研究數(shù)學方法，提高中學數(shù)學教師業(yè)務(wù)水平

江蘇省新沂市實驗學校 孫麗平

中學數(shù)學教師的職責當然是教學，但為了搞好教學，就要適當?shù)匮芯繑?shù)學方法，提高自己的業(yè)務(wù)水平?？梢哉f，研究、掌握并能夠靈活地運用數(shù)學方法，是提高中學數(shù)學教師業(yè)務(wù)水平的關(guān)鍵。本文試對中學數(shù)學方法進行較為粗略的研究與探討。

一、中學數(shù)學方法的含義、研究途徑和研究意義

中學數(shù)學教師要提高自己的業(yè)務(wù)水平，就要研究、掌握中學數(shù)學方法，并靈活運用于自己的教學實踐中。對此，首先要了解中學數(shù)學方法的含義、研究的途徑和研究的意義。

1.中學數(shù)學方法的含義。

“方法”是解決具體問題而采用的方式、途經(jīng)或手段，數(shù)學方法即是解決數(shù)學具體問題而采用的方式、途經(jīng)或手段。也就是說，數(shù)學方法就是指數(shù)學的研究方法（包括數(shù)學思想），具體地說，就是根據(jù)數(shù)學學科的特點，運用概念、方法、技巧及數(shù)量關(guān)系，導出刻畫數(shù)學學科的量的規(guī)律結(jié)果，并且不斷地總結(jié)出種種在量之間進行推導和運算的具體方法。

需要強調(diào)的是，我們這里所說的中學數(shù)學方法，不是指通常的計算方法或工程技術(shù)中的數(shù)學方法，它基本上是屬于科學數(shù)學方法論中的一些具體的研究方法，如反證法、同一法、待定系數(shù)法等。但就其本身而言，它既具有大量的具體方法，又具有對其他科學研究也有指導與借鑒意義的方法，如抽象分析法、模型法、公理化方法等；而且它還必須以唯物辯證法為指導，即具有哲學方法，如從實際出發(fā)、進行調(diào)查研究的方法，分析矛盾的方法等。

2.研究中學數(shù)學方法的途徑。

中學數(shù)學方法是人類在數(shù)學發(fā)展中積累起來的寶貴精神財富，有著廣闊的研究領(lǐng)域和豐富的研究內(nèi)容。怎樣才能把前人遺留下來的數(shù)學研究方法進行全面的總結(jié)與概括，這是一項艱巨的工作。要研究中學數(shù)學方法，需要注意以下途徑：（1）要研究中學數(shù)學理論。中學數(shù)學教師要有堅實的數(shù)學理論基礎(chǔ)，提高自己的數(shù)學修養(yǎng)，為研究數(shù)學方法打下基礎(chǔ)。有了這個基礎(chǔ)之后，要提高自己的解題能力，思考、感悟能力，總結(jié)、歸納能力。（2）要研究中學數(shù)學史著作。中學數(shù)學教師要閱讀一定量的數(shù)學史著作，因為數(shù)學史著作中蘊含了豐富的數(shù)學研究成果，也記載了數(shù)學家們進行研究時的思維活動，從中可以提煉出有效的研究方法。（3）要研究中學數(shù)學中的唯物辯證法。中學數(shù)學教師要掌握唯物辯證法的研究方法。因為數(shù)學是從實踐中來的，又要指導實踐。因此實踐是第一性的，方法是第二性的。在數(shù)學的產(chǎn)生與發(fā)展中充滿了唯物辯證法，研究數(shù)學方法必須運用唯物辯證法就顯而易見了。

總之，中學數(shù)學教師研究數(shù)學方法必須有良好的數(shù)學修養(yǎng)，堅實的數(shù)學理論基礎(chǔ)，并以唯物辯證法為指導，密切聯(lián)系數(shù)學發(fā)展史，尤其是數(shù)學思維發(fā)展史，剖析數(shù)學發(fā)現(xiàn)的重大成果，從中概括出切實可行的研究方法，這就是中學數(shù)學教師研究數(shù)學方法的基本途徑。

3.研究中學數(shù)學方法的意義。

中學數(shù)學教師不研究、掌握數(shù)學方法雖然也能教學，但教學是盲目的、低效的，這樣的教師是典型的“教書匠”。中學數(shù)學教師如果研究并掌握了數(shù)學方法，教學就能夠高屋建瓴，駕輕就熟，提高教學效率；這樣的教師，能夠慢慢地成長為專家型、學者型的教師。具體地說，研究、掌握并靈活地運用中學數(shù)學方法有如下一些意義：（1）有利于中學數(shù)學教師準確把握《義務(wù)教育數(shù)學課程標準》，加深對中學數(shù)學教材的理解，提高自己的業(yè)務(wù)素質(zhì)與業(yè)務(wù)能力，為勝任中學數(shù)學教學創(chuàng)造條件。（2）整個中學數(shù)學教材內(nèi)容，充滿了數(shù)學方法學習與應用。因此，研究、掌握并靈活地運用中學數(shù)學方法，在教學中能夠發(fā)揮事半功倍、舉一反三的作用，能夠有效地提高數(shù)學教學效率；能夠提高中學數(shù)學教師的數(shù)學研究能力，為數(shù)學理論的發(fā)展及其應用研究作出貢獻。（3）能夠豐富馬克思主義哲學中的辯證法，一是因為數(shù)學中本身就充滿了辯證法，二是數(shù)學思維能夠推動辯證法的發(fā)展。

中學數(shù)學方法包括一般的研究方法和特殊的研究方法，一般的研究方法是從特殊研究方法中概括和發(fā)展出來的，是更具有普遍意義的方法。

二、中學數(shù)學的一般研究方法

作為數(shù)學學科研究的一般方法，雖然可以細分為很多具體的方法，但一般來說把它分為化歸方法、模型方法、結(jié)構(gòu)主義方法等。

1.化歸方法。

化歸方法是數(shù)學中非常重要的方法，運用極為廣泛，如因果觀點是通過分析、綜合來實現(xiàn)命題之間的等價或非等價轉(zhuǎn)化，遞推關(guān)系是通過遞推關(guān)系達到特殊向一般的轉(zhuǎn)化，數(shù)與形之間、具體與抽象之間也是通過化歸來實現(xiàn)轉(zhuǎn)化。

化歸方法也是中學數(shù)學中的重要方法，如把高次方程化為低次方程，把無理方程化為有理方程，把乘除法化為加減法，把立體幾何問題化為平面幾何問題，把幾何問題化為代數(shù)問題，把無窮化為有窮，把連續(xù)化為離散等，這些都是化歸方法在中學數(shù)學中的具體運用。

化歸方法的核心是“等價變形”，等價變形往往可以通過對有關(guān)問題的必要和充分條件的邏輯演繹和計算來實現(xiàn)，而問題變換則要借助于合適的“映射”來完成。在同構(gòu)的基礎(chǔ)上，建立的關(guān)系、映射、反演方法，簡稱RMI（三個詞語的英文首字母）方法，就是一種具有更普遍意義的映射方法。從原則上看，RMI 方法屬于一般化歸原則的概念范疇，但它是后者在某一方面的深化和具體化。由于數(shù)學的發(fā)展，人們已經(jīng)具備了集合論的概念，并且在各個數(shù)學分支中大量接觸到各種映射和變換等概念，這就使得RMI 方法原則有可能從一般的化歸原則中脫穎而出，成為有其獨立內(nèi)容的數(shù)學方法論原則，并且能更貼切地直接應用于數(shù)學各分支。下面幾種是在數(shù)學中有廣泛應用的RMI 數(shù)學方法：（1）換元法。如根式代換、指數(shù)代換、對數(shù)代換、三角代換、復變量代換。（2）坐標法。即有映射：點實數(shù)對(x，y)。（3）初等變換法。如對稱、平移、旋轉(zhuǎn)、壓縮等，常用于研究幾何問題。（4）復數(shù)法。即有映射：Z（x, y）Z=x+iy。

2.數(shù)學模型方法。

數(shù)學模型方法簡稱MM（英文首字母）方法，廣泛應用于自然科學和工程技術(shù)等許多領(lǐng)域。近年來，這一方法與問題解決已成為數(shù)學教學關(guān)注的熱點。

MM數(shù)學方法一類由數(shù)學中的基本概念構(gòu)造的MM，通常稱為概念型MM；一類由公式、方程、函數(shù)構(gòu)造的MM，通常稱為方法型MM，它們大多是由對象間的數(shù)量關(guān)系抽象出來的，它們可直接用于解決有關(guān)的實際問題。

如歐幾里得幾何是根據(jù)直覺空間形體關(guān)系分析的MM，這類模型稱為結(jié)構(gòu)型MM，它是以數(shù)學對象為原型，經(jīng)過多層次抽象得到的，是在已有數(shù)學知識基礎(chǔ)上抽象出來的數(shù)學分支，各自有不同的邏輯系統(tǒng)，形成了不同的數(shù)學結(jié)構(gòu)。在現(xiàn)代科技中常用的群、環(huán)、域、線性空間、拓撲空間等都屬于這類MM。

從各個不同的角度，按照不同的標準，MM常常可以分成許多類型。例如，就運算方式可分為離散（或脈沖）型MM與連續(xù)（或模擬）型MM；就模型中的變量是否確定可分為確定型MM、隨機型MM與模糊型MM，等等。然而從數(shù)學研究的基本對象數(shù)與形來分，數(shù)學模型不外分為數(shù)量關(guān)系MM，邏輯關(guān)系MM與混合關(guān)系MM三類。

構(gòu)造MM的基本方法是數(shù)學抽象法，這種方法是對實際問題進行抽象概括，同時抓住問題實質(zhì)，作具體分析的一種方法。如果現(xiàn)有的數(shù)學工具不夠用，可以根據(jù)實際情形，創(chuàng)造出新的數(shù)學概念和方法去表現(xiàn)MM。在中學數(shù)學教學中，要加強建模教學。

3.結(jié)構(gòu)主義方法。

結(jié)構(gòu)主義方法在教材處理上強調(diào)趣味性，強調(diào)數(shù)學直觀和實驗，糾正學生視數(shù)學為畏途的觀念，有一定的積極意義。

根據(jù)結(jié)構(gòu)主義方法，數(shù)學可以分為如下三類：（1）代數(shù)結(jié)構(gòu)。由離散性對象加運算構(gòu)成的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，稱之為代數(shù)結(jié)構(gòu)。如群、環(huán)、域、代數(shù)系統(tǒng)、范疇、線性空間等，其中群結(jié)構(gòu)是最基本的代數(shù)結(jié)構(gòu)。（2）序結(jié)構(gòu)。所謂序結(jié)構(gòu)，就是存在順序關(guān)系的那種結(jié)構(gòu)，如半序集、全序集、良序集等。（3）拓撲結(jié)構(gòu)。所謂拓撲結(jié)構(gòu)，就是能夠描述極限的那種結(jié)構(gòu)，要描述極限，就需要距離概念。因此，對于一個集合中的元素之間只要能引進“距離”（或度量）的定義，即可形成一個拓撲結(jié)構(gòu)。如拓撲空間、緊致集、完備性度量空間、賦范空間等都是拓撲結(jié)構(gòu)。這三種結(jié)構(gòu)都有各種交叉形成“分支結(jié)構(gòu)”。

需要指出的是，在中學數(shù)學里研究對象的拓撲結(jié)構(gòu)（如實數(shù)域R、三維點集空間幫及其子空間）是借助度量來給出的，這一事實掩蓋了在中學里拓撲空間的一般概念的作用。在中學數(shù)學里把空間的點與點之間距離的概念提到最重要的地位，而對拓撲的某些概念（如開集與閉集、連通性、集合的邊界等）沒有給出明確的定義。然而在中學數(shù)學里一般拓撲概念的作用是很大的：線、面、體之間的差別具有拓撲性質(zhì)，圖形的邊界概念，開的圖形和封閉圖形之間的差別，等等，同樣是屬于拓撲領(lǐng)域的。在幾何教材里研究平面的平行投影，這是關(guān)于仿射變換的，而且在一般情況下，它既不保持度量，也不保持距離的比，但是仿射變換使平面的拓撲結(jié)構(gòu)保持不變。

三、中學數(shù)學的特殊研究方法

中學數(shù)學的一般研究方法具有普遍的意義，但作為渴望不斷成長的中學數(shù)學教師來說，還需要繼續(xù)研究數(shù)學中幾種常用的特殊研究方法，如分解與組合、特殊化與一般化、遞推法。

1.分解與組合。

分解與組合是分析和認識數(shù)學問題的一個重要方法。分解的意義有：（1）通過分解弄清問題的外延。（2）把一個問題分解為幾個熟悉的小問題。（3）使數(shù)學概念由低級向高級逐步推進。分解對于實現(xiàn)化歸有著重要的作用。但是，在許多情況下，分解并不能獨立地實現(xiàn)化歸的全過程。要完全實現(xiàn)化歸過程，往往還要進行組合。這正是分解與組合作為一種數(shù)學方法在化歸過程中的活力所在。

如果問題的外延比較復雜，我們可以用二分法進行分解。所謂二分法，就是按對象有或沒有某一性質(zhì)來進行分解的方法。它可以把問題的外延連貫地分解成互相矛盾的兩個方面，直到不必再分為止。

如：已知四邊形P1P2P3P4的四個頂點位于△ABC 的邊上，求證：在這四邊形的四個頂點中總可找到這樣三個點，以它們?yōu)轫旤c的三角形面積不大于△ABC 面積的1/4。

證明：由于四邊形的四頂點位于三角形的三邊上，根據(jù)抽屜原則知至少有兩點在同一邊上，并且每條邊上至多有兩點。所以如圖所示，不妨設(shè)P2、P3在BC 邊上，并設(shè)P2在B 與P3之間。這時，P1P4的位置及四點的相互位置關(guān)系，用二分法分解即可得到答案。

分解與組合的思想方法是辯證思維方法之一，“分”“合”相輔是數(shù)學解題的重要策略之一。

2.特殊化與一般化。

特殊化具有事物的個性特征，是一種個別現(xiàn)象，有的顯得很簡單；一般化則是從特殊化中抽象出來的具有普遍意義的原理?！疤厥饣迸c“一般化”的思想方法也是辯證思維的方法之一，因為從簡單的“特殊化”能夠推導出具有規(guī)律性的“一般化”，而“一般化”又能夠反過來指導“特殊化”。

“爬坡式推理”就是一種從簡單情形看問題的方法，它以簡單情形為起點，為解一般問題奠定基礎(chǔ)。并且簡單情形就像一面鏡子，一把鑰匙，可以為我們看清問題助一臂之力，為探索問題途徑提供線索和積累經(jīng)驗，成為解決一般問題的突破口。

由“特殊”到“一般”的過程稱為一般化過程，實現(xiàn)這個過程首先需要找出待處理問題的一般原型，但找出待處理問題的一般原型，只是完成了一般化工作的主要部分，如要最終解決，我們還須接著把對一般問題的研究再回落到具體的、特殊問題上。因此，一般化總是與特殊化結(jié)合在一起去實現(xiàn)化歸的。

一般化過程是發(fā)散思維的過程，一般化的途徑與結(jié)果都是不確定的。所有這些都使一般化方法具有創(chuàng)造性。

3.遞推法。

遞推法是探索數(shù)學規(guī)律和解題思路的重要方法。在建立遞推關(guān)系時，要根據(jù)實際問題的特點，進行深入的分析。在建立遞推關(guān)系的過程中，需要涉及一些遞推關(guān)系的解法，如列舉累加法、列舉歸納法等。實際上，數(shù)學歸納法采用的也是遞歸模式的推理。在數(shù)論中舉足輕重的輾轉(zhuǎn)相除法、高階行列式求值時的遞推展開以及無限下推法等等，都是遞推模式的體現(xiàn)。如果說遞推關(guān)系求解是求解的數(shù)學歸納法，那么，數(shù)學歸納法正是證明的遞推法，它們之間有著深刻的共同點。

遞推法在中學數(shù)學教學中有著廣泛的應用，內(nèi)容涉及到數(shù)列、方程、不等式、組合、函數(shù)等許多方面。

目前，關(guān)于中學數(shù)學方法的研究從整體上看，還處在一個初級起步階段。雖然這樣，普遍的看法正如波利亞所說：“一個想法使用一次是一個技巧，經(jīng)過多次使用就可成為一種方法。”而當數(shù)學方法的層次增加到幾乎所有數(shù)學問題都能使用時，則稱這種最高層次的數(shù)學方法為數(shù)學思想。數(shù)學思想是數(shù)學的核心，只有把數(shù)學思想掌握了，數(shù)學教學才能發(fā)生作用，數(shù)學形成的演繹體系才有靈魂。

作為中學數(shù)學教師，要研究、掌握這種數(shù)學方法，尤其是數(shù)學思想，并把這種數(shù)學方法和數(shù)學思想運用于自己的教學實踐中。唯有如此，才能夠提高自己的業(yè)務(wù)水平，才能夠提高自己的課堂教學效率，才能夠為自己成長為專家型、學者型教師奠定堅實的基礎(chǔ)。