評時鐘佯謬的現(xiàn)代解

孟廣達(dá)，霍瑞云，王潤華

(1.鄭州大學(xué)，河南 鄭州 450001；2.河南財政金融學(xué)院，河南 鄭州 450046)

0 引言

不知從什么時候起，人們使用“狹義相對論”這個術(shù)語時，其含義是有差別的。大多數(shù)人還是僅限于慣性參照系；有些人，特別是一些造詣較深的學(xué)者，把加速參照系也包括在內(nèi)了。這個差別并不影響對時鐘佯謬的討論，但必須明確交代，不然會帶來毫無價值的爭議。我們所說的狹義相對論只限于慣性系。本文中如果不作說明，時鐘A總是指相對慣性系不含加速階段的。

1 問題

20世紀(jì)60年代，對時鐘佯謬的討論相當(dāng)熱烈，不少人想在狹義相對論范圍內(nèi)把該佯謬解決，這樣的探討也是有益的，可以加深對相對論中諸多概念的理解。但是，導(dǎo)致出現(xiàn)時鐘佯謬的根源是時鐘B經(jīng)歷了加速階段。如果不針對根源而只關(guān)心它導(dǎo)致的結(jié)果，就不可能順理成章地解決問題，有關(guān)這方面的討論我們已經(jīng)闡明過看法[1-2]，本文不再涉及。

長期以來，大多數(shù)人容易接受的時鐘佯謬的解是：在與時鐘B相關(guān)聯(lián)的參照系中岀現(xiàn)了引力場。據(jù)說這種解是愛因斯坦提出的。初看起來很難理解，這么簡單的一句話，既無運(yùn)算，又無公式，也無結(jié)果，怎么能是問題的解答。冷靜一想就恍然大悟了：給出(或求出)時鐘B的運(yùn)動狀況，找出與此相應(yīng)的坐標(biāo)變換，從而得出時鐘B參照系中的度規(guī)，代入公式問題就解決了[3]。時鐘B的運(yùn)動狀態(tài)五花八門，每種狀態(tài)都有與它相應(yīng)的坐標(biāo)變換，不同的坐標(biāo)變換不可能用幾個式子表達(dá)岀來。所以時鐘佯謬的“通解”就只有這么一句話。對它可作解釋，無須增添。

如果深信這個“通解”正確，那就沒有必要選擇時鐘B的某種運(yùn)動狀態(tài)進(jìn)行詳細(xì)的完整運(yùn)算。這種運(yùn)算沒有什么價值,充其量也不過可以作為一道習(xí)題讓學(xué)生做。極可能就是由于這個原因，愛因斯坦本人沒有給出一個實(shí)例來。

對時鐘佯謬感興趣的人對此“通解”并不滿足。有相當(dāng)多的人，總想找個實(shí)例。出人意料的是，直到今天，一個多世紀(jì)過去了，能給出結(jié)果的人屈指可數(shù)。即使非常著名的學(xué)者也只是給出了近似解[4]，近似解價值不大。據(jù)我們所知，只有M?LLER C對一個實(shí)例作出了完整的解答[3]。

為何找一個實(shí)例這么困難？因為遇到的一些問題難以解決：例如什么是勻加速參照系，如何找出加速參照系與慣性系之間的變換關(guān)系。加速參照系中的引力場為何會在全區(qū)域同時發(fā)生突變而無傳播過程……現(xiàn)在看來，愛因斯坦之所以沒有給出一個實(shí)例，除了上面已經(jīng)提到的可能之外，也很有可能他本人也難找到一個。試想，時鐘佯謬關(guān)系到相對論的自洽性，受到廣泛的關(guān)注[4]，難道他不想給出一個盡量圓滿的解答？

MΦLLER C給出的解可能是最好的一個實(shí)例，但其中也存在問題有待商榷，只是不容易澄清，很難取得共同的看法。利用他的解法，我們推出了時鐘佯謬的解中普遍存在的一個離奇結(jié)果：時鐘A的讀數(shù)增量在整個過程的某一階段是負(fù)值，把它通俗化就是“返老還童”[2]，如何處理這個離奇結(jié)果有待進(jìn)一步討論。

2 時鐘佯謬的現(xiàn)代解

為了表述方便，下文中把上述的傳統(tǒng)的愛因斯坦解簡稱為“愛氏解”。

所謂時鐘佯謬的現(xiàn)代解，按照文獻(xiàn)[5]中的介紹，只有一句話:“時鐘記錄的是自己的世界線長度?！蔽覀儾恢肋@個解是哪位學(xué)者在什么地方首先提岀的，也沒見到過該解的原始表述。我們對它的了解大都來自文獻(xiàn)[5]。我們覺得該文寫得非常出色，讀后受益匪淺，可以信賴。如果有引用不妥當(dāng)，甚至有理解錯誤之處，敬請指正。

對于接觸過相對論，但了解并不多卻對時鐘佯謬很感興趣的人，見到現(xiàn)代解會覺得太玄了，所以現(xiàn)代解引不起廣泛關(guān)注；另一方面，不少相對論方面的專家對它推崇備至，甚至有些學(xué)者感概道：“相對論時鐘是類時世界線上的里程表，假如人們對于這一事實(shí)有過更多的關(guān)注,那么在所謂時鐘佯謬上付出過的很多努力就可以省略掉了?！盵5]如果現(xiàn)代解果真是時鐘佯謬的最精辟完美的解，那么愛因斯坦應(yīng)該太遺憾了。完成了狹義相對論，獨(dú)自一人創(chuàng)立了引力理論，可惜沒有能夠完滿解決質(zhì)疑狹義相對論自洽性的時鐘佯謬。難道他不知道時鐘記錄的是自己的世界線長度，不知道長度是坐標(biāo)變換下的不變量，不知道時鐘A的世界線長度比時鐘B的長嗎?在這些方面誰能比他更熟悉？對于幾何學(xué)，如果他達(dá)不到登峰造極爐火純青的地步，怎么可能創(chuàng)立他的引力埋論。我們認(rèn)為不論從哪方面講，在長達(dá)數(shù)十年的時間內(nèi)他不會想不到這樣的解。那么他為什么沒給出這樣的解?難道不值得深思嗎？與愛因斯坦解相比現(xiàn)代解還是有些遜色，特別是負(fù)面影響嚴(yán)重。

下面我們用甲、乙兩方對話的形式把這兩種解作一比較。

乙：你為何不支持愛氏解而支持現(xiàn)代解？

甲：首先，現(xiàn)代解簡單明了，短短一句話就可以表達(dá)清楚：時鐘記錄的是自己的世界線長度。

乙：是的，一句話內(nèi)行就明白了。但是愛氏解也不需要兩句：引力場的影響。用字更少而且容易被較多的人理解。

甲：這一句話怎么能是一個解，它沒給出結(jié)果。

乙：現(xiàn)代解的那句話也沒有給出結(jié)果。

甲：結(jié)果非常明顯，不必交代。只要在時鐘A參照系中畫出兩個時鐘的世界線就一目了然了。

乙：愛氏解也是如此。只要在時鐘A參照系中算岀結(jié)果即可，而且計算簡單，甚至不加思考就可以寫出結(jié)果。

甲：你沒有用到引力場的影響。

乙：同樣，你沒有在時鐘B參照系中畫圖。

甲：不必在時鐘B參照系中畫圖。世界線長度是坐標(biāo)變換下的不變量，再畫圖仍然是時鐘A的長，何必徒勞。

乙：同樣，我也不必在時鐘B參照系中計算，代入公式即得結(jié)果,何必徒勞。

甲：你能確保所得結(jié)果與時鐘A參照系中的結(jié)果相同？

乙：你能確保在時鐘B參照系中畫出的兩條世界線的長度之差一定與時鐘A參照系中的相同？

甲：可以確保。世界線長度是不變量。

乙：同樣，我也可以確保。所用公式正確，怎么不能確保！

甲：用公式計算太難，遇到的問題幾乎束手無策，以致于直到現(xiàn)在也沒能作出幾個解。

乙：難道在時鐘B參照系中畫出世界線就容易嗎？我們還沒有見到過這樣的圖。試問：得出時鐘B參照系中的度規(guī)容易？不知道度規(guī)如何畫圖？從畫出的圖判斷世界線的長短容易？

讓我們選用最簡單的實(shí)例試想一下吧。

T=0時，時鐘B從原點(diǎn)出發(fā)沿x軸正方向以速度v勻速運(yùn)動(圖1)。t=T時瞬間反向，沿原路返回到原點(diǎn)。對于這個過程，在時鐘A參照系中畫出的圖與文獻(xiàn)[5]中的圖相似:時鐘A的世界線是一條沿時間軸的直線；時鐘B的世界線由兩條相交的直線構(gòu)成。兩條世界線的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合(見圖1)。在時鐘B參照系中兩個時鐘的世界線是什么樣呢？除了一段無限短的時間外，時鐘B參照系也是慣性系，在此時空區(qū)域內(nèi)時鐘A以速度v勻速運(yùn)動瞬間反向后沿原路返回到原點(diǎn)。因此，在時鐘B參照系中畫出的兩個時鐘的世界線與在時鐘A參照系中畫出的非常相似(見圖2)。差別是：沿時間軸的直線是時鐘B的世界線；不相交的兩條直線是時鐘A的世界線上的兩段,這兩條直線的端點(diǎn)無限接近,間隙處為時間無限短的非慣性時空區(qū)域，此處的世界線我們畫不出，所以是空白。

圖1 正向

圖2 反向

根據(jù)所畫的世界線可以推出的結(jié)論是:在慣性區(qū)域內(nèi)，時鐘B的世界線比時鐘A的長,因此，如果能得到時鐘A的世界線的總長度比時鐘B的長。那么在無限小的非慣性時空區(qū)域內(nèi)，時鐘A的這一段世界線必需比時鐘B的長，而且二者之比為無限大。試問有可能畫出時鐘A的這一段世界線嗎？你能補(bǔ)上嗎？

甲：不必畫，想象即可。因為世界線的總長度是不變量，所以在這個無限小的時空區(qū)域內(nèi)，時鐘A的一定比時鐘B的長。

乙：你的回答不合邏輯。討論實(shí)例的目的就是要用實(shí)例證實(shí)從圖上的確可以得出兩個時鐘的世界線長度都是不變的。怎么能用需要證明的對象作為論證的依據(jù)。其實(shí)，不是不必畫，可能是你根本無法畫出來，就是憑想象我們也想象不出。

這樣看來，愛氏解就勝過你所支持的現(xiàn)代解。愛氏解不僅可以算出這段世界線的長度，而且可以給岀這個令人驚奇的結(jié)果的根源——引力場的影響[3]。

人們對傳統(tǒng)的愛氏解不滿足，所以總想用實(shí)例證實(shí)。同樣，人們對你稱贊的現(xiàn)代解也是不會滿足的，必需用實(shí)例證實(shí)。如果一個實(shí)例沒有，怎能令人置信。上述實(shí)例是極限下的情況，要求在無限小的時空區(qū)域畫圖可能強(qiáng)人所難了，改換成一個加速區(qū)域為有限大小的過程吧。我們建議采用文獻(xiàn)[3]討論時鐘佯謬時選用的那個實(shí)例。如果把文獻(xiàn)[2]中涉及時鐘讀數(shù)增量為負(fù)值的過程也包含進(jìn)去就更好了，顯示一下幾何圖中如何表示時鐘讀數(shù)的負(fù)增量。

從以上的對話可見，現(xiàn)代解絕對不可能是時鐘佯謬的最精辟完美的最終解。它與愛氏解各有所長，相比之下還是不如愛氏解。對于具體的實(shí)例愛氏解的確遇到了很大困難，以至直到現(xiàn)在，據(jù)我們所知，所有已經(jīng)討論過的實(shí)例沒有一個不存在需要商榷、有待進(jìn)一步討論的地方。在相當(dāng)長的時間內(nèi)人們熱衷于在狹義相對論范圍內(nèi)解決時鐘佯謬。之所以如此，一個主要的原因就是愛氏解遇到的困難太大，幾乎束手無策。事實(shí)上遇到困難并不是壞事而是好事，對于深入理解相對論十分有益。現(xiàn)代解用幾何語言回避困難，看似十分巧妙、精彩地解決了問題，事實(shí)上不僅沒有把問題解決，而且還有很不好的影響。試問，遇到困難不認(rèn)真思考產(chǎn)生困難的原因，不尋找克服困難的辦法而是設(shè)法回避困難，難道不妨礙對相對論的深入理解嗎？想出的回避辦法越是看似十分巧妙、十分精彩、十分高深，造成的負(fù)面影響就越嚴(yán)重。我們之所以對現(xiàn)代解發(fā)表點(diǎn)看法就是這個緣故。

現(xiàn)代解流行之前有一種解與它很相似，也許它就是由這種解演變而來的。簡單講，這種解也可以用一句話表述：固有時是不變量。對于這種解我們曾作過評論[2]。這里順便再強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，固有時是不變量不能確?？梢越鉀Q時鐘佯謬，例如討論過程中會出現(xiàn)時鐘讀數(shù)的負(fù)增量這一離奇的結(jié)果，就是一個很難處理的問題。

引力理論方面著名的物理學(xué)家FOCK V的時鐘佯謬解，也與現(xiàn)代解很相似[6]。他做了一個實(shí)例，可惜是個近似解，而且只做了一半，人們最關(guān)心的另一半他略去了，很讓人失望。他不認(rèn)為討論時鐘佯謬有很大價值。他之所以討論它,是由于它受到了非常廣泛的關(guān)注而且有些解是不能令人滿意的,然而十分遺憾的是,他的解基本上沒有引起人們的興趣。