等仿射曲線收縮流的Harnack不等式

于延華, 金 伶

(東北大學(xué) 理學(xué)院, 遼寧 沈陽 110819)

在幾何分析領(lǐng)域,微分Harnack不等式是一個(gè)重要的研究課題.20世紀(jì)60年代初,Moser[1]首次引入了線性拋物型微分方程正解的Harnack不等式.此后,Li和Yau[2]研究了完備黎曼流形上的拋物型方程,并利用最大值原理得到了黎曼流形上熱方程ut=Δu正解的梯度估計(jì)和Harnack不等式.Hamilton[3-5]用同樣的方法進(jìn)一步證明了Ricci流上的Harnack不等式以及一些非線性方程的平均曲率流上的Harnack不等式.以上研究奠定了微分Harnack不等式的基礎(chǔ),故此類微分估計(jì)也被稱為“Li-Yau-Hamilton”型(LYH型)估計(jì).近幾十年來,微分Harnack不等式成為了幾何分析領(lǐng)域中主要的研究對象之一,許多學(xué)者在這領(lǐng)域作出了重大貢獻(xiàn)[6-7].

同時(shí),幾何流在近些年來也逐漸成為了幾何研究的熱點(diǎn)內(nèi)容[8-9],而且發(fā)展迅速.Gage等[10]證明了當(dāng)初始嵌入曲線是平面簡單閉凸曲線時(shí),凸曲線在有限時(shí)間內(nèi)收縮到一個(gè)點(diǎn).1987年,Grayson[11]證明了嵌入平面中的任何閉合曲線在有限時(shí)間內(nèi)變?yōu)橥骨€,并最終收縮到一個(gè)點(diǎn).1994年,Sapiro等[12]對凸曲線考慮了歐幾里得曲線收縮流的仿射模擬，在此情況下,演化曲線的速度是由仿射法向量給出.此后,Andrews[13]將上述結(jié)果推廣到了根據(jù)其仿射法線移動(dòng)的凸超曲面.此外,Angenent等[14]研究了關(guān)于非凸曲線的仿射熱方程.

基于上述的研究成果,本文將等仿射曲線收縮流和微分Harnack不等式問題相結(jié)合,旨在研究等仿射曲線收縮流的微分Harnack不等式性質(zhì).

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)C(p):S1→R2(S1表示單位圓)為光滑嵌入曲線, 其中p為一般參數(shù).取參數(shù)s使得曲線C的表達(dá)式為r=r(s)，且滿足條件：

[rs,rss]=1 ,

(1)

文中[·,·]表示2×2階矩陣的行列式,其中,

除非特殊說明,本文均假設(shè)曲線以s為參數(shù),映射都是充分光滑的,且等仿射度量g在曲線的每一點(diǎn)都不等于零.

在式(1)兩邊同時(shí)對s求導(dǎo),可得

[rs,rsss]=0.

即存在函數(shù)κ=κ(s)使得

rsss+κrs=0.

則等仿射曲率可定義為

κ(s)=[rss,rsss].

(2)

此時(shí)等仿射曲線演化方程有如下形式:

本文假設(shè)等仿射曲線均為嚴(yán)格凸曲線,即為具有嚴(yán)格正曲率的曲線，且初始曲線記為r(·,0)=r0(·).

(3)

另一方面,由

(4)

由式(2)可得κ(s)對時(shí)間t的變化為

(5)

更進(jìn)一步地,計(jì)算Ns的演化方程得

故易知,

因此,等仿射曲率的演化方程為

(6)

2 主要結(jié)論

2.1 微分Harnack不等式

?τ?s=?s?τ+2κ?s,

(7)

(8)

若令u=u(s,τ)=lnκ(s,τ),則式(8)可改寫為

(9)

借鑒式(9)的表達(dá)形式,定義一類新的Harnack量為

(10)

其中:a,b∈R;φ(τ)為關(guān)于變量τ的函數(shù).

假設(shè)本文所研究的閉凸等仿射曲線的Harnack量均用表達(dá)式(10).下面先研究該Harnack量的演化方程.

(11)

證明 在計(jì)算Harnack量的演化方程前,作如下說明:由式(10)可知Harnack量與函數(shù)φ(τ)相關(guān),當(dāng)φ(τ)已知時(shí),為保證Harnack量為正值,利用最大值原理進(jìn)行下述討論: 在τ→0時(shí),φ(τ)必須取非常大的值以保證Harnack量為正值.在上述假定下,開始計(jì)算Harnack量的演化方程.

對式(10)關(guān)于τ求導(dǎo)得

(12)

(uss)τ=(uτ)ss+2κsus+4κuss.

(13)

另一方面,易知

將其代入式(13)有

(14)

(15)

又由于式(9),因此可得

即

將其代入式(15),可得

(16)

將式(14)和式(16)代入式(12),可以得到Harnack量的演化方程的具體表達(dá)式為

定理1得證.

得到上述Harnack量的演化方程后,進(jìn)一步研究Harnack量的非負(fù)性.將φ(τ)取具體函數(shù)形式后,可以得到如下結(jié)論.

證明 用反證法證明該定理.假設(shè)存在某一時(shí)間使得h(s,τ)≤0成立.

由于在定理1的證明過程中,已假設(shè)φ(τ)→+∞(τ→0),即a<1,η<2時(shí)，h(s,τ)>0.因此,必然存在某一時(shí)間τ=τ0>0，使minh(s,τ)=0.不妨假設(shè)h(s0,τ0)=0,由最大值原理可得在(s0,τ0)處有

hτ≤0,hs=0,hss≥0.

由于h(s0,τ0)=0,則

因此,在(s0,τ0)處,式(11)可表示為

從而,易得不等式:

8φeu+φτ≤0 .

(17)

2(1-a)(aY+bX+φ)2+

(6+4a-2b)XY-4bX2-8φX+φτ≤0,

即

(6+4a-2b+4ab(1-a))XY+

(4b(1-a)-8)φX+4a(1-a)φY+

2(1-a)φ2+φτ≤0.

將不等式的左端分解為如下4項(xiàng):

W2=(6+4a-2b+4ab(1-a))XY；

W3=(4b(1-a)-8)φX；

W4=4a(1-a)φY+2(1-a)φ2+φτ.

即有如下不等式：

W1+W2+W3+W4≤0 .

因此,只需證明存在參數(shù)使得

W1+W2+W3+W4>0，

即可產(chǎn)生矛盾.

下面分別討論W1,W2,W3,W4的非負(fù)性.

由上述對W1,W2,W3的分析可得,b滿足如下不等式時(shí),W1,W2,W3均為非負(fù),

對W4,由于0≤a<1,Y≥0,φ為正,則4a(1-a)φY≥0.記W=2(1-a)φ2+φτ.從而有W4≥W.

將φ(τ),φτ代入W,可得

當(dāng)η滿足1<η<2時(shí),W中的所有項(xiàng)均為正,即W4≥W>0.

由以上分析可知,確實(shí)存在條件使W1+W2+W3+W4>0.故假設(shè)不成立,即不存在使h(s,τ)<0的某一時(shí)間τ.又因假設(shè)φ(τ)→+∞(τ→0),故Harnack量在任意時(shí)刻始終為非負(fù)值.

與此同時(shí),由上述證明過程易知τ>0時(shí),h(s,τ)的系數(shù)滿足

定理2得證.

在定理2的結(jié)論下,將閉凸等仿射曲線的Harnack量中的參數(shù)取定值,即令a=0(0≤a<1),b=2,故閉凸等仿射曲線Harnack量可以寫為

其中1<η<2.

將上述表達(dá)形式的閉凸等仿射曲線的Harnack量稱為閉凸等仿射曲線的Hamilton’s Harnack量,并用該Harnack量研究閉凸等仿射曲線的Hamilton’s Harnack不等式.

定理3設(shè)C為等仿射曲線收縮流下的一族閉凸等仿射曲線,其Harnack量為

其中1<η<2,且u=lnκ,則有h(s,τ)≥0,且等仿射曲率κ滿足不等式

證明 首先,證明Harnack量為非負(fù),即

由定理1易知,上述閉凸等仿射曲線的Harnack量演化方程為

在該演化方程下,與定理2類似,用反證法證明該推論,即先假設(shè)存在某一時(shí)間使得h(s,τ)≤0成立,再尋找矛盾,從而證明h(s,τ)≥0.由定理2的證明過程可知,必然存在τ=τ0>0使minh(s,τ)=0.若h(s0,τ0)=0,則由最大值原理可得在(s0,τ0)處

hτ≤0,hs=0,hss≥0成立.

故在(s0,τ0)處,Harnack量的演化方程可寫為

另一方面,由于h(s0,τ0)=0,故有

因此,在(s0,τ0)處,易得以下不等式:

由于1<η<2,τ>0,顯然假設(shè)并不成立,即不存在使h(s,τ)<0的某一時(shí)間τ.所以,閉凸等仿射曲線的Harnack量在任意時(shí)刻始終滿足h(s,τ)≥0.

下面證明等仿射曲率κ滿足不等式：

此外,u=lnκ,從而經(jīng)過簡單計(jì)算和變換,可得上述不等式的等價(jià)形式如下:

定理3得證.

2.2 經(jīng)典Harnack不等式

在2.1節(jié)中,已經(jīng)得到了閉凸等仿射曲線的Harnack不等式.下面沿時(shí)空路徑積分Harnack不等式,可推導(dǎo)出經(jīng)典的Harnack不等式.

κ(s1,τ1)≤

其中:1<η<2;d(s1,s2)為s1與s2之間的距離.

因此,結(jié)合u沿著C的演化方程可得

又由柯西-施瓦茲(Cauchy-Schwarz)不等式,可知

若令Harnack量中參數(shù)a,b分別滿足2a≤1,b≤4,則上述不等式可化簡為

即式(18)成立:

(18)

將式(18)沿著C作積分,易得

ξ(s1,τ1,s2,τ2)≤

由于C(s,τ)是仿射空間內(nèi)連接(s1,τ1),(s2,τ2)的任意時(shí)空曲線,故沿著時(shí)空路徑積分,速度不變,那么有

故可得

又由于u(s,τ)=lnκ(s,τ),則

因此,上述不等式等價(jià)于:

κ(s1,τ1)≤

定理4得證.

3 結(jié) 語

本文將等仿射曲線收縮流和微分Harnack不等式問題相結(jié)合,研究了等仿射曲線收縮流下一族閉凸等仿射曲線的Harnack不等式.首先,尋找到了閉凸等仿射曲線Harnack量的演化方程,并在該演化方程下證明了閉凸等仿射曲線Harnack量的非負(fù)性,即證明了閉凸等仿射曲線的Harnack不等式.其次,在閉凸等仿射曲線Harnack量的非負(fù)性的基礎(chǔ)上進(jìn)一步證明了閉凸等仿射曲線的Hamilton’s Harnack不等式.最后基于閉凸等仿射曲線Harnack不等式研究了經(jīng)典的Harnack不等式.本文提供了微分Harnack不等式研究的一個(gè)新的方向,在此基礎(chǔ)上還可以研究等仿射曲線收縮流下一族閉凸等仿射曲線的弱Harnack不等式等.