不變”思想解決思維困感

教師在低段的教學(xué)中，如果能在平時(shí)滲透“變與不變”的思想，學(xué)生在日后或者高段更加有難度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也會(huì)受益，對(duì)于一些比較難理解的知識(shí)點(diǎn)學(xué)生首先會(huì)從這一思想出發(fā)去思考。例如，積的變化規(guī)律、商的變化規(guī)律，這兩個(gè)課時(shí)都是所在單元的難點(diǎn)，尤其兩個(gè)課時(shí)學(xué)完做練習(xí)時(shí)，學(xué)生很容易把里面的兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)混淆，即“什么情況下積不變、什么情況下商不變”。教學(xué)時(shí)有一點(diǎn)一定要讓學(xué)生體會(huì)到，如果是最后的結(jié)果不變，那么另外兩個(gè)能導(dǎo)致結(jié)果的元素必然是發(fā)生變化的，也就是我們所說(shuō)的“變中有不變”。難點(diǎn)在于另外兩個(gè)元素分別怎么變化。在課堂教學(xué)中，通過(guò)舉例、對(duì)比一組組算式發(fā)現(xiàn)，如果要使積不變，那么兩個(gè)因數(shù)的變化趨勢(shì)必然是相反的。如果要使商不變，那么被除數(shù)和除數(shù)的變化趨勢(shì)是一致的。

我們周?chē)氖澜缑刻於荚诎l(fā)生變化，而變化又會(huì)帶來(lái)新鮮事物、帶來(lái)發(fā)展，作為一個(gè)老師更不應(yīng)該拒絕變化，要跟著時(shí)代一起進(jìn)步。但是在變化的同時(shí)，不忘初心，有時(shí)還是要回歸最本質(zhì)最自然的狀態(tài)，在變化中尋求一種平衡，在平衡中繼續(xù)適應(yīng)不斷變化的萬(wàn)千世界。