基于不確定旅客需求的高速鐵路魯棒列車開行方案研究

張春田，戚建國，楊立興，高原，高自友

(1.北京交通大學(xué)，a.交通運輸學(xué)院，b.軌道交通控制與安全國家重點實驗室，北京100044；2.北京理工大學(xué)，管理與經(jīng)濟學(xué)院，北京100081)

0 引言

鐵路運輸是交通運輸?shù)闹匾M成部分，與公路、水路、航空、管道等運輸方式形成了綜合運輸體系。高速鐵路因其載客量大、速度快、準時和安全等特點而廣受歡迎。近年來，隨著旅客出行需求的增加，鐵路線網(wǎng)規(guī)模的擴大，如何充分利用鐵路資源，編制基于旅客實際出行需求的高速鐵路列車開行方案，為旅客提供高質(zhì)量的運輸服務(wù)已成為當前亟待解決的問題。

為了編制更加符合旅客出行特點的列車開行方案，部分學(xué)者在列車開行方案編制過程中充分考慮旅客需求特點，形成一系列的研究成果[1-3]。文獻[1]構(gòu)建了該問題的多目標雙層規(guī)劃模型，以同時最大化列車開行收益和旅客方便度。文獻[2]在考慮旅客出行時變需求的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了同時考慮列車運行時間與旅客出行時間的高速鐵路列車開行方案優(yōu)化模型。文獻[3]以運營商利潤和旅客出行需求滿意度最大化為目標，構(gòu)建了考慮需求、服務(wù)和資源的整合模型，并設(shè)計了拉格朗日松弛算法求解該模型。上述文獻雖考慮了旅客的出行特點，但是以事先已知的計劃旅客需求制定開行方案，并未充分考慮旅客需求不確定性的影響。事實上，由于旅客出行目的不同、天氣變化等諸多因素的影響，旅客需求普遍存在不確定性，忽略旅客不確定性勢必會導(dǎo)致某些情形下旅客需求得不到滿足或者列車出現(xiàn)較大虛糜，因而降低優(yōu)化方案的適用性?；诖?，文獻[4]考慮客流需求波動，建立了基于魯棒性的開行方案優(yōu)化模型，并設(shè)計了拉格朗日松弛算法求解該問題。文獻[5]研究客運專線客流量不確定性的影響，基于不確定區(qū)間可調(diào)節(jié)魯棒優(yōu)化理論，構(gòu)建了魯棒性與經(jīng)濟性相協(xié)調(diào)的開行方案魯棒優(yōu)化模型。與使用隨機變量、模糊變量等處理客流不確定性的方式相比，魯棒優(yōu)化不需要給出具體的不確定參數(shù)分布模型和不確定參數(shù)的模糊隸屬函數(shù)，并且能取到較好的效果。在一般的魯棒優(yōu)化方法中，通常要求不確定參數(shù)在不確定集合內(nèi)取任意元素時都嚴格保證約束成立，容易導(dǎo)致所得方案過于保守。本文擬采用文獻[6]提出的輕魯棒技術(shù)(Light Robustness，LR)來處理旅客需求的不確定性，其是一種可在既有模型基礎(chǔ)上為所得方案加入一定魯棒性保護的有效技術(shù)。輕魯棒技術(shù)通過對與決策變量相關(guān)的不確定因素加入一定的期望保護水平來獲得魯棒性較強的決策方案，其允許對魯棒性保護水平約束進行一定的松弛，因而可以更好地兼顧旅客與運營公司兩方需求。此外，輕魯棒技術(shù)還可在確保魯棒優(yōu)化模型復(fù)雜度增加較小的同時獲得魯棒性更好的開行方案。

在列車開行方案優(yōu)化問題中，為了簡化問題，諸多學(xué)者[7-9]基于“備選集”思想來優(yōu)化列車開行方案。文獻[7]指出“備選集”是所有可能開行列車的一個合理全集，列車開行方案優(yōu)化時將從備選集中選取部分列車組合成最終方案。文獻[8]采用備選集的思想解決了臨客列車開行方案優(yōu)化問題。文獻[9]基于給定候選列車集構(gòu)建彈性旅客出行網(wǎng)絡(luò)，從而解決面向彈性需求的列車開行方案優(yōu)化問題。上述文獻為解決列車開行方案優(yōu)化問題奠定了良好的理論基礎(chǔ)，但給定備選集質(zhì)量的優(yōu)劣直接影響到后續(xù)列車開行方案的質(zhì)量。與之不同的是，文獻[1]和文獻[2]分別通過決策某種類型列車是否發(fā)車以及列車發(fā)車頻率來確定最終的列車開行方案，這種方式可免除生成備選集的程序，但大多數(shù)文獻仍是給定每一列車始發(fā)和終到車站徑路，來進一步確定列車停站與開行頻率。然而，若提前預(yù)設(shè)的列車始發(fā)和終到車站徑路不合理，可能會造成無可行解，或者列車資源浪費的現(xiàn)象發(fā)生。為了在滿足旅客需求的前提下盡可能地節(jié)省鐵路運營公司總運營成本，本文采用無需事先給出備選集的列車開行方案優(yōu)化思想，并利用生成列車經(jīng)過站點的方式確定列車的具體徑路。

綜上所述，本文擬在既有研究的基礎(chǔ)上，考慮旅客需求的不確定性，結(jié)合輕魯棒技術(shù)和線性化技術(shù)，以極小化鐵路運營公司總運營成本為目標，構(gòu)建不確定旅客需求下高速鐵路魯棒整數(shù)線性規(guī)劃模型，生成魯棒的列車開行方案，在確定性旅客需求得到滿足的前提下，進一步為額外的波動性旅客需求提供一定水平的運輸服務(wù)。

1 問題描述

列車開行方案的編制是基于旅客需求確定列車起訖點OD、經(jīng)由線路、停站、服務(wù)頻率、列車等級、編組等要素。圖1 為一個包含3 座車站的高速鐵路線路示意圖，并在線路圖下方給出了所有可能的列車運行徑路，其中，d1和d2為鐵路區(qū)段的距離，k1、k2、k3和k4為不同類型的列車。

圖1鐵路網(wǎng)絡(luò)中，可開行4種不同類型的列車，分別為不同OD類型旅客提供服務(wù)。顯然，不同的列車開行組合可為旅客提供不同的運輸服務(wù)，需要花費不同的運營成本。如何在盡可能滿足旅客需求的前提下，生成運營成本較小的列車開行組合至關(guān)重要。在上述鐵路網(wǎng)絡(luò)中，給出包含3 種OD 類型的旅客需求矩陣為

圖1 鐵路線路以及對應(yīng)列車運行的徑路Fig.1 A railway corridor and its possible lines set

假設(shè)列車容量為600人·列-1，開行每列列車固定運營成本為f萬元，可變成本為v萬元·km-1。圖2給出3種不同的可行列車開行方案。

圖2 示例對應(yīng)的不同開行方案及其運營成本Fig.2 An illustration of different train operation plans and their operating costs

方案1僅考慮滿足旅客需求，列車出現(xiàn)較大虛糜，導(dǎo)致需要最高的列車運營成本。方案2通過合理設(shè)置列車停站策略，最大限度地利用列車容量，但仍需要開行3列列車。考慮到開行1列列車需要較高的固定成本，方案3 給出進一步的優(yōu)化策略，只需開行2列列車便可滿足總的旅客需求。顯然，方案3是最優(yōu)的選擇。值得說明的是，如若在給定備選集合中只包含k1、k2和k4，而未包含k3列車，則基于備選集的列車開行方案將無法得到該示例中最優(yōu)方案。基于以上分析，本文將研究如何在盡可能滿足旅客需求的基礎(chǔ)上，考慮旅客需求的不確定性，生成合理的列車開行組合，以極小化鐵路運營公司的總運營成本。

2 模型構(gòu)建

2.1 確定性優(yōu)化模型

由于本文擬采用輕魯棒技術(shù)來提高列車開行方案的魯棒性，而魯棒優(yōu)化模型是以確定性旅客需求的列車開行方案優(yōu)化模型為基礎(chǔ)，故先介紹確定性優(yōu)化模型。

2.1.1 模型假設(shè)

為了更好地描述該模型，給出以下假設(shè)：

(1)假設(shè)不考慮列車長度，兩車站之間的距離假定為列車運行距離。

(2)假定旅客中間不進行換乘，即假定旅客只能乘坐在其始發(fā)站和終到站同時?？康牧熊?。

(3)假定具有相同OD 的旅客需求由于受列車運力限制，可選擇不同的列車出行。

2.1.2 模型的相關(guān)符號

設(shè)候選列車集合為K，以k為索引；列車站點集合為N，以i、i′和j為索引；車站對應(yīng)區(qū)段集合為S，以s為索引；列車k定員數(shù)量為Ck；車站i到j(luò)的確定性旅客需求為Dij；區(qū)段s的距離為ds；區(qū)段s所需通過的最少列車數(shù)為Ps；最大列車停站總數(shù)量X；開行1 列列車的固定費用為fk；列車單位里程運行成本為vk。

設(shè)yk為0-1 決策變量，若列車k被選擇，yk=1；若不被選擇，yk=0。設(shè)xk,i為0-1決策變量，若列車k在車站i停車，xk,i=1；若不停車，xk,i=0。設(shè)Zk,s為0-1決策變量，若列車k通過區(qū)段s，Zk,s=1；若不通過，則Zk,s=0。

設(shè)rk,ij為預(yù)計分配到列車k上由車站i出發(fā)到達車站j的旅客人數(shù)，rk,ij≥0。

2.1.3 模型構(gòu)建

基于上述參數(shù)和決策變量，構(gòu)建基于確定性旅客需求的高速鐵路列車開行方案整數(shù)線性規(guī)劃模型為

目標函數(shù)式(1)極小化鐵路運營公司總運營成本，其中第1 項和第2 項分別是列車開行固定成本和變動成本，O代表確定性優(yōu)化模型的目標函數(shù)。式(2)保證列車上的旅客數(shù)量不超過每列列車的載客量。式(3)保證確定性情況下的旅客需求可被滿足。式(4)和式(5)確保旅客只能乘坐在其始發(fā)站和終到站同時停靠的列車。式(6)和式(7)確保只有當列車k被選擇，該列車才有可能在車站i?？亢屯ㄟ^區(qū)段s。式(8)和式(9)通過借助0-1 決策變量xk,i，來確保只有當列車k通過區(qū)段s，才有Zk,s=1成立。通過分析兩個決策變量之間的關(guān)系，式(8)可等價轉(zhuǎn)換為

通過引入兩個額外的0-1輔助變量αk,s和βk,s，式(9)可等價轉(zhuǎn)換為

其中，αk,s≥xk,1,αk,s≥xk,2,…,αk,s≥xk,s且βk,s≥xk,s+1,βk,i≥xk,s+2,…,βk,s≥xk,N，當且僅當αk,s和βk,s同時取1，Zk,s=1才成立。

式(10)和式(11)為結(jié)合實際運營需求和運營公司決策偏好對區(qū)段通過列車數(shù)量以及總列車停站數(shù)量的限制。從理論層面來講，式(10)和式(11)可合理縮小解的搜索空間，加快模型求解的速度。從實際應(yīng)用層面來講，在結(jié)合實際需求獲得區(qū)間最少通過列車數(shù)量以及列車最多停站數(shù)量的基礎(chǔ)上，式(10)和式(11)的構(gòu)建可將運營公司決策偏好考慮在內(nèi)，是對模型進行的一定擴展。在實際中，上述兩個參數(shù)可根據(jù)旅客需求計算得出，也可以通過鐵路運營公司的實際需求或者專家經(jīng)驗給出。

通過對上述模型進行線性化，可以得到確定性列車開行方案整數(shù)線性規(guī)劃模型，記為NM(Nominal Model)。與以往研究有所不同，本文未事先給出線路備選集，而是由模型自動搜索列車開行方案。

2.2 基于旅客需求的魯棒優(yōu)化模型

為構(gòu)建魯棒優(yōu)化模型，增加符號Δij表示車站i到車站j的額外旅客需求服務(wù)保護水平。通常情況下，該值與額外波動性旅客需求分布和決策者偏好相關(guān)(如95%的額外波動旅客需求需要得到滿足)，也可被視為車站i與車站j之間的期望魯棒性保護水平。相應(yīng)的，引入松弛變量λij來保證所構(gòu)建魯棒優(yōu)化模型的可行性，其中，λij代表車站i與j之間由于列車容量限制而未被滿足的期望魯棒性保護水平。構(gòu)建基于旅客需求的魯棒優(yōu)化模型為

s.t.式(2)、式(4)～式(7)和式(10)～式(16)

目標函數(shù)式(17)為極小化所有未被滿足的額外旅客需求，用R來表示。式(18)和式(19)替代了NM模型中的式(3)，用來表示列車所能滿足的旅客需求。式(18)首先保證滿足確定性旅客需求，此外還允許利用冗余的列車容量服務(wù)額外波動旅客需求。式(19)表示額外的旅客需求被滿足的情況。具體來講，當目標松弛變量λij之和取0 時，表明所有額外旅客需求均能被滿足；當松弛變量λij與Δij相等時，表明所有額外旅客需求均未被滿足。第1種極端情況的出現(xiàn)是由于未考慮因魯棒性加入而導(dǎo)致的運營成本增加，這顯然有悖于運營公司的初衷。因此，在求解NM模型得出確定性方案最優(yōu)目標O*的基礎(chǔ)上，利用約束條件式(20)，以α?O*(α≥1)作為運營公司能夠承擔的最大成本支出，通過調(diào)節(jié)參數(shù)α的值對魯棒方案目標惡化程度進行控制。同樣的，式(21)可對最大列車數(shù)量進行限制，其中，K?為確定性優(yōu)化模型求解出的最優(yōu)列車數(shù)量，β為控制參數(shù)，β≥1。

綜上所述，式(2)、式(4)～式(7)以及式(10)～式(22)即為基于不確定旅客需求的魯棒列車開行方案優(yōu)化模型，記為DRM(Demand based Robust Model)。該模型首先確保了確定性旅客需求得到滿足，并通過引入?yún)?shù)Δij為額外的波動性旅客需求提供必要的運輸服務(wù)保障，以確保整個鐵路系統(tǒng)的服務(wù)質(zhì)量。

3 算例分析

為驗證本文所構(gòu)建魯棒優(yōu)化模型的有效性，以圖3武廣高鐵為背景，設(shè)計數(shù)值實驗。

圖3 武漢-廣州高速鐵路走廊圖示Fig.3 Map of Wuhan-Guangzhou high-speed railway corridor

3.1 模型輸入數(shù)據(jù)

在實際運營中，一般較小的車站只作為中間車站來提供服務(wù)，較大的關(guān)鍵車站才允許被選擇作為列車的始發(fā)或終到車站。為使模型具有一般適用性，本文在原有模型的基礎(chǔ)上進一步添加限定關(guān)鍵車站才可作為始發(fā)或者終到站的相關(guān)約束。具體地，假定可以作為始發(fā)站和終到站的關(guān)鍵車站集合分別為Nd={1,2}={武漢,長沙南} 和Na={1,2}={郴州西,廣州南}。此外，引入集合D(i)表示集合Nd到集合N的映射(i∈Nd)，則有D(1)=1以及D(2)=6 成立。同樣地，引入集合A(i)表示集合Na到集合N的映射(i∈Na)，則有A(1)=11 以及A(2)=16 成立。為使模型具有更好的適用性，需在原有模型的基礎(chǔ)上進一步添加如下約束：當，有與成立；當，有與成立；否則，有與成立。圖4 為每座車站需要發(fā)送的總旅客需求示例，其中括號內(nèi)第1 個數(shù)值和第2 個數(shù)值分別代表確定性旅客需求數(shù)量和額外的旅客需求數(shù)量，單位為人。根據(jù)生成的旅客需求OD 矩陣，提前設(shè)定確定性優(yōu)化模型中最大列車停站總數(shù)量X=380，魯棒優(yōu)化模型中最大列車停站總數(shù)量X=422，區(qū)段s需通過的最少列車數(shù)Ps={19,23,24,27,27,31,31,31,31,31,28,24,24,23,22}。此外，假定候選列車總數(shù)為35 列，列車容量為600 人·列-1，列車固定運營成本為10 萬元，可變成本為0.01 萬元·km-1。值得說明的是，由于數(shù)據(jù)保護需要，本文實驗所采用數(shù)據(jù)根據(jù)經(jīng)驗和實際規(guī)律給出。

圖4 每座車站需發(fā)送的旅客需求Fig.4 Number of passengers to be sent at each station

3.2 開行方案計算分析

通過將模型轉(zhuǎn)化為整數(shù)線性規(guī)劃模型，在CPU為i5-8265U、內(nèi)存為8 G 的電腦中，使用MATLAB調(diào)用GUROBI優(yōu)化軟件對所構(gòu)建的模型進行求解。

在本文給出的參數(shù)設(shè)置條件下，為對比分析確定性優(yōu)化模型和魯棒優(yōu)化模型，首先基于確定性旅客需求，求解NM 模型，可獲得對應(yīng)的最優(yōu)列車開行方案。其中，最優(yōu)目標O*=615.600，K?=31。進一步，將確定性旅客需求和額外的旅客需求進行加和，求解NM 模型得到最大使用列車數(shù)量為34列，運營成本為677.670萬元。

在確定性列車開行方案優(yōu)化模型已求解的基礎(chǔ)上，令β?K?=34 對α進行靈敏度分析。不同的α值對應(yīng)于不同的額外旅客需求滿足程度。本文將α設(shè)為1.00，1.01，1.02，…，1.09。DRM模型的求解結(jié)果如表1所示，其中，G1、G2、G3 和G4 分別代表武漢開往廣州南、武漢開往郴州西、長沙南開往廣州南、長沙南開往郴州西的列車。表1 中第1 行與最后一行為上述NM 模型對應(yīng)于滿足確定性旅客需求與可能的最大旅客需求情況下所得到的解。

表1 魯棒優(yōu)化模型計算結(jié)果Table 1 Computational results of robust model

隨著參數(shù)α取值的不斷增加，未被滿足的額外旅客需求R*逐漸減小。值得注意的是，當α取值為1 時，即在保證NM 模型求解所得運營成本不變的情況下，可以進一步分析列車是否還有冗余容量運輸一定的額外旅客需求。通過表1 中第2 行(α=1)的結(jié)果可看出，在保證運營成本為615.600不變的情況下，還可進一步多運輸1625 名旅客。具體地，給出α=1時求解魯棒優(yōu)化模型得到的開行方案，如圖5所示。

圖5 魯棒優(yōu)化模型α=1時列車開行方案示意圖Fig.5 An illustration of train operation plan based on robust model with α=1

事實上，在保證運營成本不變的情況下，魯棒優(yōu)化模型通過改變列車的停站方案可進一步服務(wù)于部分除確定性旅客需求之外的額外旅客需求，這表明魯棒優(yōu)化模型獲得的開行方案具有強的抵抗旅客需求隨機波動干擾的能力。此外，由表1還可看出，得到的開行方案中大多數(shù)列車為由武漢開往廣州南的長距離列車，這也與實際運營情況相符。值得注意的是，當α取1.04 與1.05 時，未被滿足的旅客數(shù)量相同，并且所開行列車數(shù)量相同，因此在本文給出的參數(shù)設(shè)置下認為α取1.04優(yōu)于1.05，同樣的道理適用于α取1.07 和1.08 的情況。由此可見，通過合理選擇α值可在滿足相同旅客需求的條件下，最大限度節(jié)省運營成本。清晰起見，圖6 給出每種α取值下未被滿足的旅客數(shù)量，其中，未被滿足的旅客需求同樣以每座車站需發(fā)送的旅客需求為基礎(chǔ)給出。由圖6 可直觀的看出，隨著參數(shù)α取值的不斷增大，未被滿足的額外旅客需求逐漸減少，直至減小為零。這表明，如果鐵路運營公司愿意承擔更大的運營成本，便可更好地應(yīng)對旅客需求的不確定性。

圖6 不同參數(shù)α 值下未被滿足的旅客數(shù)量Fig.6 Number of unsatisfied passenger demand under different values of parameter α

3.3 附加對比實驗

為了更好地說明本文提出方法的有效性，進一步增加兩部分附加對比數(shù)值實驗。具體地，第1部分設(shè)計使用既有魯棒優(yōu)化方法求解列車開行方案的一系列數(shù)值實驗；第2部分設(shè)計提前給定列車始發(fā)和終到車站徑路的一系列數(shù)值實驗。

3.3.1 附加實驗1:魯棒對等模型

同樣地，仍然在確定性優(yōu)化模型NM 的基礎(chǔ)上，首先對旅客需求進行不確定性處理，通過參考文獻[4,10]構(gòu)建Bertsimas和Sim魯棒對等模型。為構(gòu)建魯棒優(yōu)化模型，使用表示旅客需求的不確定擾動項，因而NM模型中的式(3)可以替換為

式中：zij，pij為對偶變量；Γij為取值為[0,1]的參數(shù)，表示保守程度。因而，式(1)～式(2)、式(4)～式(7)、式(10)～式(16)、式(18)以及式(24)～式(27)即為列車開行方案的魯棒對等模型，記為RCM(Robust Counterpart Model)。

為了與本文提出的DRM 模型進行對比，取多組不同的參數(shù)Γij值來求解RCM 模型，結(jié)果如表2所示。表2 中Γ為每一個約束中Γij的取值，其中第1組Γ=0.00 表示所有OD對均只存在名義值擾動，此時約束變?yōu)槊x問題；第2組表示每個OD對的波動值均在[0.00,0.50]之間隨機選??；最后一組表示所有的旅客需求都應(yīng)當被滿足。此外，O*和R分別表示求解RCM 模型的最優(yōu)目標值(運營成本)和未被滿足的旅客數(shù)量。

表2 RCM模型計算結(jié)果Table 2 Computational results of robust counterpart model

由表2 可知，RCM 模型亦能在較短的時間內(nèi)獲得魯棒的列車開行方案。值得注意的是，在求解RCM 模型時，參數(shù)Γij的取值具有很大的隨機性和主觀性，且對結(jié)果有較大影響。比較表1 和表2 可知，在相同的運營成本下，基于輕魯棒技術(shù)構(gòu)建的模型得到未被滿足旅客數(shù)量(R)更少，這表明在運營公司承擔相同的運營成本時，本文構(gòu)建的DRM 模型可以得到更魯棒的開行方案。此外，由于RCM 模型要求在不確定集合下所有約束條件均應(yīng)當被滿足，在某些極端情況下，可能會導(dǎo)致某些列車僅僅運輸極少數(shù)旅客，造成列車存在較大的虛糜。

3.3.2 附加實驗2:給定每一列列車的始發(fā)和終到車站

現(xiàn)有關(guān)于列車開行方案的研究大多預(yù)先給定每一列列車的始發(fā)和終到站，而本文只給定線路可能的起始和終到車站，由模型確定每一列列車的具體起始和終到車站。為了對本文設(shè)計方法和現(xiàn)有方法的區(qū)別進行分析，基于給定每一列列車的始發(fā)和終到站設(shè)計了一系列數(shù)值實驗。同樣地，考慮最大使用列車數(shù)量為34列，給定不同的列車(G1，G2，G3和G4)開行組合。為了更好地進行對比，假定未被滿足的旅客數(shù)量不能超過1100 人；若對運營成本進行限制，則假定成本不可超過646.380(α?O*=1.05?O*=646.380)。值得注意的是，由于提前給定列車的始發(fā)和終到站，往往不容易找到可行解，故設(shè)計了限制總運營成本和不限制總運營成本的兩類數(shù)值實驗。相應(yīng)的計算結(jié)果如表3所示。

表3 預(yù)先給定始發(fā)和終到車站的計算結(jié)果Table 3 Computational results obtained by setting candidate origin and destination stations

表3 中第1 列代表不同列車的開行組合，其中[24,4,4,2]表示G1，G2，G3 和G4 類型的列車分別有24，4，4和2列。顯然地，第2組開行列車組合只可以在不限制總運營成本的前提下找到可行解；然而，第1組列車開行組合在不限制總運營成本的前提下也無法尋找到可行解。此外，通過對比表1和表3 可知，在限制總運營成本的前提下，當給定的列車開行集合包含了最優(yōu)列車組合時，預(yù)先給定每一列列車的始發(fā)和終到站的設(shè)置情況也可以尋找到最優(yōu)解，但是在實際運營中，最優(yōu)列車組合往往不容易預(yù)先判別。綜上所述，若提前預(yù)設(shè)的列車組合不合理，可能造成無法找到可行解(例如第1 組)或者列車資源浪費(例如最后一組)的現(xiàn)象。因此，完全由模型搜索列車始發(fā)和終到站的研究具有更大的優(yōu)勢。值得說明的是，本文所構(gòu)建模型是更為一般化的模型，可通過給定部分決策變量的值來確定部分列車的具體徑路以滿足實際運營中的特殊需求。

4 結(jié)論

本文針對現(xiàn)實中旅客需求的不確定性，建立不確定旅客需求下高速鐵路魯棒列車開行方案優(yōu)化模型。通過案例驗證得到如下結(jié)論：

(1)通過借助線性化技術(shù)，使用商業(yè)優(yōu)化軟件求解NM 和DRM 模型，可分別獲得該兩類模型下列車開行方案。分析案例發(fā)現(xiàn)，在保證運營成本不變的情況下，魯棒優(yōu)化模型可通過改變列車停站方案進一步為部分確定性旅客需求之外的額外旅客需求提供服務(wù)，這表明魯棒優(yōu)化模型獲得的開行方案對客流量的隨機波動抗干擾能力更強。此外，相較于求解NM 模型，求解DRM 模型的時間并沒有過多的增加，說明所構(gòu)建的魯棒優(yōu)化模型具有較強的實用性。

(2)通過對參數(shù)α進行靈敏度分析發(fā)現(xiàn)，如果鐵路運營公司愿意承擔更大的運營成本，可更好地應(yīng)對旅客需求的不確定性。因此，決策者在制定列車開行方案時，可綜合衡量以上兩因素，從而得出系統(tǒng)較優(yōu)的運營方案。