基于時(shí)變Copula模型的股指收益率相依關(guān)系研究

胡 月,王甜甜,夏厚君,雷柳榮,姜燕霞

(浙江科技學(xué)院 理學(xué)院,杭州 310023)

隨著經(jīng)濟(jì)全球化的加深,全球金融市場(chǎng)間的聯(lián)系日益密切,股票市場(chǎng)在金融市場(chǎng)中占有非常重要的位置,研究全球股票市場(chǎng)之間的相關(guān)性變得尤為重要。Sklar在1959年第一次提出Copula函數(shù)的概念,2006年Nelsen[1]對(duì)Copula函數(shù)的性質(zhì)和含義做了詳細(xì)、全面的介紹。20世紀(jì)90年代末,Copula函數(shù)逐漸開始在金融領(lǐng)域被應(yīng)用,韋艷華等[2-4]將Copula理論應(yīng)用到金融時(shí)間日收益率序列的相關(guān)性分析上,得到2個(gè)收益率序列間的相關(guān)性及各自最合適的Copula函數(shù);袁洪等[5-6]基于Copula模型研究了上證綜指和深證綜指之間的尾部相關(guān)性,得出滬深股市間具有明顯的杠桿效應(yīng)并提出了基于Copula尾部相關(guān)性的股票交易策略;Patton[7]給出了多變量時(shí)間序列預(yù)測(cè)的Copula方法;Moknik等[8]在研究國(guó)際股票市場(chǎng)之間的關(guān)系時(shí)使用長(zhǎng)記憶廣義自回歸條件異方差-學(xué)生t分布(generalized autoregressive conditional heteroskedasticity-student’st-distribution,GARCH-t)模型對(duì)邊際分布建立模型,提供了更準(zhǔn)確的多元市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)方法;盧金榮[9]在對(duì)滬深300指數(shù)日收益率序列進(jìn)行擬合時(shí)引入了GARCH模型族,得出殘差基于廣義誤差分布(generalized error distribution,GED)的擬合效果最好,指數(shù)廣義自回歸條件異方差(exponent generalized autoregressive conditional heteroskedasticity,EGARCH)比其他模型的擬合效果更佳。2001年,Patton[10]首次提出時(shí)變Copula模型,之后被用于測(cè)度股指現(xiàn)貨高頻價(jià)格的相依結(jié)構(gòu)[11],用于估計(jì)股市間的尾部極值動(dòng)態(tài)相關(guān)系數(shù)[12]及用時(shí)變馬爾科夫鏈蒙特卡洛采樣(Markov chain Monte Carlo,MCMC)算法對(duì)時(shí)變Copula-GARCH-t模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)[13];Emmanuel等[14]選擇了多個(gè)時(shí)變Copula函數(shù)對(duì)全球六大洲的10個(gè)主要經(jīng)濟(jì)體的股票指數(shù)之間的相依關(guān)系進(jìn)行擬合,得出時(shí)變正態(tài)Copula函數(shù)的擬合效果最好;薛健等[15]基于時(shí)變t-Copula函數(shù)對(duì)期貨現(xiàn)貨動(dòng)態(tài)相依關(guān)系進(jìn)行分析,得出上海原油期貨與國(guó)內(nèi)外具有代表性的原油現(xiàn)貨之間存在著不同的相依關(guān)系,而且都呈現(xiàn)出顯著的時(shí)變波動(dòng)特點(diǎn);楊湘豫等[16]分別利用常系數(shù)Copula和時(shí)變Copula模型對(duì)基金收益率的相依關(guān)系進(jìn)行比較分析,得出時(shí)變Copula模型要優(yōu)于常系數(shù)Copula模型。

綜觀國(guó)內(nèi)外現(xiàn)有研究成果,對(duì)國(guó)內(nèi)金融資產(chǎn)間的相關(guān)性研究較多,對(duì)A股、港股和美股三者之間相關(guān)性的研究較少。基于此,本研究選取上證指數(shù)、深證成指、香港恒生指數(shù)(以下簡(jiǎn)稱恒生指數(shù))和美國(guó)道瓊斯指數(shù)(以下簡(jiǎn)稱道瓊斯指數(shù)),利用時(shí)變Copula模型對(duì)其兩兩間的相關(guān)性進(jìn)行分析,并將GARCH模型族(GARCH、門限廣義自回歸條件異方差(threshold generalized autoregressive conditional heteroskedasticity,TGARCH)、EGARCH)與時(shí)變Copula函數(shù)相結(jié)合,根據(jù)赤池信息準(zhǔn)則(Akaike information criterion,AIC),選取AIC統(tǒng)計(jì)值更小的GARCH模型建立邊緣分布模型,使邊緣分布更合理更準(zhǔn)確。

1 時(shí)變Copula函數(shù)介紹

1.1 時(shí)變Copula函數(shù)的定義

時(shí)變Copula函數(shù)也稱為條件Copula函數(shù),主要指參數(shù)隨著時(shí)間而變化的Copula模型。如果一個(gè)Copula函數(shù)具有以下性質(zhì):

1)C(u,0|F)=C(0,v|F)=0,C(u,1|F)=u,C(1,v|F)=v;

2)對(duì)任意的0≤u1≤u2≤1,0≤v1≤v2≤1,有

V([u1,u2]×[v1,v2]|F)=C(u2,v2|F)-C(u2,v1|F)-C(u1,v2|F)+C(u1,v1|F)≥0,

則稱之為條件Copula函數(shù)。H(x1,x2,…,xn|F)為變量X的條件聯(lián)合分布,有

H(x1,x2,…xn|F)=C(G1(x1|F),G2(x2|F),…,Gn(xn|F)|F)。

1.2 常見的二維時(shí)變Copula函數(shù)

1.2.1 時(shí)變正態(tài)Copula函數(shù)

時(shí)變正態(tài)Copula函數(shù)的表達(dá)式為

參數(shù)演化方程為

(1)

1.2.2 時(shí)變旋轉(zhuǎn)Gumbel Copula函數(shù)

時(shí)變旋轉(zhuǎn)Gumbel Copula函數(shù)的表達(dá)式為

參數(shù)演化方程為

(2)

1.2.3 時(shí)變對(duì)稱Joe-Clayton Copula函數(shù)

時(shí)變對(duì)稱Joe-Clayton Copula(SJC-Copula)函數(shù)的表達(dá)式為

(3)

式(3)中:CJC為Joe-Clayton Copula函數(shù)的分布函數(shù)且

(4)

(5)

2 模型介紹

在研究上證指數(shù)、深證成指、恒生指數(shù)和道瓊斯指數(shù)收益率序列相依關(guān)系時(shí)分別用到了自回歸移動(dòng)取平均-廣義自回歸條件異方差-學(xué)生t分布-Copula(autoregressive moving average-generalized autoregressive conditional heteroskedasticity-student’st-Copula,ARMA-GARCH-t-Copula)模型和自回歸移動(dòng)取平均-指數(shù)廣義自回歸條件異方差-學(xué)生t分布-Copula(autoregressive moving average-exponent generalized autoregressive conditional heteroskedasticity-student’st-Copula,ARMA-GARCH-t-Copula)模型。

2.1 ARMA-GARCH-t-Copula模型

ARMA-GARCH-t-Copula模型的表達(dá)式為

(6)

式(6)中:Ct為任意一個(gè)二元Copula函數(shù);ξ1t、ξ2t為服從均值是0、方差是1的正規(guī)化t分布;T1、T2分別為正規(guī)化t分布函數(shù)。

2.2 ARMA-EGARCH-t-Copula模型

ARMA-EGARCH-t-Copula模型的表達(dá)式為

(7)

式(7)中:gn滿足Et-1[gn(ξn t)]=0。

3 實(shí)證分析

3.1 數(shù)據(jù)的選取及預(yù)處理

對(duì)上證指數(shù)、深證成指、恒生指數(shù)和道瓊斯指數(shù)的收益率序列做描述性統(tǒng)計(jì),樣本收益率序列的描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表1,偏度均小于0,且峰值都大于3,因此這4個(gè)變量的分布具有左偏、尖峰的特點(diǎn)。

表1 樣本收益率序列的描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果

3.2 收益率序列的檢驗(yàn)

對(duì)金融時(shí)間序列構(gòu)建模型前,需要對(duì)其進(jìn)行檢驗(yàn)。首先選取Jarque-Bera檢驗(yàn)、Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)和Lilliefors檢驗(yàn)法對(duì)樣本收益率序列進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn),樣本收益率序列正態(tài)性檢驗(yàn)結(jié)果見表2,h值均為1,且p值均小于0.01,表示樣本不符合正態(tài)分布,因此得出樣本收益率序列均不服從正態(tài)分布。

表2 樣本收益率序列正態(tài)性檢驗(yàn)結(jié)果

在對(duì)模型進(jìn)行擬合之前,選取單位根檢驗(yàn)法對(duì)樣本收益率序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn),樣本收益率序列單位根檢驗(yàn)結(jié)果見表3,4個(gè)收益率序列單位根檢驗(yàn)結(jié)果都小于序列在1%、5%和10%顯著性水平下的臨界值,因此可以判定上述收益率均為平穩(wěn)序列。

表3 樣本收益率序列單位根檢驗(yàn)結(jié)果

除了檢驗(yàn)正態(tài)性、平穩(wěn)性之外,還要檢驗(yàn)序列的相關(guān)性,圖1為上證指數(shù)、深證成指、恒生指數(shù)、道瓊斯指數(shù)收益率序列的自相關(guān)圖,樣本序列的自相關(guān)系數(shù)都在2倍的標(biāo)準(zhǔn)差以內(nèi),所以得出4個(gè)收益率序列具有自相關(guān)性。

圖1 樣本收益率序列的自相關(guān)圖

3.3 ARMA模型的選擇

通過(guò)以上檢驗(yàn)得出,上證指數(shù)、深證成指、恒生指數(shù)和道瓊斯指數(shù)的收益率序列通過(guò)了正態(tài)性、平穩(wěn)性及自相關(guān)性檢驗(yàn),接下來(lái)對(duì)其進(jìn)行ARMA模型刻畫,并用AIC值來(lái)判斷最優(yōu)模型。樣本收益率序列ARMA模型的AIC值見表4,選擇AIC值最小的ARMA模型,最終確定了上證指數(shù)ARMA(2,2)、深證成指ARMA(0,1)、恒生指數(shù)ARMA(0,0)和道瓊斯指數(shù)ARMA(1,2)為樣本收益率序列的均值方程。

表4 樣本收益率序列ARMA模型的AIC值

選取自回歸條件異方差-拉格朗日乘數(shù)(autoregressive conditional heteroskedasticity-Lagrange multiplier,ARCH-LM)方法檢驗(yàn)4個(gè)均值過(guò)程的異方差性,樣本收益率序列ARMA過(guò)程ARCH-LM檢驗(yàn)結(jié)果見表5,ARCH-LM檢驗(yàn)結(jié)果的p值均小于1%的顯著性水平,因此收益率去均值化的序列具有明顯的ARCH效應(yīng)。

表5 樣本收益率序列ARMA過(guò)程ARCH-LM檢驗(yàn)結(jié)果

3.4 GARCH模型的選擇

分別構(gòu)造GARCH模型族來(lái)刻畫上證指數(shù)收益率序列ARMA(2,2)模型、深證成指ARMA(0,1)模型、恒生指數(shù)ARMA(0,0)模型和道瓊斯指數(shù)ARMA(2,2)模型的波動(dòng)情況,然后通過(guò)AIC信息準(zhǔn)則及參數(shù)估計(jì)結(jié)果的顯著性來(lái)選擇最優(yōu)GARCH模型。

以上證指數(shù)為例,分別構(gòu)造基于GARCH及其2個(gè)衍生模型TGARCH和EGARCH對(duì)正態(tài)分布、t分布、GED分布來(lái)刻畫上證指數(shù)收益率序列ARMA(2,2)模型。為了防止產(chǎn)生過(guò)擬合現(xiàn)象,選取GARCH(1,1)模型對(duì)收益率的波動(dòng)性進(jìn)行分析,GARCH(1,1)模型的均值方程和方差方程如下:

基于殘差分別為正態(tài)分布、t分布和GED分布的上證指數(shù)收益率ARMA(2,2)-GARCH(1,1)模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果見表6。

表6 上證指數(shù)收益率ARMA(2,2)-GARCH(1,1)模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果

TGARCH(1,1)模型的條件方差設(shè)定如下:

基于殘差分別為正態(tài)分布、t分布和GED分布的上證指數(shù)收益率ARMA(2,2)-TGARCH(1,1)模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果見表7。

表7 上證指數(shù)收益率ARMA(2,2)-TGARCH(1,1)模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果

EGARCH(1,1)模型條件方差設(shè)定如下:

基于殘差分別為正態(tài)分布、t分布和GED分布的上證指數(shù)收益率ARMA(2,2)-EGARCH(1,1)模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果見表8。

表8 上證指數(shù)收益率ARMA(2,2)-EGARCH(1,1)模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果

AIC值最小的模型被優(yōu)先選取可以有效避免出現(xiàn)過(guò)度擬合的情況,表9給出了上證指數(shù)ARMA(2,2)-GARCH(1,1)模型族的AIC統(tǒng)計(jì)量,其中AIC值最小的為ARMA(2,2)-EGARCH(1,1)模型的t分布,但由于這個(gè)模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí)在3種顯著性檢驗(yàn)水平下均不顯著,因此選擇AIC值為3.034 231的ARMA(2,2)-GARCH(1,1)-t模型。

表9 上證指數(shù)ARMA(2,2)-GARCH(1,1)模型族的AIC統(tǒng)計(jì)量

類似于上證指數(shù)GARCH模型族的選取方法,最終得到深證成指、恒生指數(shù)和道瓊斯指數(shù)的收益率序列最優(yōu)邊緣分布模型,見表10。

表10 收益率序列最優(yōu)邊緣分布模型

由于Copula模型要求變量的邊緣分布要服從(0,1)上的均勻分布,在進(jìn)行Copula建模之前應(yīng)先采用概率積分變換來(lái)處理收益率序列的標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列。圖2為樣本收益率序列標(biāo)準(zhǔn)化殘差Q分位數(shù)(quantile-quantile,Q-Q)圖,圖中大部分點(diǎn)均在一條直線上,符合(0,1)上的均勻分布,這表明邊緣分布構(gòu)建合適。

圖2 樣本收益率序列標(biāo)準(zhǔn)化殘差Q-Q圖

3.5 Copula函數(shù)的選擇

本研究選擇正態(tài)Copula、旋轉(zhuǎn)Gumbel Copula和SJC-Copula 3種常系數(shù)Copula函數(shù)及這3種Copula各自的時(shí)變函數(shù)分別對(duì)上證指數(shù)和恒生指數(shù)收益率的相依關(guān)系進(jìn)行參數(shù)估計(jì),結(jié)果見表11～12,表中結(jié)果顯示無(wú)論是常系數(shù)Copula函數(shù)還是時(shí)變Copula函數(shù),均是SJC-Copula函數(shù)的AIC值最小,其次是旋轉(zhuǎn)Gumbel Copula函數(shù)和正態(tài)Copula函數(shù)。圖3給出了上證指數(shù)與恒生指數(shù)常系數(shù)Copula函數(shù)與時(shí)變Copula函數(shù)參數(shù)估計(jì)對(duì)比,根據(jù)AIC值最小原則,得出時(shí)變SJC-Copula函數(shù)擬合結(jié)果最優(yōu)。對(duì)比表11～12中常系數(shù)Copula函數(shù)和時(shí)變Copula函數(shù)的AIC值可知,時(shí)變Copula模型的預(yù)測(cè)能力和刻畫能力要優(yōu)于常系數(shù)Copula模型。

表11 上證指數(shù)與恒生指數(shù)常系數(shù)Copula函數(shù)參數(shù)估計(jì)結(jié)果

表12 上證指數(shù)與恒生指數(shù)時(shí)變Copula函數(shù)參數(shù)估計(jì)結(jié)果

圖3 上證指數(shù)與恒生指數(shù)常系數(shù)Copula函數(shù)與時(shí)變Copula函數(shù)參數(shù)估計(jì)對(duì)比

正態(tài)Copula模型的相關(guān)系數(shù)越接近于1則相關(guān)性越強(qiáng),圖4為上證指數(shù)、深證成指、恒生指數(shù)和道瓊斯指數(shù)4個(gè)樣本間正態(tài)Copula函數(shù)的常系數(shù)與時(shí)變參數(shù)估計(jì),從中可以得到的主要結(jié)論如下:

圖4 樣本間正態(tài)Copula函數(shù)的常系數(shù)與時(shí)變參數(shù)估計(jì)

1)上證指數(shù)和深證成指相關(guān)性較強(qiáng),靜態(tài)相關(guān)系數(shù)均接近0.9,動(dòng)態(tài)相關(guān)系數(shù)在0.9附近波動(dòng),滬、深兩市由于具有相似的政治、經(jīng)濟(jì)環(huán)境而被緊密地聯(lián)系在一起,因此股票市場(chǎng)具有較強(qiáng)的相關(guān)性。

2)上證指數(shù)和深證成指與恒生指數(shù)的靜態(tài)相關(guān)系數(shù)均接近0.5,動(dòng)態(tài)相關(guān)系數(shù)在0.5上下波動(dòng),但由于上證指數(shù)與恒生指數(shù)的相關(guān)系數(shù)略大于深證成指與恒生指數(shù)的相關(guān)系數(shù),故上證指數(shù)與恒生指數(shù)的相依性要強(qiáng)于深證成指與恒生指數(shù)之間的相依性。由于“一國(guó)兩制”,恒生指數(shù)與上證指數(shù)、深證成指的相依關(guān)系并沒有上證指數(shù)和深證成指的相依性強(qiáng)。

3)上證指數(shù)與道瓊斯指數(shù)的靜態(tài)相關(guān)系數(shù)略大于0.15,深證成指與道瓊斯指數(shù)的靜態(tài)相關(guān)系數(shù)略小于0.15,動(dòng)態(tài)相關(guān)系數(shù)均在0.15附近波動(dòng),相比之下上證指數(shù)與道瓊斯指數(shù)的動(dòng)態(tài)相關(guān)系數(shù)波動(dòng)更小,因此與深證成指相比,上證指數(shù)與道瓊斯指數(shù)的相關(guān)性更強(qiáng)。

4)恒生指數(shù)與道瓊斯指數(shù)的靜態(tài)相關(guān)系數(shù)為0.27,介于A股與美股(0.15)和A股與港股(0.5)之間,香港作為國(guó)際金融中心,港股與美股的聯(lián)系比A股與美股的聯(lián)系更緊密,因此港股與美股市場(chǎng)之間更容易互相影響。

4 結(jié) 語(yǔ)

本研究引入時(shí)變Copula模型與常系數(shù)Copula模型相比較,將ARMA-GARCH模型族與時(shí)變Copula函數(shù)相結(jié)合,為研究A股、港股和美股股指間的相依結(jié)構(gòu)測(cè)度提供了一定的方法。隨著現(xiàn)代金融體系的發(fā)展,可以根據(jù)金融市場(chǎng)動(dòng)態(tài)變化構(gòu)造時(shí)變Copula函數(shù)來(lái)測(cè)度金融市場(chǎng)的相依關(guān)系,以便為度量和防范金融風(fēng)險(xiǎn)提供參考。