線上線下教育環(huán)境下大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)方法的研究與實(shí)踐*

董留栓 霍振宏 喬松珊 張躍進(jìn) 谷艷華

（1.鄭州經(jīng)貿(mào)學(xué)院公共教學(xué)部 河南鄭州 451191；2.中原工學(xué)院理學(xué)院 河南鄭州 450007）

一、研究的背景

大學(xué)數(shù)學(xué)是工科及經(jīng)管各專(zhuān)業(yè)所開(kāi)設(shè)的重要基礎(chǔ)課，包括高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)和概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，同時(shí)也是多數(shù)專(zhuān)業(yè)考研的必考課。國(guó)外高校大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)注重知識(shí)的引入背景，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，設(shè)置具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神、實(shí)踐能力與合作意識(shí)。國(guó)內(nèi)高校大學(xué)數(shù)學(xué)課教學(xué)大多以教師為中心，學(xué)生被動(dòng)接受知識(shí)，注重學(xué)生的計(jì)算能力，忽略知識(shí)的引入背景，學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性不高，創(chuàng)新意識(shí)不強(qiáng)。因此在大學(xué)數(shù)學(xué)課程中提出符合時(shí)代特征的教學(xué)方法和手段，對(duì)提高學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力與數(shù)學(xué)素質(zhì)培養(yǎng)起著重要的作用。大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)應(yīng)當(dāng)以培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識(shí)的能力為主線，以“應(yīng)用”為主旨設(shè)置課程、構(gòu)建自己的課程知識(shí)體系，增強(qiáng)實(shí)用性和針對(duì)性，以“必需”“夠用”為度，通過(guò)講清基本概念、基本理論、知識(shí)背景及應(yīng)用使學(xué)生掌握分析問(wèn)題的思路和方法，進(jìn)而使“應(yīng)用”得到強(qiáng)化。為滿足學(xué)生學(xué)習(xí)的需要，將大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)分為基礎(chǔ)模塊、應(yīng)用模塊和提高模塊。通過(guò)基礎(chǔ)模塊的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)；通過(guò)應(yīng)用模塊的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以將學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)與專(zhuān)業(yè)知識(shí)有機(jī)結(jié)合；通過(guò)提高模塊的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以參加考研及與數(shù)學(xué)相關(guān)的競(jìng)賽活動(dòng)。上述教學(xué)方法實(shí)施以來(lái)收效明顯。針對(duì)我校應(yīng)用型技術(shù)人才培養(yǎng)的定位，突出培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力，基礎(chǔ)課程學(xué)時(shí)大量地縮減，由于我校大部分學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一般，自主學(xué)習(xí)能力較弱，只靠教師的線下講解學(xué)生很難完全接受和掌握知識(shí)并完成教學(xué)任務(wù)，開(kāi)展線上線下相結(jié)合的教學(xué)模式以彌補(bǔ)數(shù)學(xué)課程學(xué)時(shí)的不足。2018年董留栓老師參加了中西部高校非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課教師暑期研修班后，把學(xué)到的先進(jìn)教學(xué)理念及方法推廣到教學(xué)中去，在部分班級(jí)嘗試學(xué)生線上線下學(xué)習(xí)，課前提出問(wèn)題集中討論，課中解決重要知識(shí)點(diǎn)及學(xué)生遇到的疑難問(wèn)題，課外布置研討題目，以宿舍為單位開(kāi)展討論解決實(shí)時(shí)遇到的問(wèn)題，效果顯著。

在大力提倡教師應(yīng)以“學(xué)生為中心”、克服滿堂灌的教學(xué)方法的背景下，教師通過(guò)課堂精講、師生互動(dòng)、答疑解惑，學(xué)生通過(guò)線上自學(xué)、開(kāi)展課堂內(nèi)外討論、培養(yǎng)自學(xué)能力、克服困難的勇氣及團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神方面的教學(xué)方法的研究已迫在眉睫。

二、線上線下教育環(huán)境下大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)方法研究

1.研究目標(biāo)

本課題將以高等數(shù)學(xué)A課程為例，通過(guò)大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)方法的研究與實(shí)踐，使學(xué)生具備必備的數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)在學(xué)習(xí)專(zhuān)業(yè)知識(shí)時(shí)做到較好銜接，通過(guò)課堂精講，使學(xué)生掌握系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)、運(yùn)算能力、邏輯思維及應(yīng)用背景，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。通過(guò)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，提高學(xué)生廣泛獵取知識(shí)、探索知識(shí)及自主學(xué)習(xí)的能力。通過(guò)開(kāi)展課內(nèi)外學(xué)習(xí)討論，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增加求知欲，體驗(yàn)學(xué)習(xí)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)合作精神。教師積極參與學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，讓學(xué)生敢于提出、分析和解決問(wèn)題。通過(guò)現(xiàn)代信息技術(shù)的合理應(yīng)用，擴(kuò)大信息量，提高教學(xué)效率。利用網(wǎng)上優(yōu)質(zhì)資源，實(shí)現(xiàn)線上線下結(jié)合學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力。通過(guò)案例教學(xué)引入思政元素使課本知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活緊密結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)情懷并達(dá)到學(xué)以致用的效果。

2.研究?jī)?nèi)容

（1）合理分配學(xué)時(shí)，注重對(duì)學(xué)生雙基的培養(yǎng)

合理分配精講與自學(xué)的學(xué)時(shí)。修訂教學(xué)大綱，科學(xué)編排精講教學(xué)內(nèi)容與自學(xué)內(nèi)容，編寫(xiě)教學(xué)設(shè)計(jì)，制作PPT課件，精選與專(zhuān)業(yè)結(jié)合案例和思政案例。精講的教學(xué)內(nèi)容，突出重點(diǎn)知識(shí)和背景，突破難點(diǎn)，化解疑點(diǎn)，自學(xué)內(nèi)容，注重對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力的培養(yǎng)，注重問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，從問(wèn)題的目標(biāo)出發(fā)引導(dǎo)學(xué)生來(lái)研究解決的反向設(shè)計(jì)，以便于實(shí)現(xiàn)課堂精講的目的。

（2）教學(xué)方法研究的實(shí)施方案

①采用互動(dòng)式的教學(xué)方法，動(dòng)在熱點(diǎn)，動(dòng)在重點(diǎn)，動(dòng)在疑點(diǎn)，激發(fā)興趣，易于爭(zhēng)辯，由淺入深。積極探索以“學(xué)生為中心”的多種教學(xué)模式：課內(nèi)外結(jié)合，團(tuán)隊(duì)學(xué)習(xí)，翻轉(zhuǎn)課堂，研究式、討論式等互動(dòng)式教學(xué)方法。

②對(duì)各章節(jié)的內(nèi)容嘗試學(xué)生自主學(xué)習(xí)法，從專(zhuān)業(yè)需求和學(xué)生實(shí)際出發(fā)嘗試分層教學(xué)，對(duì)不同學(xué)習(xí)程度的學(xué)生布置不同的作業(yè)及學(xué)習(xí)任務(wù)，使學(xué)生都得到進(jìn)步。修訂或制定教學(xué)內(nèi)容，同時(shí)布置一些相關(guān)的研究型題目，培養(yǎng)學(xué)生探索知識(shí)與合作的意識(shí)與能力。

③以宿舍為單位成立討論小組，消化學(xué)過(guò)的知識(shí)，預(yù)習(xí)新知識(shí)，敢于提出具有挑戰(zhàn)性的新問(wèn)題，通過(guò)討論或查閱資料嘗試自己解決問(wèn)題。以班級(jí)為單位成立數(shù)學(xué)興趣小組，解決挑戰(zhàn)性的問(wèn)題。必要時(shí)在課堂上讓學(xué)生把自己的思想和方法分享給同學(xué)。

④總結(jié)國(guó)內(nèi)外高校數(shù)學(xué)教學(xué)方法，針對(duì)學(xué)生的實(shí)際情況有效地采用現(xiàn)代化教學(xué)手段，同時(shí)完善適合自己學(xué)生學(xué)習(xí)的在線開(kāi)放課程。

⑤精選課后習(xí)題，增加考研真題的練習(xí)和講解，實(shí)現(xiàn)學(xué)生課堂練習(xí)，課外做作業(yè)。

⑥通過(guò)開(kāi)設(shè)公選課、組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)，向?qū)W生傳授提高模塊知識(shí)，力爭(zhēng)取得優(yōu)異的成績(jī)。

（3）改革評(píng)價(jià)的方式

評(píng)價(jià)學(xué)生由單一化向多元化轉(zhuǎn)變。注重學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程。平時(shí)成績(jī)?cè)黾诱n外線上學(xué)習(xí)、課堂討論及研究型學(xué)習(xí)所占的比重，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性與主動(dòng)性。

三、線上線下教育環(huán)境下大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)方法的實(shí)踐

1.數(shù)學(xué)知識(shí)按模塊教學(xué)

根據(jù)學(xué)生的專(zhuān)業(yè)特點(diǎn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的需求，開(kāi)設(shè)高等數(shù)學(xué)A（適合工科各專(zhuān)業(yè)）和高等數(shù)學(xué)B（適合經(jīng)管類(lèi)各專(zhuān)業(yè)）兩門(mén)課程，制定教學(xué)大綱、教學(xué)日歷、電子課件及電子教案，課堂均按模塊化實(shí)施教學(xué)。

基礎(chǔ)模塊，重點(diǎn)講解函數(shù)與極限，導(dǎo)數(shù)與中值定理，微分與積分，微分方程與級(jí)數(shù)。弱化極限的性質(zhì)、泰勒中值定理、重積分中相關(guān)定理等問(wèn)題的煩瑣證明，注重知識(shí)的引入背景、定理成立的條件及應(yīng)用。比如導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)最值的應(yīng)用、積分的應(yīng)用等。高等數(shù)學(xué)A注重講解導(dǎo)數(shù)及積分的幾何應(yīng)用和物理應(yīng)用，傅里葉級(jí)數(shù)在電氣自動(dòng)化及信息工程中的應(yīng)用，誤差估計(jì)在預(yù)算及測(cè)量中的應(yīng)用等。高等數(shù)學(xué)B弱化對(duì)重積分特別是三重積分，曲線曲面積分計(jì)算的掌握，注重講解數(shù)學(xué)知識(shí)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用。如經(jīng)濟(jì)函數(shù)、凹凸性的經(jīng)濟(jì)意義及一階差分方程在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用等。

與專(zhuān)業(yè)結(jié)合模塊，體現(xiàn)專(zhuān)業(yè)性，使教學(xué)內(nèi)容與專(zhuān)業(yè)知識(shí)緊密相連。通過(guò)與專(zhuān)業(yè)課教師的交流及各個(gè)學(xué)院及兄弟院校的調(diào)研，根據(jù)專(zhuān)業(yè)發(fā)展需要調(diào)整教學(xué)內(nèi)容。如對(duì)智慧智造學(xué)院的學(xué)生重點(diǎn)講傅里葉級(jí)數(shù)；對(duì)機(jī)自專(zhuān)業(yè)的學(xué)生重點(diǎn)講質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和曲率；對(duì)建筑學(xué)院的學(xué)生講解近似計(jì)算及誤差分析；對(duì)會(huì)計(jì)學(xué)院的學(xué)生要重點(diǎn)講經(jīng)濟(jì)函數(shù)及凹凸性在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用；對(duì)管理學(xué)院的學(xué)生講一階差分方程模型在經(jīng)濟(jì)管理方面的應(yīng)用。同時(shí)收集整理與專(zhuān)業(yè)結(jié)合的案例和思政案例，以便實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)與專(zhuān)業(yè)知識(shí)的有效銜接。

應(yīng)用提高模塊，通過(guò)開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)提高課，開(kāi)展數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)，滿足部分學(xué)生的考研需求。針對(duì)基礎(chǔ)模塊中沒(méi)有講授，或者講授深度不夠的知識(shí)也可以通過(guò)優(yōu)學(xué)院上創(chuàng)建的在線開(kāi)放課程或數(shù)學(xué)興趣討論學(xué)習(xí)小組實(shí)現(xiàn)這些知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)。每期開(kāi)設(shè)多門(mén)公選課比如數(shù)學(xué)的實(shí)踐與應(yīng)用、數(shù)學(xué)文化欣賞和模糊數(shù)學(xué)及其應(yīng)用，以豐富學(xué)生的課外知識(shí)，提高學(xué)生的綜合能力。

2.教學(xué)方法研究的實(shí)施效果

（1）采用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式與互動(dòng)式的教學(xué)方法，學(xué)生積極參與課堂，教師巧妙設(shè)問(wèn)，通過(guò)問(wèn)題引入，團(tuán)隊(duì)學(xué)習(xí)，翻轉(zhuǎn)課堂，研究式，討論式，答疑解惑等互動(dòng)式教學(xué)方法。采用課內(nèi)外結(jié)合，講練結(jié)合，自主學(xué)習(xí)與合作學(xué)習(xí)相結(jié)合，真正實(shí)現(xiàn)以“學(xué)生為中心”的教學(xué)模式。特別是角色互換法，即讓學(xué)生當(dāng)老師體驗(yàn)講解及答疑問(wèn)題，體驗(yàn)備課及駕馭課堂的不易，自身理解與讓學(xué)生理解轉(zhuǎn)變過(guò)程，如何實(shí)現(xiàn)師生互動(dòng)等，教師當(dāng)即點(diǎn)評(píng)，肯定優(yōu)點(diǎn)并提出存在問(wèn)題及不足，實(shí)施一年來(lái)教學(xué)效果顯著，學(xué)生參與的熱情高漲，提高了自身的綜合能力，加深了對(duì)教師職業(yè)的理解，增進(jìn)了師生的感情。

（2）對(duì)各章節(jié)的內(nèi)容嘗試學(xué)生自主學(xué)習(xí)法，比如反三角函數(shù)，積分表的使用，函數(shù)的極值與最值，定積分的物理應(yīng)用，向量，多元函數(shù)的性質(zhì)，重積分的應(yīng)用，一般周期的傅里葉級(jí)數(shù)的展開(kāi)等。從專(zhuān)業(yè)需求和學(xué)生實(shí)際出發(fā)嘗試分層教學(xué)（比如：討論的內(nèi)容和布置的作業(yè)體現(xiàn)對(duì)不同學(xué)生的要求），優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，布置研究型的題目，比如探究椅子在不平坦的地面上能夠放穩(wěn)嗎？打磨一個(gè)構(gòu)件怎樣選擇砂輪的直徑？怎樣估計(jì)未來(lái)五年人口的數(shù)量及怎樣控制疫情的傳播？培養(yǎng)學(xué)生的探索意識(shí)、合作意識(shí)及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

（3）以宿舍為單位成立討論小組，實(shí)行組長(zhǎng)負(fù)責(zé)制，預(yù)習(xí)新知識(shí)，鞏固舊知識(shí)，敢于質(zhì)疑，敢于提出問(wèn)題并爭(zhēng)辯問(wèn)題，通過(guò)討論或查閱文獻(xiàn)資料嘗試自己解決問(wèn)題。把宿舍討論的內(nèi)容制作成短視頻并按時(shí)提交，教師審閱后評(píng)選優(yōu)秀的視頻與大家分享，并把視頻中存在問(wèn)題及時(shí)進(jìn)行解決并給學(xué)生講解討論的切入點(diǎn)，如何展開(kāi)，如何總結(jié)等。教師以班級(jí)為單位成立數(shù)學(xué)興趣小組，定期開(kāi)展活動(dòng)，布置課外研究型題目，解決具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題。不斷分享自己的勞動(dòng)成果，促進(jìn)大家共同成長(zhǎng)。通過(guò)建立微信群或釘釘群與學(xué)生及時(shí)互動(dòng)，定期開(kāi)展講評(píng)活動(dòng)，拉近師生間的距離，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

（4）總結(jié)國(guó)內(nèi)外高校高等數(shù)學(xué)教學(xué)方法的基礎(chǔ)上，針對(duì)學(xué)生的實(shí)際，學(xué)習(xí)借鑒國(guó)外好的做法，教師多提出問(wèn)題，給學(xué)生充分的想象空間，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，探究知識(shí)，分享學(xué)習(xí)成果。同時(shí)豐富和完善在線開(kāi)放課程資源，實(shí)現(xiàn)資源共享。

（5）精選課后習(xí)題，補(bǔ)充競(jìng)賽和考研真題，使不同程度的學(xué)生的成績(jī)均得到提高。

（6）通過(guò)開(kāi)設(shè)大學(xué)數(shù)學(xué)選講、數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)的實(shí)踐與應(yīng)用等公選課、組織學(xué)生參加全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模、美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽與數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)，不斷探索培訓(xùn)的新模式，實(shí)行線上線下培訓(xùn)、平時(shí)培訓(xùn)與暑假集中培訓(xùn)相結(jié)合的方法，取得了明顯的效果，每年的各類(lèi)競(jìng)賽均取得了優(yōu)異的成績(jī)，考研數(shù)學(xué)成績(jī)通過(guò)率明顯上升，既豐富了學(xué)生的課外知識(shí)，又培養(yǎng)了學(xué)生的綜合能力。

（7）將課程思政引入教學(xué)，講函數(shù)極限的概念時(shí)，引入莊子的“一尺之錘日取其半”的案例和劉徽的“割圓術(shù)”案例，用我國(guó)古代數(shù)學(xué)取得的偉大成就激發(fā)學(xué)生的愛(ài)國(guó)情懷，傳承中國(guó)優(yōu)秀文化。講函數(shù)的連續(xù)性時(shí)，引入 “綠水青山就是金山銀山”案例，讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到保護(hù)生態(tài)環(huán)境的重要性和緊迫性，從小事做起，做力所能及的事情，增強(qiáng)責(zé)任意識(shí)。講極值和最值時(shí)，通過(guò)引入數(shù)學(xué)家的故事，讓學(xué)生明白生活中的極小值和極大值都是暫時(shí)的，在遇到人生低谷的時(shí)候，不應(yīng)該悲觀，遇到高峰的時(shí)候不要張揚(yáng)，認(rèn)識(shí)到人生起落是正常的，低谷與高峰都是轉(zhuǎn)折點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生抵抗挫折的意志和寬闊的胸襟。

3.改革評(píng)價(jià)的方式

對(duì)學(xué)生成績(jī)的評(píng)價(jià)采用多元化模式。學(xué)習(xí)國(guó)外先進(jìn)經(jīng)驗(yàn)（成績(jī)分家庭作業(yè)，每周小測(cè)驗(yàn)，期中和期末評(píng)價(jià)），注重學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程。平時(shí)成績(jī)?cè)黾诱n外線上學(xué)習(xí)、課堂討論及研究型學(xué)習(xí)所占的比重，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性與主動(dòng)性。

4.教學(xué)方法的推廣

教學(xué)方法采用先在部分班級(jí)嘗試，及時(shí)改進(jìn)不足，然后推廣到所有班級(jí)，收效顯著。同時(shí)把改革與實(shí)踐的成果向兄弟院校推廣，取得了較好的效果。