優(yōu)化概念教學(xué) 提升數(shù)學(xué)能力
——小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)探討

福建省莆田市秀嶼區(qū)埭頭第二中心小學(xué) 黃永福

數(shù)學(xué)概念是反映現(xiàn)實(shí)世界中空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性的思維形式，其主要以數(shù)學(xué)定義、公式、法治、定理等形式來(lái)表現(xiàn)，貫穿于小學(xué)數(shù)學(xué)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)和教學(xué)全過(guò)程。數(shù)學(xué)教學(xué)都以數(shù)學(xué)概念為起點(diǎn)，是對(duì)數(shù)學(xué)概念的拓展和遷移運(yùn)用，離開(kāi)數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)教學(xué)也就成了無(wú)源之水和無(wú)本之木。但是現(xiàn)實(shí)的教學(xué)中，數(shù)學(xué)概念教學(xué)一直被忽略，教學(xué)方式也存在一定的問(wèn)題，主要表現(xiàn)在重記憶、輕理解，重結(jié)論、輕過(guò)程，更多的是讓學(xué)生死記硬背各個(gè)數(shù)學(xué)定義、數(shù)學(xué)公式，導(dǎo)致學(xué)生知其然而不知其所以然，偏離了深度學(xué)習(xí)的理念，也不利于學(xué)生知識(shí)的自我建構(gòu)。應(yīng)將概念教學(xué)作為數(shù)學(xué)教學(xué)的起點(diǎn)，通過(guò)概念教學(xué)，讓學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)概念、理解概念、應(yīng)用概念，從而提高學(xué)習(xí)效率，提升數(shù)學(xué)能力。

一、重視數(shù)學(xué)閱讀，理解概念內(nèi)涵

不僅語(yǔ)文學(xué)習(xí)需要閱讀，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)同樣離不開(kāi)閱讀。前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾說(shuō)：“數(shù)學(xué)教學(xué)也就是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的教學(xué)?！倍Z(yǔ)言的學(xué)習(xí)與教學(xué)建立在閱讀基礎(chǔ)之上，因而閱讀對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言極為重要。數(shù)學(xué)概念通常以高度抽象概括的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表述，要理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵，就離不開(kāi)數(shù)學(xué)閱讀。

1.咬文嚼字，抓住關(guān)鍵。

小學(xué)生尤其是中高年級(jí)的學(xué)生具備了一定的語(yǔ)言理解能力，在對(duì)復(fù)雜文字型數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，要借助閱讀理解來(lái)幫助他們理解概念的深層含義。如六年級(jí)上冊(cè)《比》這一課中“比的基本性質(zhì)”這個(gè)數(shù)學(xué)概念——“比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0 除外），比值不變”，在教學(xué)中教師先讓學(xué)生將教材中這一定義閱讀兩遍，并引導(dǎo)學(xué)生抓其中的關(guān)鍵信息：“這句話中你認(rèn)為哪些信息至為重要？請(qǐng)?jiān)囍谙嚓P(guān)字詞下畫上波浪線或者圈出來(lái)?！?/p>

有學(xué)生說(shuō)：“特別要注意‘同時(shí)’兩個(gè)字?！薄盀槭裁茨?？”教師追問(wèn)?！耙?yàn)椴皇峭瑫r(shí)乘或除的話比值是不相等的?！睂W(xué)生補(bǔ)充道。教師乘勢(shì)引導(dǎo)，讓學(xué)生舉例來(lái)說(shuō)明。

“比如3∶5，如果前項(xiàng)3 乘以2，而5不乘以2，那么就變成了6∶5 了，它的比值就發(fā)生了變化?！睂W(xué)生如此舉例，直接又恰當(dāng)，同學(xué)們紛紛表示認(rèn)同。

“那么，只適用于乘嗎？大家看看還有哪個(gè)詞語(yǔ)進(jìn)行了說(shuō)明？”教師補(bǔ)充。學(xué)生發(fā)現(xiàn)了“乘或除以”這個(gè)詞，認(rèn)識(shí)到不僅可以乘，還可以除。

又有學(xué)生補(bǔ)充：“一定要乘或除以相同的數(shù)，如果不是相同的數(shù)肯定比值會(huì)發(fā)生變化?！睂W(xué)生又舉出例子：原比4∶5，如果前項(xiàng)乘以4，后項(xiàng)乘以3，則變成了16∶15，比值發(fā)生了變化。

最后還有學(xué)生說(shuō)：“‘0 除外’是一定要注意的，這很容易被我們忽視，因?yàn)橐粋€(gè)比如果乘以0 或者除以0 就變成了0，當(dāng)然比值就變化了?！?/p>

教師一一肯定了學(xué)生的細(xì)心閱讀，通過(guò)對(duì)比的基本性質(zhì)這個(gè)定義的閱讀，學(xué)生抓住了“同時(shí)乘或除以”“相同的數(shù)”以及“0 除外”三個(gè)關(guān)鍵信息，這就完整地實(shí)現(xiàn)了對(duì)比的基本性質(zhì)這一數(shù)學(xué)概念的正確認(rèn)知理解。

2.自我表達(dá)，個(gè)性理解。

數(shù)學(xué)語(yǔ)言是抽象的，數(shù)學(xué)概念中定義、定理、公式等都注重科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯與符號(hào)化，這對(duì)于以形象思維見(jiàn)長(zhǎng)的小學(xué)生而言理解起來(lái)是“不友好”的。教師可以有意識(shí)地打破概念術(shù)語(yǔ)對(duì)學(xué)生理解的思維束縛，以自己理解的個(gè)性化的語(yǔ)言來(lái)轉(zhuǎn)譯抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，通過(guò)生活數(shù)學(xué)用語(yǔ)、舉例子等學(xué)生好記、好懂的語(yǔ)言來(lái)自我定義數(shù)學(xué)概念。

如二年級(jí)下冊(cè)《圖形的運(yùn)動(dòng)（一）》涉及到軸對(duì)稱圖形以及對(duì)稱軸這兩個(gè)數(shù)學(xué)概念，如果通過(guò)定義法來(lái)表述這兩個(gè)概念，則為“如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折，兩側(cè)的圖形能夠完全重合，這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱圖形。折痕所在的這條直線叫做對(duì)稱軸?！苯處熥寣W(xué)生嘗試著用自己的話來(lái)轉(zhuǎn)述這兩個(gè)概念，學(xué)生都有了個(gè)性化的理解?！耙粋€(gè)圖形對(duì)折后能完全重合，就是軸對(duì)稱圖形，這個(gè)折線就是對(duì)稱軸?！薄耙粋€(gè)圖形可以分成相等的兩半就是軸對(duì)稱圖形，將它平分的線就是對(duì)稱軸?！薄@都是正確的理解。又如《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)》中“幾分之一”和“幾分之幾”這兩個(gè)表述復(fù)雜且容易混淆的數(shù)學(xué)概念，可以讓學(xué)生以直白的距離的方式來(lái)表達(dá)自己的理解，如“一個(gè)蛋糕平均分為3 份，其中的一份就是蛋糕的1/3。”“一只蘋果平均分成4 份，其中的2 份就是整個(gè)蘋果的2/4?！币跃唧w的例子來(lái)逆向表達(dá)數(shù)學(xué)概念，形象又直觀，體現(xiàn)了學(xué)生的個(gè)性化數(shù)學(xué)思維成果。

二、開(kāi)展數(shù)學(xué)操作，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論強(qiáng)調(diào)，學(xué)習(xí)是學(xué)生自主知識(shí)經(jīng)驗(yàn)積累的過(guò)程，要讓學(xué)生親歷知識(shí)，加深印象，增進(jìn)理解，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的深層次建構(gòu)。以數(shù)學(xué)操作為載體的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，給了學(xué)生探究數(shù)學(xué)的橋梁和載體，在“做”數(shù)學(xué)的過(guò)程中積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的記憶和理解，做到知其然并知其所以然。驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)和探究性實(shí)驗(yàn)在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中發(fā)揮著重要作用：

1.數(shù)學(xué)操作驗(yàn)證數(shù)學(xué)概念，加深印象。

驗(yàn)證性的數(shù)學(xué)操作實(shí)驗(yàn)，其價(jià)值在于加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的印象，促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)知和記憶，其在數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率三大領(lǐng)域教學(xué)中都有著很強(qiáng)的兼容性。比如五年級(jí)下冊(cè)《分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)》這一單元第三課《分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)》的學(xué)習(xí)涉及“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”這一概念教學(xué)。關(guān)于“分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或者除以一個(gè)相同的數(shù)（0 除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。這叫做分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”這一概念的表述，教師可以通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證：比較1/2、2/4、4/8、8/16 四個(gè)分?jǐn)?shù)的大小。第一步，用圓規(guī)繪制4 個(gè)半徑相等的圓（為方便比較，半徑統(tǒng)一設(shè)定為6cm）；第二步，分別將4 個(gè)圓平均分成2、4、8、16 等份；第三步：以填色的方式分別表示4 個(gè)圓的1/2、2/4、4/8、8/16 ；第四步：觀察所涂區(qū)域的大小，并得出結(jié)論。學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)相同大小的圓中表示1/2、2/4、4/8、8/16 ，其大小都是一樣（圓面積的一半）。從而認(rèn)識(shí)到：1/2=2/4=4/8=8/16，反過(guò)來(lái)也成立，于是就驗(yàn)證了“分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以相同發(fā)數(shù)（0 除外），分?jǐn)?shù)的大小不變”這個(gè)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)的數(shù)學(xué)概念。同樣，在其他的定義、定理、公式的數(shù)學(xué)概念中，也可以通過(guò)驗(yàn)證試驗(yàn)來(lái)加深學(xué)生的印象，幫助學(xué)生積累更豐富的數(shù)學(xué)感性經(jīng)驗(yàn)。

2.數(shù)學(xué)操作探究數(shù)學(xué)概念，強(qiáng)化理解。

探究性學(xué)習(xí)體現(xiàn)了學(xué)生的學(xué)習(xí)主體性，是學(xué)生必備的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和品質(zhì)。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，可以通過(guò)學(xué)生操作的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來(lái)探究數(shù)學(xué)概念，調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維和邏輯，師生共同發(fā)現(xiàn)和歸納數(shù)學(xué)概念，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的深層理解。如六年級(jí)下冊(cè)《圓柱》這一單元的教學(xué)涉及“圓柱的表面積”的學(xué)習(xí)內(nèi)容，圓柱的表面積的計(jì)算公式是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念，借助自主動(dòng)手操作的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和推理，總結(jié)出圓柱的表面積計(jì)算公式，這樣比直接告訴學(xué)生公式讓其死記硬背效果無(wú)疑更好。課堂之初，教師給學(xué)生布置“剪一剪”的數(shù)學(xué)操作任務(wù)：第一環(huán)節(jié)。第一步：裁剪一個(gè)長(zhǎng)方形；第二步：將長(zhǎng)方形卷起來(lái)并用透明膠黏合，做成一個(gè)圓柱的側(cè)面；第三步：測(cè)量圓柱上下底的直徑，并繪制兩個(gè)直徑相同的圓，將其裁剪下來(lái)做圓柱的上下底面。通過(guò)三個(gè)步驟制作出一個(gè)圓柱體。第二環(huán)節(jié)。引導(dǎo)學(xué)生觀察與思考：圓柱的表面積由哪兩部分組成？（側(cè)面與底面）。第三環(huán)節(jié)：側(cè)面的表面積和底面積的計(jì)算。側(cè)面積，其是一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的是底面周長(zhǎng)，寬對(duì)應(yīng)的是高，因而側(cè)面積等于底面周長(zhǎng)乘以高，即S側(cè)面=Ch；底面積，由兩個(gè)圓的面積組成，即2πr2，因此學(xué)生在裁剪圓柱的探究實(shí)驗(yàn)中總結(jié)出S圓柱=Ch+2πr2。經(jīng)過(guò)剪一剪、算一算，親歷圓柱表面積計(jì)算公式這一數(shù)學(xué)概念的推理過(guò)程，強(qiáng)化了對(duì)該數(shù)學(xué)概念的理解。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)操作方法在幾何知識(shí)的公式類數(shù)學(xué)概念的理解上有著很高的適用性。

三、引導(dǎo)實(shí)踐應(yīng)用，增強(qiáng)概念理解

數(shù)學(xué)概念源于數(shù)學(xué)問(wèn)題，也要回歸數(shù)學(xué)應(yīng)用。將數(shù)學(xué)概念與現(xiàn)實(shí)生活數(shù)學(xué)問(wèn)題的應(yīng)用結(jié)合起來(lái)，以數(shù)學(xué)概念來(lái)解釋生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，解決生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，提高學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用的意識(shí)和能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐素養(yǎng)。

1.借助數(shù)學(xué)概念解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

數(shù)學(xué)概念在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中發(fā)揮著重要的作用，在概念實(shí)踐應(yīng)用中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與解決問(wèn)題能力得到有效提升。如五年級(jí)下冊(cè)《因數(shù)與倍數(shù)》教學(xué)前，教師組織學(xué)生進(jìn)行了一次“逢3 蹲”的游戲，規(guī)則是：學(xué)生按照座次從1 開(kāi)始輪流報(bào)數(shù)并拍手掌，每逢數(shù)字3 以及3 的倍數(shù)的數(shù)不說(shuō)出來(lái)，也不拍手掌，以下蹲身體代替。一開(kāi)始，學(xué)生進(jìn)行得比較順利，隨著數(shù)字進(jìn)入20 以上，學(xué)生運(yùn)算速度明顯慢了下來(lái)，數(shù)字越大，學(xué)生越慢，出錯(cuò)越多，最終游戲定格在了數(shù)字75。游戲后，教師教學(xué)“3 的倍數(shù)的特征”講授重要的數(shù)學(xué)概念“一個(gè)數(shù)各位上的數(shù)的和是3 的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3 的倍數(shù)”，這對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算尤其是口算練習(xí)上有著很強(qiáng)的實(shí)用性。然后教師再一次開(kāi)展“逢3 蹲”的游戲，發(fā)現(xiàn)了3 的倍數(shù)的基本規(guī)律，學(xué)生判斷的速度和準(zhǔn)確度得到了顯著提升，最終報(bào)數(shù)來(lái)到了三位數(shù)147?？梢?jiàn)，運(yùn)用數(shù)學(xué)概念來(lái)解決現(xiàn)實(shí)中的數(shù)學(xué)運(yùn)算問(wèn)題，能有效提高學(xué)生的運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度。教師可以圍繞數(shù)學(xué)概念創(chuàng)設(shè)不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地運(yùn)用數(shù)學(xué)概念來(lái)解決現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

2.通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)踐抽象數(shù)學(xué)概念。

數(shù)學(xué)規(guī)律的總結(jié)概括對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維的發(fā)展大有裨益，要樹(shù)立學(xué)生的模型意識(shí)，從復(fù)雜的數(shù)學(xué)現(xiàn)象和問(wèn)題中抽象出普遍性的模型和概念，以公式化、符號(hào)化語(yǔ)言來(lái)闡述復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從數(shù)學(xué)內(nèi)涵與本質(zhì)的角度促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。實(shí)踐中的數(shù)學(xué)問(wèn)題紛繁復(fù)雜，更需要化繁為簡(jiǎn)，在數(shù)學(xué)實(shí)踐中抽象出數(shù)學(xué)概念。以五年級(jí)上冊(cè)“植樹(shù)問(wèn)題”為例，教材雖然以例題的方式呈現(xiàn)了幾種不同的植樹(shù)模型，但是沒(méi)有概括不同情境下的植樹(shù)長(zhǎng)度、植樹(shù)間距與植樹(shù)棵數(shù)的關(guān)系，這無(wú)疑容易導(dǎo)致學(xué)生思維的混淆和錯(cuò)亂。教師可以通過(guò)學(xué)生親身體驗(yàn)的數(shù)學(xué)綜合性學(xué)習(xí)活動(dòng)來(lái)抽象出不同情境下的植樹(shù)問(wèn)題數(shù)學(xué)概念。為了簡(jiǎn)化過(guò)程，教師可以讓學(xué)生在一段長(zhǎng)度為10 米的沙土地進(jìn)行插棍（代替植樹(shù)）實(shí)驗(yàn)，設(shè)定植樹(shù)間距為2米，探究四種情形下植樹(shù)棵數(shù)（n）與植樹(shù)長(zhǎng)度（L）與植樹(shù)間距（d）之間的數(shù)量關(guān)系。①兩端都植樹(shù)時(shí)，植樹(shù)棵數(shù)n=L÷d+1；②一端植樹(shù)，另一端不植樹(shù)時(shí)（含環(huán)形封閉線路），n=L÷d；③兩端都不植樹(shù)時(shí)，n=L÷d- 1。通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，在不同植樹(shù)場(chǎng)景中抽象出三種不同植樹(shù)模型所對(duì)應(yīng)的計(jì)算公式。學(xué)生在解決“植樹(shù)問(wèn)題”相關(guān)問(wèn)題時(shí)，就能夠代入具體植樹(shù)模型，運(yùn)用公式來(lái)進(jìn)行輕松解決。在數(shù)學(xué)實(shí)踐中抽象出實(shí)用的數(shù)學(xué)概念，幫助學(xué)生輕松解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，同時(shí)也發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維。

結(jié)束語(yǔ)

一切數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)都起于數(shù)學(xué)概念，是對(duì)概念的拓展與深化，理解了數(shù)學(xué)概念，對(duì)其相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)也就有了基礎(chǔ)。因而數(shù)學(xué)概念的教學(xué)應(yīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師不應(yīng)忽視概念學(xué)習(xí)，同時(shí)也要注重避免機(jī)械的記憶，要掌握概念教學(xué)的基本規(guī)律與有效方法，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)閱讀中理解概念內(nèi)涵，在數(shù)學(xué)操作中認(rèn)知概念形成過(guò)程，在實(shí)踐與應(yīng)用中加深對(duì)概念的理解，促進(jìn)概念對(duì)學(xué)習(xí)實(shí)踐的指導(dǎo)應(yīng)用，在對(duì)概念的深度學(xué)習(xí)、深度理解、深度應(yīng)用過(guò)程中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展和數(shù)學(xué)能力的提升，最終提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。