美國(guó)數(shù)學(xué)專(zhuān)家教師的課堂教學(xué)特點(diǎn)
——從一位專(zhuān)家教師的27節(jié)常態(tài)課管窺 ①

朱晨菲 鮑建生

一、 問(wèn)題提出

近年來(lái)，在我國(guó)的比較教育研究中，隨著國(guó)際上對(duì)“走進(jìn)課堂”展開(kāi)研究的呼聲漸長(zhǎng)，以及中美兩國(guó)教育發(fā)展情況和改革步伐的相似性，美國(guó)的課堂教學(xué)成為一個(gè)研究焦點(diǎn)。在基礎(chǔ)教育邁上高質(zhì)量發(fā)展新征程的當(dāng)下，兩國(guó)在教育強(qiáng)國(guó)建設(shè)中并驅(qū)爭(zhēng)先，更加凸顯了該主題研究的必要性。

在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，這類(lèi)研究有三類(lèi)成果產(chǎn)出者： 第一類(lèi)是在美華人研究者，他們致力于尋找美國(guó)數(shù)學(xué)課堂的一般特征及中美差異。數(shù)據(jù)來(lái)源多為公開(kāi)課、錄像課、問(wèn)卷與訪談，方法兼具量化與質(zhì)性。第二類(lèi)是曹一鳴等國(guó)內(nèi)研究者，往往依托國(guó)際合作展開(kāi)研究，量化方法居多，精細(xì)地關(guān)注了美國(guó)課堂或中美差異的某個(gè)方面。許多素材來(lái)自“基于學(xué)習(xí)者視角的課堂教學(xué)錄像研究”(The Learner’s Perspective Study,簡(jiǎn)稱(chēng)LPS)錄像庫(kù)和“中美區(qū)域和學(xué)校層面對(duì)高質(zhì)量數(shù)學(xué)教學(xué)支持的比較研究”錄像庫(kù)，前者錄制了大量?jī)?yōu)秀教師每人10—15節(jié)公開(kāi)課[1]，后者包含中美超百位教師每人2節(jié)常態(tài)課[2]。第三類(lèi)是一線教師和教研員，以赴美考察心得或?qū)γ绹?guó)教師來(lái)華教學(xué)的體會(huì)居多。其中，李善良的系列論文獨(dú)樹(shù)一幟，他基于對(duì)美國(guó)二十余所中小學(xué)的觀摩，綜合多種方法提煉了該國(guó)數(shù)學(xué)課堂的普遍特點(diǎn)[3][4]。

以上對(duì)已有研究及其方法的分述表明，盡管成果頗豐，但研究素材及其獲取方式上的諸多客觀制約使得中國(guó)目前有關(guān)美國(guó)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的研究存在一些缺憾： 從研究?jī)?nèi)容上看，以該國(guó)連續(xù)常態(tài)課為對(duì)象的研究尚待補(bǔ)充；從研究方法上看，較少見(jiàn)及采用非錄像方法關(guān)注真實(shí)課堂的研究；從研究結(jié)果上看，對(duì)其日常優(yōu)質(zhì)教學(xué)的典型形態(tài)認(rèn)識(shí)不夠。而由于美國(guó)教師享有教學(xué)隱私權(quán)[5]、進(jìn)入課堂的研究需經(jīng)層層審查并獲所有家長(zhǎng)許可、優(yōu)秀教師很少撰文介紹教學(xué)經(jīng)驗(yàn)[6]等主觀原因，美國(guó)本土同樣缺少具備如上角度的研究(1)該結(jié)論產(chǎn)生于研究者與匈菲爾德教授的交流。當(dāng)研究者表示希望能展開(kāi)兼?zhèn)溥@些角度的研究時(shí)，他指出，雖然這樣的研究能夠獲得對(duì)真實(shí)課堂的深度理解，但美國(guó)教育研究的倫理要求和一線教師的職業(yè)習(xí)慣使其并非易事。這些原因在匈菲爾德教授幫助聯(lián)系多位意向研究對(duì)象時(shí)屢被拒絕和最終應(yīng)允的研究對(duì)象提出的諸多要求中得到印證，進(jìn)一步確認(rèn)了該結(jié)論的真實(shí)性和本研究可能的獨(dú)特性。。不難看到，雖然一如張奠宙先生早年所言，“美國(guó)的高水準(zhǔn)數(shù)學(xué)教育是存在的”[7]，以上這些主客觀條件的局限卻造成了美國(guó)的日常優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)教學(xué)有何特點(diǎn)仍需撥云見(jiàn)日。

兼?zhèn)渖衔奶峒叭齻€(gè)角度的研究成就了四點(diǎn)可能： 一是經(jīng)由析取和驗(yàn)證連續(xù)性素材的循環(huán)保證了研究結(jié)果的可靠和可信；二是規(guī)避了錄像拍攝者自身視角帶來(lái)的若干偏差[8]和教師受錄像影響出現(xiàn)表演性教學(xué)的可能[9]；三是能夠通過(guò)發(fā)生情境的多樣化變式增加優(yōu)質(zhì)教學(xué)典型形態(tài)的可理解性；四是能夠利用對(duì)美國(guó)日常教學(xué)的解讀形成對(duì)該國(guó)數(shù)學(xué)教育及其發(fā)展方向的現(xiàn)實(shí)認(rèn)識(shí)?？梢?jiàn)，這樣的研究除卻在比較研究和教學(xué)研究上的多重意義，對(duì)當(dāng)前的課程改革、教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展、乃至研究教育實(shí)踐的方法，亦會(huì)形成一定啟發(fā)。所以，盡管突破已有研究的各方面局限或有難度，考慮到這樣的研究能推進(jìn)多個(gè)領(lǐng)域的研究，因此，它是一項(xiàng)值得探索的工作。

二、 研究設(shè)計(jì)

從上述角度展開(kāi)研究的深遠(yuǎn)意義提高了其必要程度，其中的探索性則對(duì)研究?jī)?nèi)容的選擇、研究方法的創(chuàng)新和研究結(jié)果的呈現(xiàn)提出了要求。對(duì)這三方面，為兼顧“看到更多”和“看到更深”[10]，本研究作了以下考慮：

在研究?jī)?nèi)容方面，已有專(zhuān)家與新手的對(duì)比研究和美國(guó)優(yōu)秀教師專(zhuān)業(yè)標(biāo)準(zhǔn)[11]均表明，專(zhuān)家教師的教學(xué)更出色、教學(xué)質(zhì)量更高[12]。以這一規(guī)律為假設(shè)，本研究將美國(guó)數(shù)學(xué)專(zhuān)家教師的課堂教學(xué)特點(diǎn)作為切入點(diǎn)，選取一位公認(rèn)專(zhuān)家教師的常態(tài)課堂進(jìn)行連續(xù)的跟蹤研究，通過(guò)對(duì)其中真實(shí)教與學(xué)情況的捕捉與分析，關(guān)注美國(guó)日常優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)教學(xué)的典型樣態(tài)。

在研究方法方面，由于研究?jī)?nèi)容聚焦于真實(shí)實(shí)踐，且研究對(duì)象提出了一些對(duì)研究方法的限定，本研究宜采用田野研究取向。從主觀上說(shuō)，一是常態(tài)課堂的鮮活和研究者對(duì)實(shí)踐的敬畏，促生了本研究將深入實(shí)地認(rèn)識(shí)“實(shí)踐著的實(shí)踐”[13]而非對(duì)實(shí)踐“符號(hào)化、對(duì)象化”[14]作為出發(fā)點(diǎn)；二是跨文化理解的定存偏差和對(duì)他國(guó)文化抱以的尊重，使研究者認(rèn)為尚未進(jìn)行基礎(chǔ)洞察就冒然解離或有失情理。從客觀上說(shuō)，一方面，已有研究表明，高度規(guī)范的、脫離現(xiàn)場(chǎng)的模式化方法某種程度上是本主題成果有待改善的原因之一；另一方面，雖然研究者力圖突破過(guò)往的方法困境，但研究對(duì)象給出的諸多限定卻讓本研究的方法選取仍有力所不能及。由上，本研究采取多種貼近現(xiàn)場(chǎng)的方法對(duì)研究?jī)?nèi)容展開(kāi)兼顧廣度與深度的認(rèn)識(shí)，并依靠研究者多年的研究經(jīng)驗(yàn)和中學(xué)從教經(jīng)驗(yàn)提高這些認(rèn)識(shí)的合理程度，以“研究邏輯需要與研究領(lǐng)域相匹配”[15]為基本態(tài)度，通過(guò)在近乎自然狀態(tài)下連續(xù)觀察研究對(duì)象的課堂教學(xué)、非結(jié)構(gòu)式訪談、第一手資料的收集等獲取研究素材并形成田野筆記，經(jīng)由對(duì)它們的多樣化分析確立“本土概念”，是一個(gè)自下而上的、經(jīng)驗(yàn)入場(chǎng)的、輔以量化統(tǒng)計(jì)的田野研究。

在研究結(jié)果方面，作為一個(gè)跨文化的探索性個(gè)案研究，文化差異使得評(píng)價(jià)研究對(duì)象教學(xué)的優(yōu)劣不合時(shí)宜，研究的探索性暗含了對(duì)結(jié)果豐富性、原初性和可理解性的要求，“個(gè)案研究不能承受之重”[16]降低了對(duì)結(jié)果作理論建構(gòu)的可能性和必要性。為此，本研究在闡釋田野工作的成果時(shí)，走向案例探討與理論剖析的“中間道路”，在整體簡(jiǎn)述量化統(tǒng)計(jì)結(jié)果的基礎(chǔ)上，注重對(duì)代表性事件發(fā)生過(guò)程及其意義的呈現(xiàn)，融合事件白描和意義分析進(jìn)行“以例明理”，追求對(duì)研究對(duì)象教學(xué)特點(diǎn)的全景深度展現(xiàn)。

基于這樣三方面的設(shè)計(jì)思路及其理?yè)?jù)，本研究的具體研究過(guò)程如下：

(一) 研究對(duì)象

匈菲爾德教授考慮到本研究對(duì)美國(guó)日常優(yōu)質(zhì)教學(xué)的代表性要求，將他認(rèn)為的“灣區(qū)幾乎最頂級(jí)的教師”艾莉森(Allison)(2)經(jīng)該教師本人書(shū)面授權(quán)同意，本研究使用了其真實(shí)名字，同時(shí)根據(jù)她的要求，省略其姓氏。介紹給研究者。該教師1999年在加州大學(xué)伯克利分校獲碩士學(xué)位后任初中數(shù)學(xué)教師，2004年獲阿拉梅達(dá)縣(包含14個(gè)灣區(qū)東部城市)年度教師稱(chēng)號(hào)(K-12全學(xué)段、全學(xué)科每年共計(jì)4名)，2005年起任伯克利市聯(lián)合學(xué)區(qū)數(shù)學(xué)部負(fù)責(zé)人，2008年被美國(guó)教學(xué)專(zhuān)業(yè)委員會(huì)認(rèn)證為全國(guó)優(yōu)秀教師，2012年起轉(zhuǎn)任伯克利市聯(lián)合學(xué)區(qū)教育技術(shù)部負(fù)責(zé)人，2017年被谷歌教室(谷歌開(kāi)發(fā)的全美通用在線學(xué)習(xí)平臺(tái))認(rèn)證為高級(jí)研訓(xùn)師，2018年9月起重回學(xué)校任教并兼任多個(gè)教師培訓(xùn)項(xiàng)目的導(dǎo)師。

(二) 課例選取

本研究的課例來(lái)自艾莉森2019年4月8日至5月14日在一個(gè)22人班級(jí)連續(xù)27節(jié)、每節(jié)50分鐘的7年級(jí)常態(tài)課，每個(gè)課例的主要內(nèi)容如表1。根據(jù)匈菲爾德教授的建議，研究者首先與艾莉森就可以公開(kāi)的成果達(dá)成了一致，然后做出了不對(duì)課堂錄音、錄像及不用任何標(biāo)準(zhǔn)評(píng)價(jià)課堂的書(shū)面承諾。之后，研究者獲準(zhǔn)在教室內(nèi)實(shí)施自然觀察并可隨意走動(dòng)、拍照及用文字記錄課堂情況；艾莉森每日向研究者發(fā)送教學(xué)設(shè)計(jì)、學(xué)案和作業(yè)并與研究者交流教學(xué)意圖。所有觀察結(jié)束后，除27份文字記錄外，研究者還獲得了22份教學(xué)設(shè)計(jì)及學(xué)案、16份作業(yè)、5份考卷、392張照片及102封往來(lái)郵件。

表1 每個(gè)課例的主要內(nèi)容

(三) 資料分析

第一手資料的多樣化和田野筆記的開(kāi)放性使所得成果雖豐富但松散，研究者分5個(gè)階段對(duì)它們進(jìn)行了“自下而上”的分析(如表2)，提煉了27個(gè)課例中研究對(duì)象在4個(gè)內(nèi)容維度共計(jì)9類(lèi)典型教學(xué)表現(xiàn)，統(tǒng)計(jì)了指向各類(lèi)表現(xiàn)的具體教學(xué)事件(如表3)，明確了每類(lèi)的代表性事件，“以例明理”地分析了每類(lèi)表現(xiàn)的意義，形成了關(guān)于研究對(duì)象日常教學(xué)特點(diǎn)的完整認(rèn)識(shí)。

表2 資料分析的方法與過(guò)程

表3 指向各類(lèi)典型表現(xiàn)的具體教學(xué)事件數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)

三、 研究結(jié)果

總體地看，上述量化統(tǒng)計(jì)的結(jié)果表明，艾莉森的典型教學(xué)表現(xiàn)蘊(yùn)含深刻且頗具匠心，能在不同的情境中靈活而穩(wěn)定地制定有針對(duì)性的教學(xué)計(jì)劃并有效實(shí)施，持續(xù)而一致地努力實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程與結(jié)果的全面促進(jìn)。她較為平衡地兼顧了知識(shí)、能力和方法的教學(xué)，相對(duì)更強(qiáng)調(diào)技能和反思的學(xué)習(xí)，問(wèn)題解決和概念學(xué)習(xí)略居其后，致力于支持學(xué)生理解能力、操作能力、問(wèn)題解決能力、反思能力的形成與發(fā)展。她特別擅長(zhǎng)開(kāi)展因材施教以及過(guò)程與方法的教學(xué)，關(guān)注學(xué)生需求、適應(yīng)學(xué)生差異、貫穿數(shù)學(xué)的理解與思維、注重教學(xué)的時(shí)機(jī)與方法。

具體地說(shuō)，以下是對(duì)艾莉森每類(lèi)典型表現(xiàn)及其意圖的描述與解釋?zhuān)η笸ㄟ^(guò)“例”“理”融合的方式呈現(xiàn)這些表現(xiàn)的特點(diǎn)及艾莉森對(duì)它們的思考和理解，展示這些表現(xiàn)在艾莉森日常課堂中的形態(tài)與意義。

(一) 概念教學(xué)的典型表現(xiàn)

美國(guó)為實(shí)施《州共同核心數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》而制定的《行動(dòng)原則》指出“有效的數(shù)學(xué)教學(xué)需要基于概念性理解建立流暢的操作”[18]。艾莉森幫助學(xué)生理解概念的常見(jiàn)表現(xiàn)有：

1. 圍繞核心概念將教材內(nèi)容重新組織

艾莉森的教學(xué)幾乎每節(jié)課都沒(méi)有完全遵循教材的既定內(nèi)容和順序。從章節(jié)看，教材的“百分?jǐn)?shù)與小數(shù)”主要涉及兩類(lèi)數(shù)在數(shù)與代數(shù)中的運(yùn)算及應(yīng)用，每節(jié)圍繞一個(gè)運(yùn)算類(lèi)型同時(shí)呈現(xiàn)關(guān)于兩類(lèi)數(shù)的學(xué)習(xí)；而艾莉森先上小數(shù)再上百分?jǐn)?shù)，并補(bǔ)充了其他領(lǐng)域的相關(guān)知識(shí)。對(duì)百分?jǐn)?shù)，她舍棄了溶液、增長(zhǎng)率和利息三類(lèi)問(wèn)題，增加了圖形的放縮、相似圖形的認(rèn)識(shí)、概率的認(rèn)識(shí)。新授課時(shí)，艾莉森常采用紙質(zhì)學(xué)案或以練習(xí)、測(cè)驗(yàn)、活動(dòng)等形式把自己選編的內(nèi)容設(shè)置在谷歌教室中。復(fù)習(xí)時(shí)，她也不依賴(lài)教材，有時(shí)是逐步深挖一個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題來(lái)由點(diǎn)及面，有時(shí)是通過(guò)幾個(gè)平行難度的問(wèn)題聯(lián)結(jié)關(guān)聯(lián)概念；其間的作業(yè)都是兩道包含多個(gè)小問(wèn)的問(wèn)題解決，一道圍繞一個(gè)核心概念。對(duì)這些做法，艾莉森坦言：“我有自己的順序，教材只是倉(cāng)庫(kù)，我只找我需要的。”

2. 基于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)和體驗(yàn)學(xué)習(xí)新知識(shí)

學(xué)習(xí)新概念及它們的應(yīng)用時(shí)，艾莉森設(shè)計(jì)的情境通常都貼近學(xué)生的先前認(rèn)知以便于他們參與。對(duì)新知的學(xué)習(xí)，艾莉森先引導(dǎo)學(xué)生交流對(duì)新概念的已有了解，再讓他們感受有關(guān)素材，她認(rèn)為“孩子更擅長(zhǎng)理解經(jīng)歷過(guò)的數(shù)學(xué)”。如引入概率時(shí)，先由“你還在哪里見(jiàn)過(guò)百分?jǐn)?shù)？”讓學(xué)生充分舉例以順利過(guò)渡到該主題，再通過(guò)討論“特朗普連任總統(tǒng)的概率”幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)概率的內(nèi)涵和描述方法，接著通過(guò)在線活動(dòng)使他們體驗(yàn)不同情況中的概率范圍。對(duì)于新知的應(yīng)用，艾莉森會(huì)從熟悉且簡(jiǎn)單的情境入手，在學(xué)生理解原理后橫向擴(kuò)展情境類(lèi)型、縱向增加難度。例如，艾莉森進(jìn)行了5天百分?jǐn)?shù)應(yīng)用的教學(xué)，第一天從“800的30%是多少”切入，后有梯度地用添加條件、逆向設(shè)計(jì)等變式逐步深入，直到第五天解決一個(gè)綜合性問(wèn)題。

(二) 技能教學(xué)的典型表現(xiàn)

美國(guó)課堂強(qiáng)調(diào)在大量相似情境中的重復(fù)練習(xí)是許多研究的共同發(fā)現(xiàn)，這也成為該國(guó)學(xué)生在國(guó)際測(cè)評(píng)中表現(xiàn)欠佳的一個(gè)歸因[19]，但艾莉森的技能教學(xué)并非如此。

1. 洞察學(xué)生需求進(jìn)行有針對(duì)性的幫助

這是艾莉森最頻繁出現(xiàn)的教學(xué)表現(xiàn)，她稱(chēng)之為“教學(xué)常規(guī)”。因?yàn)閳?jiān)信“沒(méi)有一樣的學(xué)生”，所以她一直實(shí)施的是對(duì)技能的個(gè)性化輔導(dǎo)，不同學(xué)生獲得幫助的內(nèi)容、時(shí)機(jī)和程度不同，她認(rèn)為這才是“公平”。對(duì)于輔導(dǎo)內(nèi)容，以運(yùn)算技能為例，艾莉森始終強(qiáng)調(diào)遠(yuǎn)離計(jì)算器，但大部分孩子的算理、速度、準(zhǔn)確性都有待加強(qiáng)。于是，她設(shè)計(jì)魔法三角形(如圖1)歸納了有理數(shù)運(yùn)算順序；教學(xué)生養(yǎng)成估算先驗(yàn)、換方法后驗(yàn)的二次驗(yàn)證習(xí)慣。對(duì)于輔導(dǎo)的時(shí)機(jī)和程度，她的課堂約有一半時(shí)間在單獨(dú)或分層輔導(dǎo)： 觀察到學(xué)生有困難就隨時(shí)一對(duì)一啟發(fā)；常以在線練習(xí)結(jié)果或?qū)W生自我評(píng)價(jià)為標(biāo)準(zhǔn)分層，優(yōu)生自主練習(xí)、中等生用教室四周白板合作學(xué)習(xí)、剩余學(xué)生聚在黑板前由她集中啟發(fā)，并且這三組學(xué)生的位置可隨學(xué)生自己的感覺(jué)和她的觀察及判斷隨時(shí)調(diào)動(dòng)。

圖1

2. 注重總結(jié)基本方法和歸納基本流程

重視做數(shù)學(xué)的基本方法和基本流程是中國(guó)教師常見(jiàn)的教學(xué)方式，艾莉森的絕大多數(shù)課堂也有相同做法，她認(rèn)為這樣可以“知道靈活性的根”。她通常先讓學(xué)生充分提出典型例題的多種做法，再全班討論最佳方法，然后引導(dǎo)學(xué)生從最通用的、最簡(jiǎn)便的兩個(gè)角度提煉基本步驟。之后，她會(huì)與學(xué)生們一同做筆記，先在目錄頁(yè)填上筆記名稱(chēng)，再到對(duì)應(yīng)頁(yè)碼記下內(nèi)容并附以例題(圖2是目錄頁(yè))。艾莉森明確告知學(xué)生，除了州統(tǒng)考，其他時(shí)間都可以看筆記，包括各級(jí)測(cè)驗(yàn)，因?yàn)椤肮P記上有做數(shù)學(xué)的根”。

圖2

(三) 問(wèn)題解決教學(xué)的典型表現(xiàn)

美國(guó)對(duì)問(wèn)題解決的內(nèi)涵、教學(xué)與評(píng)價(jià)的理論研究走在世界前列，而艾莉森展現(xiàn)了當(dāng)前問(wèn)題解決教學(xué)在美國(guó)專(zhuān)家課堂的實(shí)踐樣態(tài)。

1. 把問(wèn)題解決思想貫穿在教學(xué)全過(guò)程

“所有內(nèi)容都是問(wèn)題解決，關(guān)鍵看怎么教?！边@是艾莉森的基本觀點(diǎn)。只要講題目，無(wú)論難易，她都必然遵循理解、探索、執(zhí)行、反思的問(wèn)題解決步驟，似乎這已不僅是教學(xué)方式，更是她希望學(xué)生學(xué)會(huì)的思維方式。她總是多角度、多思路地分析問(wèn)題，認(rèn)為固化某種套路不太妥當(dāng)。例如，對(duì)“一雙鞋降價(jià)25%后是60美元，求原價(jià)”，她先讓全班起立讀題并逐一確認(rèn)理解題意后再坐下；然后拋出“猜猜原價(jià)與60的大小關(guān)系”的問(wèn)題要學(xué)生結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)做出猜想與說(shuō)明；接著鼓勵(lì)學(xué)生移步數(shù)學(xué)解釋。當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)困難，艾莉森引導(dǎo)學(xué)生用圖形表征百分比與數(shù)值間的對(duì)應(yīng)來(lái)探索數(shù)量關(guān)系；然后師生共同擬定多種解決方案并執(zhí)行；之后在依次反思各解法的通用性和便利性后改進(jìn)了對(duì)每個(gè)解法的具體寫(xiě)法。

2. 強(qiáng)調(diào)問(wèn)題分解及適時(shí)的啟發(fā)與追問(wèn)

乍看起來(lái)，艾莉森的課堂效率并不高，因?yàn)樗Ｒ还?jié)課只講一個(gè)題；但細(xì)品則知，不高的是顯性的課堂進(jìn)程，高的是隱性的學(xué)生思維進(jìn)程。她極為重視引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷問(wèn)題解決的全過(guò)程，把對(duì)每點(diǎn)題意的理解、每條路徑的探索、每個(gè)方法的呈現(xiàn)、每種解答的余味都化成子問(wèn)題讓學(xué)生充分體驗(yàn)與思考。比如，艾莉森用整整一節(jié)課分析了一個(gè)問(wèn)題解決“如何在三種折扣方案中選擇更劃算的一種”。她首先令每三人一組討論各個(gè)折扣；再要求各組向全班匯報(bào)對(duì)每種折扣的不同解釋?zhuān)蠛笠粋€(gè)發(fā)言的同學(xué)必須比前一個(gè)更數(shù)學(xué)化；接著全班一同精煉了各折扣的數(shù)量關(guān)系式并兩兩比較了差異；然后才開(kāi)始探索解決方案；最后總結(jié)時(shí)，她不但追問(wèn)了解答本身，還追問(wèn)了學(xué)生思考它們時(shí)的方式和短板。

(四) 反思能力教學(xué)的典型表現(xiàn)

盡管反思的重要性越來(lái)越得到認(rèn)同，怎樣使學(xué)生具備反思能力卻尚是各家之言，而將對(duì)反思的學(xué)習(xí)作為常規(guī)教學(xué)內(nèi)容是艾莉森課堂最大的特色。

1. 把反思學(xué)習(xí)過(guò)程滲透在整個(gè)課堂里

這是艾莉森具體教學(xué)事件數(shù)量第二多的表現(xiàn)。她把反思學(xué)習(xí)過(guò)程的教學(xué)滲透在了多個(gè)課堂細(xì)節(jié)里，意圖使學(xué)生學(xué)會(huì)洞察自己的思維傾向與局限，從而不僅學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)，而且理解會(huì)的過(guò)程。正如艾莉森所說(shuō)，“每個(gè)人都應(yīng)當(dāng)了解自己在多大程度上理解自己”。在做法上，她有時(shí)會(huì)讓學(xué)生通過(guò)回看草稿紙摸清自己是如何思考的，以此梳理思維推進(jìn)的路線并找到弱點(diǎn)和誤解；有時(shí)會(huì)讓孩子們把自己的思考過(guò)程講給組內(nèi)同學(xué)聽(tīng)并交流彼此的思維差異；還有時(shí)會(huì)提取谷歌教室里每個(gè)學(xué)生一段時(shí)間內(nèi)的學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)，把自動(dòng)生成的圖表發(fā)給他們并編制如“你是如何學(xué)習(xí)的？你學(xué)的如何？”等問(wèn)題要求學(xué)生展開(kāi)自我剖析以了解自己的學(xué)習(xí)過(guò)程。

2. 對(duì)如何反思學(xué)習(xí)結(jié)果展開(kāi)專(zhuān)題教學(xué)

艾莉森認(rèn)為，反思學(xué)習(xí)結(jié)果的目的是優(yōu)化解答過(guò)程、歸納方法和加深理解，她把圍繞這些目的的教學(xué)體現(xiàn)在了大部分課堂中。在教室的黑板上，始終寫(xiě)著艾莉森稱(chēng)為“反思三層次”的話：“Is it clear? Is it accurate? Is it complete?”，最高層次是simplest但不必須達(dá)到。學(xué)生們都知道clear為“可理解的”,accurate為“數(shù)學(xué)上正確”,complete為“有答案、過(guò)程和理由”,simplest為“符合前三條標(biāo)準(zhǔn)且最簡(jiǎn)潔的”。艾莉森要求學(xué)生時(shí)刻想著它們，會(huì)隨時(shí)叫他們按層次反思解答并說(shuō)明理由再改進(jìn)。如對(duì)“買(mǎi)一個(gè)40美元的游戲時(shí)可選15美元或15%的折扣，你會(huì)選哪一個(gè)？解釋你的思考”這一問(wèn)題，艾莉森在谷歌教室中匯總?cè)拷獯鸩⒛涿幚砗螅S機(jī)選擇了四份解答進(jìn)行投屏，并要求全班學(xué)生按層次逐一評(píng)價(jià)每份解答。學(xué)生需先說(shuō)出每份解答在各層次的欠佳表現(xiàn)及理由，再給出改進(jìn)方案并解釋?zhuān)蝗缓竺咳诵薷淖约旱慕獯?；最后，艾莉森把四份修改后的解答投屏并展開(kāi)前后對(duì)比評(píng)價(jià)。

3. 明確要求學(xué)生把理解學(xué)習(xí)作為目標(biāo)

如果說(shuō)以上兩條是“術(shù)”，那本條就是艾莉森促進(jìn)學(xué)生反思能力形成的“道”，課堂的許多做法背后無(wú)處不有其身影。對(duì)為什么再三教反思，她說(shuō)“我不是光教他們數(shù)學(xué)，我要教他們學(xué)數(shù)學(xué)”，所以得讓他們“理解怎么學(xué)的和學(xué)的如何”。為此，艾莉森為每個(gè)孩子做了成績(jī)統(tǒng)計(jì)圖和州統(tǒng)考預(yù)測(cè)(如圖3)，要他們寫(xiě)小作文評(píng)價(jià)自己的學(xué)習(xí)；分層學(xué)習(xí)時(shí)，她讓孩子們根據(jù)各層表現(xiàn)描述(如圖4)決定自己的位置，并提醒他們可隨時(shí)調(diào)動(dòng)位置；她還鼓勵(lì)孩子們?cè)诤献鲗W(xué)習(xí)時(shí)自由選擇隊(duì)友，因?yàn)椤澳阕盍私饽阕约?、知道誰(shuí)最能幫助你”。除了理解自己的學(xué)習(xí)，艾莉森要求學(xué)生盡可能理解他人的學(xué)習(xí)并將之作為合作學(xué)習(xí)的基本要求，于是，長(zhǎng)期的習(xí)慣使孩子們常說(shuō)“我能為你做什么”“你可能需要…”“你可能在…會(huì)有困難”。

圖3

圖4

四、 結(jié)論與啟示

(一) 結(jié)論

本研究以一位專(zhuān)家教師27節(jié)連續(xù)常態(tài)課中的教學(xué)表現(xiàn)為素材，基于多樣化開(kāi)放獲取的第一手資料和田野筆記，研究了美國(guó)數(shù)學(xué)專(zhuān)家教師的教學(xué)特點(diǎn)。結(jié)果表明，該教師在概念教學(xué)、技能教學(xué)、問(wèn)題解決教學(xué)、反思能力教學(xué)四方面都表現(xiàn)出一定的特點(diǎn)，這些特點(diǎn)形式多元、意義豐富、成效顯著?？紤]到該教師的教學(xué)質(zhì)量、工作經(jīng)歷和研究經(jīng)驗(yàn)，它們具備相當(dāng)?shù)牡湫托院推毡樾?，展示了美?guó)高端師資對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的日常思考與實(shí)踐。對(duì)每方面特點(diǎn)的概括如下：

在概念教學(xué)時(shí)，艾莉森不受教材編排的局限，運(yùn)用自己對(duì)知識(shí)本身和學(xué)生思維深刻而堅(jiān)定的認(rèn)識(shí)，圍繞核心概念的學(xué)習(xí)，設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容并安排教學(xué)序列。通過(guò)多樣化的交流、步步有據(jù)的詮釋?zhuān)瑔酒鸷驮鲩L(zhǎng)學(xué)生的體驗(yàn)并引導(dǎo)他們經(jīng)歷概念形成的過(guò)程，逐步幫助他們有根源、有條理、有層次地理解概念。

在技能教學(xué)時(shí)，她擅長(zhǎng)從細(xì)節(jié)判斷每個(gè)學(xué)生的實(shí)際需求，充分考慮學(xué)生技能習(xí)得方式和掌握能力的差異，強(qiáng)調(diào)對(duì)方法和流程中一般化套路的總結(jié)與運(yùn)用。在統(tǒng)一學(xué)習(xí)、記憶與適度操練的基礎(chǔ)上，根據(jù)學(xué)生不足之處的具體表現(xiàn)和不同程度確定所需輔導(dǎo)的形式、時(shí)機(jī)與策略，廣泛而靈活地實(shí)施個(gè)性化教學(xué)補(bǔ)償。

在問(wèn)題解決教學(xué)時(shí)，她總是將其置于思想方法的高度加以滲透。既通過(guò)持續(xù)的整體熏陶幫助學(xué)生獲得問(wèn)題解決的一般眼光和思維方式，養(yǎng)成按理解、探索、執(zhí)行、反思的過(guò)程思考問(wèn)題的習(xí)慣；又經(jīng)常借助專(zhuān)門(mén)教學(xué)采用恰時(shí)恰點(diǎn)的啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生掌握問(wèn)題解決的常見(jiàn)思路和典型策略，支持他們問(wèn)題解決的具體實(shí)施。

在反思能力教學(xué)時(shí)，她以讓學(xué)生能理解學(xué)習(xí)為目標(biāo)，始終將該能力的全面養(yǎng)成作為中心線索貫穿在課堂中，通過(guò)多種思維外顯的手段傳遞反思學(xué)習(xí)過(guò)程的方法，借助不同層次的提示語(yǔ)闡明反思學(xué)習(xí)結(jié)果的角度，引導(dǎo)學(xué)生理解自己會(huì)什么和怎樣會(huì)的，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維和學(xué)會(huì)如何以數(shù)學(xué)的方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

(二) 啟示

本研究采用田野研究的方式對(duì)一位專(zhuān)家教師的教學(xué)特點(diǎn)進(jìn)行了探索性認(rèn)識(shí)，呈現(xiàn)了美國(guó)高水準(zhǔn)數(shù)學(xué)教育的日常典型樣態(tài)，在推進(jìn)以美國(guó)課堂教學(xué)為主題的研究的同時(shí)，對(duì)多領(lǐng)域內(nèi)的相關(guān)理論研究和教學(xué)實(shí)踐均有若干啟示。

1. 在數(shù)學(xué)教育的比較研究方面

理解美國(guó)的課堂教學(xué)特點(diǎn)和中美差異是我國(guó)采用比較視角研究美國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的，本研究反映了中國(guó)研究者對(duì)美國(guó)專(zhuān)家教師如何追尋優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)教學(xué)的理解，有助于達(dá)成比較研究的目的。

從研究的內(nèi)容和結(jié)果上看，本研究對(duì)美國(guó)數(shù)學(xué)專(zhuān)家教師課堂教學(xué)特點(diǎn)的揭示，可視為建立了一個(gè)該國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)頂層形態(tài)的代表性模型。盡管尚無(wú)法知曉美國(guó)教師在多大范圍、程度和頻率上會(huì)表現(xiàn)出前述特點(diǎn)，但艾莉森的能力、榮譽(yù)、口碑等表明，這是一個(gè)典型的個(gè)案，有力地推動(dòng)了我們思考美國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)與時(shí)俱進(jìn)的特征是什么、哪些優(yōu)點(diǎn)值得借鑒或可以揚(yáng)棄。從研究的方法和意義上看，本研究盡可能沖破了過(guò)往研究在研究素材上不得已的局限、減少了研究方法的潛在影響，通過(guò)對(duì)一位美國(guó)優(yōu)秀教師教學(xué)特點(diǎn)的縱向深入挖掘，有力地補(bǔ)充了李善良通過(guò)觀摩多個(gè)課堂所得的橫向考察結(jié)果，有助于形成對(duì)美國(guó)日常數(shù)學(xué)教學(xué)的立體化理解。此外，本研究是基于中國(guó)的數(shù)學(xué)教育視角對(duì)美國(guó)課堂進(jìn)行的觀察與分析，并用研究對(duì)象本人的解釋支撐了研究結(jié)果。盡管這樣的跨文化詮釋難免帶有主觀色彩，但是利用同一個(gè)話語(yǔ)體系進(jìn)行的分析使得所得結(jié)論與關(guān)于中國(guó)課堂的研究成果間具備較強(qiáng)的可比性，既拓寬了我們對(duì)中美數(shù)學(xué)教學(xué)目前共性和差異的認(rèn)識(shí)，也增加了我們將美國(guó)的一些優(yōu)點(diǎn)做本土化改良時(shí)的適應(yīng)性。

2. 在專(zhuān)家教師的發(fā)展研究方面

本研究基于對(duì)一位專(zhuān)家相對(duì)長(zhǎng)時(shí)間課堂表現(xiàn)的分析，探討了美國(guó)數(shù)學(xué)專(zhuān)家教師在教學(xué)上可能具備的普遍特點(diǎn)。它們是教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展階段性正向結(jié)果的反映，對(duì)關(guān)于專(zhuān)家教師一般特質(zhì)和成長(zhǎng)機(jī)制的研究有啟發(fā)意義。

一方面，這些特點(diǎn)整體表明，熱愛(ài)教學(xué)、理解深刻、能力全面、應(yīng)變靈活、擅長(zhǎng)反思等品質(zhì)會(huì)在專(zhuān)家教師身上有集中體現(xiàn)，并穩(wěn)定地以多種形式表現(xiàn)在他們的日常教學(xué)中。艾莉森不斷的自我剖析展示出，持續(xù)認(rèn)識(shí)和思考自己的教學(xué)意味深遠(yuǎn)，除了學(xué)習(xí)和借鑒理論及他人經(jīng)驗(yàn)，更實(shí)際且常態(tài)的方式應(yīng)是反思自己的教學(xué)。另一方面，艾莉森的個(gè)人經(jīng)歷和教研方式為尋找專(zhuān)家特質(zhì)的發(fā)展路徑提供了思路。從長(zhǎng)期看，她依次經(jīng)歷了學(xué)教、從教、教研、教管、再?gòu)慕滩⒓娼虒?dǎo)的職業(yè)階段，身份的轉(zhuǎn)換讓她得以持續(xù)學(xué)習(xí)、實(shí)踐、研究、示范與指導(dǎo)。從短期看，她每天的教學(xué)在本質(zhì)上都是一個(gè)教研的過(guò)程，始終交互著實(shí)踐與反思。正是長(zhǎng)期與短期的聯(lián)動(dòng)，使她能不斷累積和理解著教學(xué)的真諦、思考和優(yōu)化著自己的教學(xué)，從而形成了堅(jiān)實(shí)有效的專(zhuān)家教學(xué)特點(diǎn)。綜合地說(shuō)，類(lèi)型豐富的教學(xué)品質(zhì)養(yǎng)成、反思為核的教學(xué)研究方法、復(fù)合視角的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)領(lǐng)悟、長(zhǎng)期一致的自我發(fā)展行動(dòng)都對(duì)教師向?qū)＜业倪~進(jìn)有重要作用。

3. 在優(yōu)質(zhì)課堂的建設(shè)研究方面

艾莉森的課堂代表了美國(guó)頂尖一線教師對(duì)該國(guó)教育政策與文件的理解與落實(shí)，展示了這類(lèi)教師為打造優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)課堂而采取的若干措施，從跨文化視角補(bǔ)充了關(guān)于建設(shè)優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)課堂的研究。

本研究表明，美國(guó)教育界推崇的優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)教學(xué)真實(shí)地、完善地、持續(xù)地發(fā)生在某些專(zhuān)家教師的常態(tài)課中，在概念理解、技能習(xí)得、問(wèn)題解決和促進(jìn)反思上有著突出表現(xiàn)，重活動(dòng)亦重理解，重資優(yōu)亦重均衡，重操練亦重方法，重建構(gòu)亦重啟發(fā)，重學(xué)習(xí)亦重反思，重問(wèn)題解決亦重知識(shí)結(jié)構(gòu)。進(jìn)一步，這些重心始終圍繞著數(shù)學(xué)思維的發(fā)生、發(fā)展、進(jìn)步和理解： 對(duì)不同類(lèi)型的知識(shí)內(nèi)容，通過(guò)綜合考慮數(shù)學(xué)邏輯體系和學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)引起學(xué)生數(shù)學(xué)思維的自然產(chǎn)生；對(duì)不同類(lèi)型的學(xué)生，通過(guò)兼?zhèn)鋫€(gè)性化指導(dǎo)和統(tǒng)一化行動(dòng)保證數(shù)學(xué)思維的充分生長(zhǎng)；對(duì)不同類(lèi)型的問(wèn)題，通過(guò)注重思想性和啟發(fā)性促成數(shù)學(xué)思維的有效推進(jìn)；對(duì)不同類(lèi)型的學(xué)習(xí)，通過(guò)加強(qiáng)反思意識(shí)和反思方法確保數(shù)學(xué)思維的全面貫通。由于具備這些特點(diǎn)的教學(xué)已獲高認(rèn)可度，或可推理，這種為思維而教的教學(xué)應(yīng)被認(rèn)為是成就高質(zhì)量數(shù)學(xué)課堂的關(guān)鍵。也就是,當(dāng)討論如何建設(shè)優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)課堂時(shí)，利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的成長(zhǎng)應(yīng)居于核心。

4. 在有效教學(xué)的策略研究方面

考慮到艾莉森的教學(xué)質(zhì)量以及獲得的榮譽(yù)和口碑，毫無(wú)疑問(wèn)，她的教學(xué)是出色的和有效的，她的教學(xué)特點(diǎn)一定程度上為數(shù)學(xué)有效教學(xué)的具體實(shí)現(xiàn)指示了一些可操作的策略。

在四個(gè)內(nèi)容維度中，她既平衡地關(guān)注著學(xué)生數(shù)學(xué)概念和技能的獲得以及問(wèn)題解決能力的養(yǎng)成，又特別強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)發(fā)展學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的反思能力。從她的典型表現(xiàn)知，對(duì)前一方面，實(shí)現(xiàn)有效平衡的策略通常有四： 一是把問(wèn)題解決作為引入概念和技能的素材，如概念理解時(shí)讓學(xué)生體驗(yàn)問(wèn)題推進(jìn)的過(guò)程；二是把問(wèn)題解決作為復(fù)習(xí)概念和技能的載體，可以在復(fù)習(xí)時(shí)從問(wèn)題解決開(kāi)始；三是把概念作為問(wèn)題解決的思考源頭，讓之成為引導(dǎo)啟發(fā)的切入點(diǎn)；四是把技能作為問(wèn)題解決的工具，使用它們?nèi)ヌ骄繂?wèn)題解決的方法。對(duì)后一方面，艾莉森的教學(xué)表明，展開(kāi)關(guān)于反思能力的教學(xué)至關(guān)重要，這類(lèi)教學(xué)的最終目標(biāo)是讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維，通過(guò)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)理解自己的學(xué)習(xí)是有效方法，可分為理解學(xué)習(xí)時(shí)的思維過(guò)程與思維結(jié)果兩類(lèi)，著力點(diǎn)是使學(xué)生理解自己正在做什么、為什么這樣做和還能做什么，具體策略有逐層反思、同伴互評(píng)、回看草稿、交流思路、自我剖析、理解他人等。

“紙上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行”，這句詩(shī)對(duì)本研究有四重寓意： 在研究對(duì)象方面，艾莉森用親身經(jīng)歷展示了她長(zhǎng)年躬行“教師成長(zhǎng)=經(jīng)驗(yàn)+反思”的成果；在研究?jī)?nèi)容方面，研究者力圖通過(guò)切己體察的躬行展現(xiàn)美國(guó)專(zhuān)家教師實(shí)施優(yōu)質(zhì)教學(xué)的日常模樣；在研究方法方面，在躬行田野研究的同時(shí)與文獻(xiàn)、實(shí)踐者“視域融合”不失為研究教育實(shí)踐的一種方式；在研究結(jié)果方面，本研究的結(jié)果尚需進(jìn)一步躬行，希冀理論研究者將之作為可利用的支持性材料、一線教師則根據(jù)需求取長(zhǎng)補(bǔ)短加以實(shí)踐。