基于秩最小化矩陣去噪的船舶軌跡重構(gòu)方法

劉文，汪文博

(武漢理工大學(xué)，a.航運(yùn)學(xué)院；b.內(nèi)河航運(yùn)技術(shù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢430063)

0 引言

船舶自動(dòng)識(shí)別系統(tǒng)(AIS)是一種用于保障海上運(yùn)輸安全的船舶自動(dòng)報(bào)告系統(tǒng)，可提供各種靜態(tài)和動(dòng)態(tài)信息，包括船舶位置、航速、吃水深度、裝載狀態(tài)等。這些數(shù)據(jù)可以被其他船舶及船舶交通服務(wù)中心(Vessel Traffic Service Center，VTS)接收，廣泛用于船舶之間的避碰、風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估、軌跡追蹤等研究。根據(jù)國(guó)際海上人命安全公約(International Convention for Safety of Life at Sea，SOLAS)規(guī)定，客船及總噸位超過(guò)300的國(guó)際航船必須安裝AIS系統(tǒng)。此外，中華人民共和國(guó)海事局(MSA)等相關(guān)部門(mén)也非常重視安全，為內(nèi)河船舶配備AIS系統(tǒng)。隨著在國(guó)際船舶和內(nèi)河船舶的廣泛應(yīng)用，AIS數(shù)據(jù)在海上數(shù)據(jù)分析、航行安全和海上風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估等方面發(fā)揮著不可或缺的作用[1]。

由AIS 數(shù)據(jù)顯示的船舶軌跡數(shù)據(jù)是避碰研究的重要數(shù)據(jù)來(lái)源之一。SU 等[2]提出一種基于模糊邏輯理論的系統(tǒng)，利用AIS數(shù)據(jù)對(duì)被讓路船進(jìn)行最優(yōu)舵轉(zhuǎn)向決策。同時(shí)，通過(guò)與其他AIS 數(shù)據(jù)的比較，可提供用于船舶異常行為識(shí)別的實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)[3]。此外，歷史AIS數(shù)據(jù)對(duì)于船舶航行風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估具有重要價(jià)值。例如，在新加坡海峽，通過(guò)AIS 數(shù)據(jù)可識(shí)別危險(xiǎn)水域和船舶類(lèi)型[4]。近年來(lái)，AIS 數(shù)據(jù)被廣泛用于船舶軌跡預(yù)測(cè)，通過(guò)機(jī)器學(xué)習(xí)方法進(jìn)行海上交通調(diào)查和安全管理。LI等[5]基于AIS數(shù)據(jù)開(kāi)發(fā)了一種相似性分組引導(dǎo)的機(jī)器學(xué)習(xí)模型，用于海上時(shí)間序列預(yù)測(cè)。這些應(yīng)用都依賴(lài)于準(zhǔn)確的船舶軌跡。

然而，此前的研究表明，AIS 提供的軌跡數(shù)據(jù)在多數(shù)情況下是不準(zhǔn)確和不可靠的，根據(jù)HARATI M.等[6]對(duì)AIS 誤差的調(diào)查顯示，大約30%的船舶曾有過(guò)AIS信息不準(zhǔn)確的情況。AIS誤差的產(chǎn)生受多種因素的影響：第一，由于海況復(fù)雜以及定位設(shè)備的限制，使得船舶軌跡會(huì)出現(xiàn)噪聲數(shù)據(jù)；第二，當(dāng)處于無(wú)定位信號(hào)的區(qū)域時(shí)，船舶軌跡會(huì)包含缺失數(shù)據(jù)；第三，由于AIS 傳輸時(shí)間間隔遠(yuǎn)低于IMO(International Maritime Organization)標(biāo)準(zhǔn)[6]，船舶軌跡采樣率較低，導(dǎo)致軌跡稀疏。若此類(lèi)數(shù)據(jù)用于需要依賴(lài)于高精度軌跡數(shù)據(jù)的海上風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估或數(shù)據(jù)分析等問(wèn)題，將影響海員的判斷，極大地增加航行風(fēng)險(xiǎn)。因此，量化和重構(gòu)實(shí)際船舶軌跡對(duì)于提高AIS的可用性，提高航行安全具有重要意義。

針對(duì)基于AIS的船舶軌跡重構(gòu)問(wèn)題，QU等[4]提出一種基于牛頓運(yùn)動(dòng)定律的數(shù)據(jù)清洗方法，可有效消除AIS 數(shù)據(jù)噪聲。NGUYEN 等[7]提出一種基于時(shí)間序列的分析和校正AIS數(shù)據(jù)的方法，該方法結(jié)合時(shí)間序列特征識(shí)別和插值修復(fù)方法，對(duì)直線航行軌跡具有較好的自適應(yīng)重構(gòu)能力，但不適用于非線性航行軌跡。SANG等[8]提出一種用于內(nèi)河船舶軌跡重構(gòu)的曲線擬合方法。WANG 等[9]提出一種基于最小二乘支持向量機(jī)(LS-SVM)的AIS 數(shù)據(jù)修復(fù)方法。然而，上述方法無(wú)法在缺失點(diǎn)較多的軌跡上很好地完成軌跡重構(gòu)。

為填補(bǔ)上述研究空白，本文提出了一種基于秩最小化矩陣去噪的船舶軌跡重構(gòu)方法。由于內(nèi)河船舶一般都有固定的航道，軌跡之間具有較強(qiáng)的自相似性，充分利用軌跡的自相似性，可實(shí)現(xiàn)高缺失率下更好的軌跡重構(gòu)效果。研究的貢獻(xiàn)在于以下兩點(diǎn)：第一，構(gòu)建了秩最小化矩陣去噪模型，利用軌跡的自相似性重構(gòu)船舶軌跡，通過(guò)1個(gè)模型同時(shí)實(shí)現(xiàn)軌跡缺失補(bǔ)全與去噪；第二，提出的方法在不同缺失比例以及隨機(jī)缺失和連續(xù)缺失兩種缺失情境下具有魯棒性和較強(qiáng)的穩(wěn)定性。此外，該方法的性能明顯優(yōu)于HALRTC 等軌跡重構(gòu)方法，并在高缺失率下表現(xiàn)較好的重構(gòu)效果。

1 相關(guān)基本算法

1.1 2D-VMD分解算法

二維變分模態(tài)分解(2D-VMD)是在VMD 算法的基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)的一種非遞歸自適應(yīng)分解算法[10]，常用于矩陣分解，可將不同形狀或不同方向的多分量矩陣分解為中心頻率附近的幾個(gè)有限帶寬，得到多個(gè)子模態(tài)函數(shù)分量(IMF)。其約束變分方程為

為解決上述約束性變分問(wèn)題，引入二次懲罰因子α和拉格朗日乘子將約束變分問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榉羌s束變分問(wèn)題，其增廣拉格朗日表達(dá)式為

式中：λ為拉格朗日乘子；為模態(tài)集合；為中心頻率集合。則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

引入交替方向乘子算法(Alternate Direction Method of Multipliers，ADMM)解決上述變分問(wèn)題，通過(guò)迭代更新優(yōu)化uk，wk及λ求得擴(kuò)展拉格朗日表達(dá)式的“鞍點(diǎn)”。

1.2 PLR去噪算法

基于數(shù)據(jù)塊的秩最小化算法PLR 是一種常用的數(shù)據(jù)去噪算法，該算法相比于K-SVD[11]、PLOW[12]以及BM3D[13]等具有更好的去噪效果與更快的運(yùn)行速度[14]。對(duì)于矩陣X∈RM×N，本文假設(shè)M=N，矩陣可被劃分為多個(gè)d×d的重疊塊。重疊塊集合，xi為第i塊重疊塊。對(duì)于每個(gè)重疊塊xi∈D，稱(chēng)為參照塊，其周?chē)鷑×n范圍內(nèi)均包含個(gè)重疊塊，選擇其中個(gè)最相似的塊(包含參照塊本身)轉(zhuǎn)化為向量。各個(gè)參照塊的相似塊向量堆疊在一起可組成d2×m的相似矩陣。該相似矩陣表示為，其中，S中的列sj,j=1,2,…,m，j為列索引，即由相似塊轉(zhuǎn)化的向量。

然后，對(duì)相似矩陣S進(jìn)行去噪。首先，基于主成分分析法得到自適應(yīng)基，其主成分基為SST的特征向量集合。特征值分解過(guò)程為

相似矩陣S中的列向量si近似計(jì)算為

式中：t為閾值。則相似塊組成的矩陣為

定義秩最小化問(wèn)題為

式中：μ為正標(biāo)量；Rank(?)為X的秩函數(shù)。其解為

式中：Y=UAVT為Y的SVD 分解過(guò)程，U和V分別為左奇異矩陣和右奇異矩陣；A為奇異值對(duì)角矩陣；為Frobenius 范數(shù)；為一個(gè)對(duì)角矩陣，其對(duì)角值可通過(guò)硬閾值操作得到，即

式中，Akk為k行k列的對(duì)角值。則去噪后矩陣為

其解為

式中：Q為正交矩陣，滿足QTQ=I，I為單位矩陣。

2 基于秩最小化矩陣去噪的船舶軌跡重構(gòu)模型

2.1 軌跡矩陣構(gòu)建與預(yù)修復(fù)

通常，由于船舶航行非勻速以及AIS信號(hào)的非等間隔發(fā)送，導(dǎo)致船舶軌跡經(jīng)緯度非等間隔分布，無(wú)法針對(duì)非均勻分布的軌跡點(diǎn)進(jìn)行修復(fù)。本文將AIS 經(jīng)緯度數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為1 個(gè)二維軌跡矩陣，，m1為軌跡數(shù)量，m2為每條軌跡的軌跡點(diǎn)數(shù)量。對(duì)于每條軌跡，設(shè)定固定經(jīng)度范圍到，以及等經(jīng)度間隔τ，將軌跡劃分為固定數(shù)量軌跡點(diǎn)，其中每個(gè)軌跡點(diǎn)的經(jīng)度均為等間隔劃分的固定值，并將其對(duì)應(yīng)的緯度存入矩陣作為各軌跡點(diǎn)數(shù)據(jù)。假設(shè)xi為軌跡矩陣X的第i行數(shù)據(jù)，為第i行的第j個(gè)緯度數(shù)據(jù)，則。

由于大部分AIS 數(shù)據(jù)經(jīng)度并不與軌跡矩陣劃分的等間隔軌跡點(diǎn)的經(jīng)度對(duì)應(yīng)，因此，被劃分的各軌跡點(diǎn)對(duì)應(yīng)的緯度數(shù)據(jù)存在缺失的情況。大量缺失值的存在對(duì)于軌跡重構(gòu)的最終結(jié)果具有重要影響，因此，在矩陣分解并進(jìn)行去噪前需要進(jìn)行預(yù)處理。為補(bǔ)全軌跡矩陣中的缺失值，采用線性插值的方法。假設(shè)Ar,k為軌跡矩陣中第r條軌跡k位置的緯度值，Br,k為Ar,k對(duì)應(yīng)的經(jīng)度值，Ω r為第r條軌跡各軌跡點(diǎn)緯度值集合，線性插值式為

線性插值可以根據(jù)插值點(diǎn)的臨近數(shù)據(jù)估計(jì)數(shù)值，本文希望在保持軌跡主要走向不變的基礎(chǔ)上，盡可能精確補(bǔ)全數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)缺失值預(yù)修復(fù)。完成預(yù)修復(fù)之后，即可得到完整的軌跡矩陣。

2.2 船舶軌跡重構(gòu)模型構(gòu)建

為進(jìn)一步提升船舶軌跡重構(gòu)的精度，將構(gòu)建的軌跡矩陣使用2D-VMD 分解為多個(gè)IMF 分量。預(yù)修復(fù)和2D-VMD 分解過(guò)程在保證軌跡主要走向不變的前提下均會(huì)產(chǎn)生一定誤差，這些誤差可被認(rèn)為軌跡噪聲。同時(shí)，原始軌跡中也包含部分噪聲數(shù)據(jù)。因此，基于矩陣的非局部自相似性，本文使用PLR 算法對(duì)各IMF 分量進(jìn)行矩陣去噪，最后，再對(duì)各分量的去噪結(jié)果求和，得到最終的去噪結(jié)果，在消除預(yù)修復(fù)與2D-VMD 分解過(guò)程帶來(lái)的誤差的同時(shí)消除軌跡原始噪聲，實(shí)現(xiàn)軌跡重構(gòu)。

本文提出的船舶軌跡重構(gòu)方法流程如圖1所示。

圖1 船舶軌跡重構(gòu)方法流程Fig.1 Process of vessel trajectory reconstruction method

算法基于秩最小化矩陣去噪的船舶軌跡重構(gòu)方法輸入：目標(biāo)水域AIS數(shù)據(jù)集S，IMF數(shù)量k，重疊塊大小d，相似塊選取范圍n，相似塊選取數(shù)量m輸出：重構(gòu)后的船舶軌跡集合F1(1)S 各條軌跡通過(guò)線性插值實(shí)現(xiàn)經(jīng)度對(duì)齊(2)各條軌跡的所屬軌跡點(diǎn)對(duì)應(yīng)的緯度值構(gòu)建軌跡矩陣X(3)通過(guò)2D-VMD算法分解軌跡矩陣X 為k 個(gè)IMF分量，得到SE=IMF1,IMF2,…,IMFk(4)or j in[1∶k](5)對(duì)IMFj 進(jìn)行PLR去噪，得到去噪結(jié)果矩陣Mj(6)End(7)F1 ←合并M1,M2,…,Mk

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

為校驗(yàn)本文提出的方法在實(shí)際水域中的軌跡重構(gòu)效果，選取長(zhǎng)江武漢段部分水域作為研究區(qū)域。該區(qū)域起止點(diǎn)經(jīng)緯度分別為(114.30000，30.57530)，(114.63966，30.56490)，分上行和下行3條航路。本文按上行和下行從AIS 中各選取1000條軌跡數(shù)據(jù)，并設(shè)定經(jīng)度間隔τ為0.00034，將研究區(qū)域的每條軌跡劃分為1000 個(gè)軌跡點(diǎn)，通過(guò)線性插值，構(gòu)建1000×1000 的軌跡矩陣。

本文實(shí)驗(yàn)分為真實(shí)實(shí)驗(yàn)和模擬實(shí)驗(yàn)。真實(shí)實(shí)驗(yàn)通過(guò)使用本文提出的方法對(duì)研究水域軌跡進(jìn)行重構(gòu)，并與原始軌跡對(duì)比，驗(yàn)證重構(gòu)效果。模擬實(shí)驗(yàn)通過(guò)按上行和下行各選取1000 條噪聲較小、數(shù)據(jù)較完整的軌跡作為研究對(duì)象，按一定比例模擬缺失，分別使用本文提出的方法與其他幾種經(jīng)典軌跡重構(gòu)方法對(duì)研究軌跡進(jìn)行重構(gòu)，并將結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，比較各方法重構(gòu)效果的優(yōu)劣。

模擬缺失的情境分為隨機(jī)缺失和連續(xù)缺失，分別按10%～80%的缺失比例進(jìn)行模擬。設(shè)定2DVMD 分解得到IMF 數(shù)量k=2，PLR 算法d=7，n=35，m=5d2。使用平均絕對(duì)百分比誤差MAPE和均方根誤差RMSE作為結(jié)果評(píng)價(jià)指標(biāo)。

3.2 對(duì)比實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?/h3>

本文選取的對(duì)比軌跡重構(gòu)方法包括：

(1)高精度低秩張量補(bǔ)全(High-Accuracy Low-Rank Tensor Completion，HALRTC)，通過(guò)最小化核范數(shù)實(shí)現(xiàn)補(bǔ)全。

(2)時(shí)間正則化矩陣分解(Temporal Regularized Matrix Factorization，TRMF)，一種自回歸正則化時(shí)間矩陣分解方法。

(3)廣義高階正交迭代的張量分解與補(bǔ)全(Generalized Higher-Order Orthogonal Iteration for Tensor Decomposition and Completion，GHOI)，一種可擴(kuò)展的核心張量Schatten 1范數(shù)最小化方法同時(shí)進(jìn)行張量分解和補(bǔ)全。

(4)基于核范數(shù)的低秩矩陣補(bǔ)全(Low-Rank Matrix Completion Based on Nuclear Norm，LRMC)，可從矩陣的輸入采樣中恢復(fù)數(shù)據(jù)矩陣。

(5)基于離散余弦變換的張量核范數(shù)最小化(Tensor Nuclear Norm minimization with Discrete Cosine Transform，TNN-DCT)，通過(guò)推導(dǎo)出新的張量管秩、張量譜范數(shù)和張量核范數(shù)，求解凸規(guī)劃來(lái)完成張量補(bǔ)全。

3.3 基于AIS的船舶軌跡重構(gòu)實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

使用Python 3.9.2 構(gòu)建模型，完成對(duì)研究水域的軌跡重構(gòu)。為驗(yàn)證本文方法在實(shí)際水域中的重構(gòu)效果，將重構(gòu)結(jié)果與原始軌跡對(duì)比，結(jié)果如圖2所示。

圖2 船舶軌跡重構(gòu)效果對(duì)比圖Fig.2 Comparisons of vessel trajectory reconstruction

由圖2可知，本文提出的方法基本修復(fù)了上行及下行原始軌跡中存在的缺失及噪聲點(diǎn)，使軌跡重構(gòu)到正常航道。為了驗(yàn)證本方法的精度與穩(wěn)定性，上行及下行軌跡在10%～80%比例隨機(jī)缺失的情境下，本方法及其他5 種對(duì)比方法的MAPE 和RMSE評(píng)價(jià)指標(biāo)值如表1 和表2所示。根據(jù)表1 和表2 的各評(píng)價(jià)指標(biāo)值繪制的對(duì)比情況如圖3所示。為完成張量補(bǔ)全的對(duì)比實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)將從研究水域軌跡構(gòu)建的1000×1000 的軌跡矩陣按每50 條軌跡為1 組作為切片轉(zhuǎn)化為50×1000×20 的軌跡張量，在保證軌跡自相似性不被破壞的前提下，實(shí)現(xiàn)從軌跡矩陣到張量的轉(zhuǎn)化。

圖3 隨機(jī)缺失軌跡重構(gòu)效果對(duì)比Fig.3 Comparisons of trajectory reconstruction with random missing

表1 上行軌跡隨機(jī)缺失評(píng)價(jià)指標(biāo)(MAPE/RMSE)Table 1 Evaluation criteria in case of random missing in upward trajectory(MAPE/RMSE)

表2 下行軌跡隨機(jī)缺失評(píng)價(jià)指標(biāo)(MAPE/RMSE)Table 2 Evaluation criteria in case of random missing in downward trajectory(MAPE/RMSE)

本文方法在不同比例隨機(jī)缺失下的MAPE 及RMSE值均小于其他對(duì)比方法，且隨著缺失比例的提升，變化較小。

上行及下行軌跡在10%～80%比例連續(xù)缺失的情境下本方法及其他5 種對(duì)比方法的MAPE和RMSE 評(píng)價(jià)指標(biāo)值如表3 和表4所示。根據(jù)表3 和表4 的各評(píng)價(jià)指標(biāo)值繪制的對(duì)比情況如圖4所示。

圖4 連續(xù)缺失軌跡重構(gòu)效果對(duì)比Fig.4 Comparisons of trajectory reconstruction with continuous missing

表3 上行軌跡連續(xù)缺失評(píng)價(jià)指標(biāo)(MAPE/RMSE)Table 3 Evaluation criteria in case of continuous missing in upward trajectory(MAPE/RMSE)

表4 下行軌跡連續(xù)缺失評(píng)價(jià)指標(biāo)(MAPE/RMSE)Table 4 Evaluation criteria in case of continuous missing in downward trajectory(MAPE/RMSE)

本文方法在不同比例連續(xù)缺失下的MAPE 及RMSE值均小于其他對(duì)比方法，且隨著缺失比例的提升，變化較小。

綜上所述，本文方法重構(gòu)結(jié)果相較于其他船舶軌跡重構(gòu)方法具有更高的精度，更接近于真實(shí)值且在不同缺失比例下更加穩(wěn)定，在高缺失率下?lián)碛懈玫闹貥?gòu)效果。

4 結(jié)論

針對(duì)AIS 數(shù)據(jù)在實(shí)際應(yīng)用中存在的錯(cuò)誤數(shù)據(jù)頻發(fā)、數(shù)據(jù)丟包等問(wèn)題，本文提出基于秩最小化矩陣去噪的船舶軌跡重構(gòu)方法，該方法可以利用軌跡的自相似性，對(duì)研究水域軌跡進(jìn)行統(tǒng)籌考慮。一方面能夠消除原始軌跡中存在的噪聲，同時(shí)，能夠補(bǔ)全軌跡中的缺失值。該方法相較于傳統(tǒng)方法對(duì)于低質(zhì)量軌跡的重構(gòu)具有較強(qiáng)的魯棒性和更好的重構(gòu)效果。在上行和下行的軌跡中均能夠很好地去除噪聲，補(bǔ)全缺失，并且在不同缺失比例以及隨機(jī)缺失和連續(xù)缺失兩種情境下穩(wěn)定性更強(qiáng)，尤其在高缺失率的軌跡重構(gòu)中表現(xiàn)出較強(qiáng)的魯棒性和穩(wěn)定性。重構(gòu)后的軌跡相比于真實(shí)軌跡偏差較小，且軌跡位置固定在航道內(nèi)，符合研究水域航道走向。