一類H-Toeplitz算子的復(fù)對(duì)稱性

陳 泳,賴麗玲,梁金金

(1.浙江師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,浙江 金華 321004;2.杭州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,杭州 311121)

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 研究背景

(1)

Tφ=PMφ,Hφ=PMφJ(rèn),

Bφ=PMφK。

由定義可以看出,H-Toeplitz算子與Toeplitz算子和Hankel算子緊密聯(lián)系。事實(shí)上,對(duì)于每個(gè)非負(fù)整數(shù)n,有

Bφ(e2n)=PMφK(e2n)=PMφ(en)=Tφ(en);

(2)

Bφ(e2n+1)=PMφK(e2n+1)=PMφJ(rèn)(en)=Hφ(en)。

(3)

2)C2=I,即C是對(duì)合。

令α=(α0,α1,α2…),其中每個(gè)|αn|=1,n=0,1,2…。定義復(fù)共軛Cα為

Cαen=αnen,n=0,1,2…。

(4)

其中每個(gè)φk為徑向函數(shù),

1.2 引 理

引理1對(duì)于非負(fù)整數(shù)s和t,有以下公式成立:

對(duì)于調(diào)和符號(hào)的H-Toeplitz算子,有以下結(jié)論。

和

證明:首先有

由引理1,當(dāng)m≥n時(shí)有

而當(dāng)m

對(duì)于Hankel算子,類似有

由此及前面的證明,結(jié)合式(2)～(3)即知引理2的結(jié)論成立。

為了證明定理2,需要下面關(guān)于擬齊次符號(hào)H-Toeplitz算子的結(jié)論。

引理3令p為整數(shù),n為非負(fù)整數(shù),φ為有界徑向函數(shù),則以下結(jié)論成立:

當(dāng)n+p<0時(shí),由上述計(jì)算過(guò)程可知Beip θφ(z2n)=0。同理,當(dāng)n+1≤p時(shí),

當(dāng)n+1>p時(shí),由上述計(jì)算過(guò)程可知Beip θφ(z2n+1)=0。綜上即知結(jié)論成立。

本研究首先考慮調(diào)和函數(shù)符號(hào)的H-Toeplitz算子關(guān)于復(fù)共軛Cα的復(fù)對(duì)稱性。

2 主要結(jié)果

(5)

當(dāng)2m+1

(6)

令k=2m+1-n≥0,則2m=k+n-1代入式(5)可得:

(7)

令j=n-2m-1≥1,則n=j+2m+1代入式(6)可得:

(8)

注意到

因此在式(7)和式(8)中分別令n→∞,m→∞,可得:

ak=0,k≥0;bj=0,j≥1。

對(duì)于符號(hào)為式(4)所示的H-Toeplitz算子,尚不清楚上述結(jié)果是否成立,但在某些限制條件下,上述結(jié)論仍然成立。

則當(dāng)2m+1≤n+N時(shí),有

同理由引理3可知,當(dāng)n≥max{N,0}時(shí),有

因此當(dāng)2m+1≤n+N且n≥max{N,0}時(shí),有

令k=2m+1-n,則對(duì)于每個(gè)k≤N,由上述計(jì)算得到:

3 結(jié) 語(yǔ)

本研究探討了Bergman空間上一類H-Toeplitz算子關(guān)于給定復(fù)共軛Cα的復(fù)對(duì)稱性。從特殊符號(hào)入手,通過(guò)考察調(diào)和函數(shù)符號(hào)或非調(diào)和函數(shù)符號(hào)的H-Toeplitz算子,來(lái)研究該算子關(guān)于Cα的復(fù)對(duì)稱性。結(jié)果表明,當(dāng)符號(hào)為調(diào)和函數(shù)符號(hào)或由擬齊次函數(shù)的和組成的非調(diào)和函數(shù)符號(hào)時(shí),對(duì)應(yīng)的H-Toeplitz算子關(guān)于給定的復(fù)共軛為復(fù)對(duì)稱當(dāng)且僅當(dāng)該符號(hào)為零。