培養(yǎng)數(shù)學(xué)逆向思維 提升學(xué)生核心素養(yǎng)

福建省漳州市第一中學(xué) 黃素蘭

逆向思維是一種創(chuàng)造性思維，能輔助學(xué)生深度理解教學(xué)內(nèi)容與相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯性思維有著重要的作用。在初中教育階段這一學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)時(shí)期，應(yīng)當(dāng)為學(xué)生的逆向思維培養(yǎng)進(jìn)行合情合理策略的構(gòu)想，并在實(shí)踐中實(shí)施相關(guān)策略，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)逆向思維培養(yǎng)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、逆向設(shè)問，啟迪逆向思維意識(shí)

培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，首先就要在教學(xué)中逆向設(shè)問，讓學(xué)生通過逆向問題進(jìn)行相應(yīng)的逆向思考，從而啟迪學(xué)生逆向思維意識(shí)，打開逆向思考的窗口。在逆向問題的指引下，學(xué)生的分析也會(huì)更加得心應(yīng)手。

如在“有理數(shù)”這一節(jié)中，學(xué)生要學(xué)習(xí)到與有理數(shù)的概念相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，此時(shí)教師就可以向?qū)W生進(jìn)行逆向設(shè)問，啟迪學(xué)生的逆向思維意識(shí)。在認(rèn)知有理數(shù)這一概念時(shí)，以往常規(guī)的問題是有理數(shù)包含哪些類別，然后讓學(xué)生進(jìn)行整數(shù)、分?jǐn)?shù)等多個(gè)類別的概括，容易出現(xiàn)含糊的情況，且提問方式較為常規(guī)，不容易讓學(xué)生進(jìn)行相關(guān)概念的記憶。此時(shí)教師就可以進(jìn)行逆向設(shè)問，提問學(xué)生反方向的問題。教師首先引領(lǐng)學(xué)生閱讀教材內(nèi)容，讓學(xué)生了解有理數(shù)包括哪些類別的數(shù)字組成后，向?qū)W生提問：“與有理數(shù)有關(guān)的知識(shí)我們已經(jīng)了解了一部分，與有理數(shù)相對(duì)的無理數(shù)包括哪些數(shù)字？”學(xué)生此時(shí)就會(huì)根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)推斷出無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)這一概念。然后，教師向?qū)W生講解：“是的，對(duì)有理數(shù)和無理數(shù)這一對(duì)概念，我們只需要把握住準(zhǔn)確的無理數(shù)概念——無限不循環(huán)小數(shù)，除此之外的數(shù)字就是有理數(shù)，這樣這一概念就比較容易記憶，大家也能更好地區(qū)分哪些是有理數(shù)，例如我們生活中常見的整數(shù)、分?jǐn)?shù)都是有理數(shù)?！睂W(xué)生此時(shí)就理解了有理數(shù)、無理數(shù)之間的概念差別，通過緊緊把握無限不循環(huán)小數(shù)這一概念，實(shí)現(xiàn)對(duì)這一節(jié)內(nèi)容的深度學(xué)習(xí)。

這樣進(jìn)行逆向設(shè)問，可以讓學(xué)生進(jìn)行靈活思考，為學(xué)生的逆向意識(shí)形成打開有效的窗口，從而打破以往教學(xué)中存在的定勢(shì)，進(jìn)行創(chuàng)新的同時(shí)發(fā)散學(xué)生的思維，實(shí)現(xiàn)對(duì)逆向思維意識(shí)的有效培養(yǎng)。

二、逆用公式，提升思維靈活性

培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，還要求教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)公式的逆用，讓學(xué)生通過逆用公式實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)問題的求解。這種逆用公式的方法為學(xué)生的問題解決打開了新的思路，有效促進(jìn)了學(xué)生思維靈活性的提升。

如在“勾股定理”這一節(jié)中，學(xué)生要學(xué)習(xí)到與勾股定理相關(guān)的數(shù)學(xué)公式。此時(shí)教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)公式的逆用，提升學(xué)生的思維靈活性。在這一節(jié)中常規(guī)的題目是根據(jù)勾股定理計(jì)算斜邊邊長(zhǎng)，這種題目不能讓學(xué)生完全習(xí)得勾股定理。教師可以為學(xué)生出逆向利用公式的題目，讓學(xué)生進(jìn)行靈活解決?！拔覀刹靻T小王在距離東西向公路400 m處偵察，發(fā)現(xiàn)一輛敵方汽車在公路上行駛，他趕緊拿出紅外測(cè)距儀，測(cè)得汽車與他相距400 m，10 s后汽車與他相距500 m，你能計(jì)算汽車的速度嗎？”學(xué)生此時(shí)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這一題目屬于利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算的問題，但是已知的條件并不是兩條直角邊，而是一條直角邊和斜邊，學(xué)生此時(shí)就會(huì)進(jìn)行勾股定理的逆向應(yīng)用，根據(jù)斜邊500 m、直角邊400 m的情況，計(jì)算出另外一條直角邊為300 m的結(jié)果，而這輛汽車用了10 s行駛了300 m，即可得到汽車的速度為300÷10＝30 m／s，實(shí)現(xiàn)了逆用公式解答題目，有效提升了學(xué)生的思維靈活性。教師繼續(xù)向?qū)W生解釋道：“我們?cè)谶\(yùn)用勾股定理時(shí)，不能只通過直角邊的平方和進(jìn)行斜邊的計(jì)算，而是要學(xué)會(huì)根據(jù)任意兩條邊求第三邊的值，例如在這一題目中知道直角邊和斜邊求另一直角邊，這就需要我們熟悉勾股數(shù)都有哪些，在這一題目中出現(xiàn)的是3、4、5這一組勾股數(shù)，另外還有6、8、10，7、24、25，5、12、13這些，我們要形成逆向思維，不僅出現(xiàn)直角邊數(shù)字要迅速想到斜邊數(shù)字，出現(xiàn)斜邊數(shù)字也應(yīng)當(dāng)迅速反應(yīng)出相關(guān)直角邊數(shù)字?！?/p>

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行逆用公式，從相反的方向理解如何進(jìn)行題目解答，可以有效促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)逆向思維能力培養(yǎng)。在數(shù)學(xué)教材中存在許多可以進(jìn)行逆向使用的公式，教師要酌情選擇相關(guān)公式進(jìn)行使用，提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解深度。

三、逆向分析，執(zhí)果索因

培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，還要從逆向角度，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行相反的分析，讓學(xué)生通過反方向的分析，了解數(shù)學(xué)問題的前因后果，從結(jié)果入手推導(dǎo)出原因，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深度掌握，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)逆向思維的形成。

如在“一元一次方程”這一節(jié)中，就可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行逆向分析，因?yàn)榉匠瘫旧砭褪且环N典型的從結(jié)果出發(fā)進(jìn)行等式建構(gòu)的數(shù)學(xué)方法，因此教師可以運(yùn)用方程的題目讓學(xué)生進(jìn)行逆向分析。教師首先向?qū)W生出題：“某居民樓頂有一個(gè)底面直徑和高均為4 m的圓柱形儲(chǔ)水箱，我們現(xiàn)在將它的底面直徑由4 m減少為3．2 m，在容積不變的情況下，高度應(yīng)當(dāng)增加到多少米？”學(xué)生此時(shí)就會(huì)開始思考，底面直徑和高均為4 m，那么體積應(yīng)當(dāng)為16 m，而底面直徑減少到3．2 m時(shí)，其底面積變?yōu)榱?．56 m，此時(shí)16÷2．56，得到高應(yīng)當(dāng)為6．25 m。教師向?qū)W生講述：“與其我們這樣一步步的分析，不如直接從結(jié)果入手進(jìn)行一元一次方程的設(shè)置，我們先將水箱的高設(shè)為x，那么我們就可以得到體積相等的式子，即2×2×4＝1．6×1．6×x，這樣就可以直接通過結(jié)果得出等式，之后中間再進(jìn)行化簡(jiǎn)，可以簡(jiǎn)便運(yùn)算，得到結(jié)果?！睂W(xué)生就會(huì)了解到如何通過結(jié)果進(jìn)行逆向分析，教師繼續(xù)補(bǔ)充：“運(yùn)用這種執(zhí)果索因的方法，關(guān)鍵在于找到等量，運(yùn)用等式進(jìn)行計(jì)算?！?/p>

進(jìn)行逆向分析可以幫助學(xué)生從結(jié)果入手，了解數(shù)學(xué)問題的推導(dǎo)過程，從而節(jié)省理解問題的時(shí)間，幫助學(xué)生進(jìn)行高效的數(shù)學(xué)思考，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，在這一過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)逆向思維也被大大強(qiáng)化了。

四、反證，調(diào)轉(zhuǎn)思維方向

反證是指在數(shù)學(xué)問題的解決過程中從相反方向給出的數(shù)學(xué)證明方法，它打破了常規(guī)教學(xué)的思路，有效實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)問題的創(chuàng)新解答，促進(jìn)學(xué)生調(diào)轉(zhuǎn)思維方向，實(shí)現(xiàn)逆向思維的有效培養(yǎng)。

如在“平行線的判定”這一節(jié)中，教師可以讓學(xué)生運(yùn)用反證的方法，調(diào)轉(zhuǎn)自己的思維方向。教師首先向?qū)W生提出問題：“什么情況下兩直線平行？”學(xué)生會(huì)回答教師與內(nèi)錯(cuò)角、同位角、同旁內(nèi)角相關(guān)的判定定理。教師再提問學(xué)生：“大家看我黑板上畫的這兩條直線，已知角1等于角2，那么兩條直線平行嗎？”學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)角并不是同位角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯(cuò)角的關(guān)系，但是可以通過平角為180°推出同旁內(nèi)角其實(shí)是相等的。此時(shí)學(xué)生就會(huì)從判定兩者不平行的角度進(jìn)行分析，由于兩者的同旁內(nèi)角相等且不同為90°，因此同旁內(nèi)角不互補(bǔ)，因此兩直線不平行，這樣就實(shí)現(xiàn)了反證。

這樣運(yùn)用反證法進(jìn)行數(shù)學(xué)問題的解決，讓學(xué)生調(diào)轉(zhuǎn)了思維的方向，促進(jìn)了學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)，在這一過程中，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的理解思路由正向驗(yàn)證轉(zhuǎn)變?yōu)榱朔聪蛩伎迹行囵B(yǎng)了數(shù)學(xué)逆向思維。

五、主客互換，轉(zhuǎn)化矛盾

主客互換是指在數(shù)學(xué)解題時(shí)，把常量換為變量，從而達(dá)到轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)矛盾的目的。它將題目中的已知條件轉(zhuǎn)變?yōu)榭刹僮鳌⒖勺儞Q的變量，有效實(shí)現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)問題創(chuàng)新性解答，實(shí)現(xiàn)了對(duì)學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)。

如在“一元一次不等式”這一節(jié)中，教師可以讓學(xué)生針對(duì)題目中的條件進(jìn)行主客互換，實(shí)現(xiàn)矛盾轉(zhuǎn)化。在“－x＋1＞7x－3”這一題目中，學(xué)生需要求出x的取值范圍，為了使不等式兩邊盡量簡(jiǎn)化，就需要在兩邊同時(shí)加減整數(shù)實(shí)現(xiàn)去常量的目的，此時(shí)常量就會(huì)發(fā)生變動(dòng)，學(xué)生將兩邊同時(shí)加3，就變味了－x＋4＞7x，這樣就可以直接移項(xiàng)得到結(jié)果。

主客互換雖然沒有直接采用逆向的解題方法，但它通過對(duì)數(shù)學(xué)問題中變量常量的轉(zhuǎn)換，有效實(shí)現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)問題的創(chuàng)新解答，也是屬于逆向思維的一種。這種主客互換的方式有較大的條件限制，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效的情況區(qū)分。

在核心素養(yǎng)背景下，初中數(shù)學(xué)教師要有針對(duì)性地培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，幫助學(xué)生養(yǎng)成多角度、全方位思考問題的良好習(xí)慣，確保數(shù)學(xué)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中得到充分、合理的運(yùn)用。