如何培養(yǎng)中高貫通學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力

周蕓輝

（上海市浦東外事服務(wù)學(xué)校 上海 201204）

中高職貫通培養(yǎng)模式的學(xué)生起點都是從初中畢業(yè)后通過中考進(jìn)行篩選后進(jìn)入學(xué)校的，他們分?jǐn)?shù)段要高于一般的中職學(xué)生。通過多年教學(xué)發(fā)現(xiàn)，大部分中高貫通學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣較好，但是學(xué)習(xí)主動性不高，由于與高校貫通，高校對這類學(xué)生的文化基礎(chǔ)課有一定的要求，我所教的中高貫通班采用的是高中數(shù)學(xué)教材。筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生對于基本知識點的理解掌握得較快，但是對于比較復(fù)雜的問題，他們一般無法快速找到合適的解題方法，又由于學(xué)習(xí)主動性不高，學(xué)生通常會出現(xiàn)畏難的情緒，從而放棄解題。針對這個現(xiàn)象，筆者認(rèn)為在中職階段培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力非常重要，通過培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，幫助他們了解問題，發(fā)現(xiàn)問題并轉(zhuǎn)化成已知的題型加以解決。在眾多的解題思維方法中，筆者認(rèn)為“觀察與分析”“聯(lián)想與轉(zhuǎn)化”這兩種尤為重要。

函數(shù)求最值是高中數(shù)學(xué)教材中的一個重點，對于中高職學(xué)生而言，也是一個難點。

本文就以形如f(x)=ax+(a,b∈R,a≠ 0,b≠ 0)（以下皆同）的函數(shù)與形如的函數(shù)的最值問題為例，探討一下如何培養(yǎng)中高貫通學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

思維方法一：觀察與分析

當(dāng)遇到簡單的函數(shù)，可以通過觀察了解問題、發(fā)現(xiàn)問題，然后分析解決問題。

函數(shù)最值的問題通常與函數(shù)的單調(diào)性有著密切的聯(lián)系。因此，學(xué)生要解決f(x)=ax+的最值問題，首先要了解此函數(shù)的單調(diào)性。通過觀察，利用已知的基本函數(shù)的性質(zhì)，容易求得函數(shù)f(x)=ax+其定義域為(-∞,0) ∪ (0,+∞)，它是奇函數(shù)。就a，b的符號可分為四種情況：①a＞0，b＞0，②a＜0，b＞0，③a＞0，b＞0，④a＜0，b＜1現(xiàn)分別就這四種情況指導(dǎo)學(xué)生觀察分析其單調(diào)性，并利用單調(diào)性求出有關(guān)函數(shù)的最值。

1.當(dāng)a＞ 0,b＜ 0時，f(x)的單調(diào)性

若a＞0,b＜ 0，此時顯然，y=ax與在(0,+∞)上均單調(diào)遞增。根據(jù)兩個增函數(shù)在公共定義域上，其和為增函數(shù)的性質(zhì)。

圖1 a＞ 0,b＜ 0時 f (x)的圖像

例1.求函數(shù)f(x)=3x-(2≤x≤4) 的最值。

解：將函數(shù)f(x)=

因為a=3 ＞ 0，b=-8 ＜ 0，所以f(x)在[2，4]上單調(diào)遞增

故f(x)min=f(2)=2，f(x)max=f(4)=10。

2.當(dāng)a＜ 0,b＞ 0時f(x)的單調(diào)性。

若a＜ 0,b＞ 0，此時y=ax與在(0,+∞)上均單調(diào)遞減，同理，容易得到此時函數(shù)有兩個單調(diào)遞減區(qū)間，其圖像大致如圖2所示。

圖2 a＜ 0,b＞ 0時 f (x)的圖像

其圖像大致如圖3所示。就是上述第三種情況，而f(x) 與u(x) 的單調(diào)性相反，最值求解也相反。

圖3 a＞ 0,b＞ 0時 f (x)的圖像

遇到上述這類函數(shù)，可以通過觀察，將需要研究的函數(shù)分解成已知的基本函數(shù)，然后通過分析單調(diào)性。

思維方法二：聯(lián)想與轉(zhuǎn)化

聯(lián)想是問題轉(zhuǎn)化的橋梁，稍具難度的問題與基礎(chǔ)知識的聯(lián)系，都是不明顯的、間接的、復(fù)雜的。此時需要對問題做出相應(yīng)的聯(lián)想，將問題打開缺口，不斷深入。通過聯(lián)想，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題加以解決。

并將問題轉(zhuǎn)化為這類函數(shù)的最值問題加以解決。

例7.有一批抗疫物資隨26輛汽車從某市以每小時v千米的速度直達(dá)疫區(qū)，如果兩地公路線長400千米，兩輛汽車的間距不得小于千米，那么這批物資全部到達(dá)疫區(qū)，最少需要多少小時？

分析：為解實際問題，首先要建立目標(biāo)函數(shù)，即時間的函數(shù)關(guān)系式，然后求時間t的最值。

綜上所述，如何培養(yǎng)中高貫通學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，首先要指導(dǎo)學(xué)生掌握兩個基本思維方法：觀察與分析，聯(lián)想與轉(zhuǎn)化。在遇到問題時，培養(yǎng)學(xué)生善于觀察，通過觀察發(fā)現(xiàn)問題的實質(zhì)，然后運用已知的知識點分析題目并加以解決。當(dāng)問題較為復(fù)雜時，培養(yǎng)學(xué)生善于聯(lián)想，根據(jù)題目的特征進(jìn)行聯(lián)想，找到與之對應(yīng)的簡單問題，通過一定的方法，將問題轉(zhuǎn)化，從而解決問題。當(dāng)學(xué)生掌握了這兩種基本的數(shù)學(xué)思維方法，遇到難題不再慌張。