利用單位圓玩轉(zhuǎn)三角函數(shù)性質(zhì)

王定暢

摘 要：高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，三角函數(shù)的內(nèi)容往往是學(xué)生難以理解的內(nèi)容.其實，三角函數(shù)相關(guān)知識均是借助單位圓完成的，利用直觀想象這一基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)，要求學(xué)生借助幾何圖形進行想象，從而感知事物的形態(tài)變化.由于在單位圓中研究三角函數(shù)，因此人們把三角函數(shù)還稱為“圓函數(shù)”.因此，利用單位圓研究正余弦函數(shù)的性質(zhì)，對于學(xué)生更深刻地理解三角函數(shù)是非常有幫助的.

關(guān)鍵詞：單位圓;直觀想象;數(shù)形結(jié)合;教學(xué)反思

中圖分類號：G632?? 文獻標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）01-0049-03

5 掌握單位圓的基本要求

5.1 理清三角函數(shù)模型

如果要精確定義三角函數(shù)，則通常選擇一個特定的單位圓點并將其視為必要的定義坐標(biāo).通過使用上述定義方法，可以突出三角函數(shù)的一般特性，并在此前提下緊密聯(lián)系余弦和正弦函數(shù).同時，在三角函數(shù)和單位圓相互結(jié)合的狀態(tài)下，學(xué)生可以快速識別出縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)之間的特定聯(lián)系，從而反映出最基本的函數(shù)特性.

5.2 簡化問題解決流程

如果三角函數(shù)線和單位圓實現(xiàn)相交關(guān)系，將有助于簡化相應(yīng)的問題解決過程.具體而言，三角函數(shù)涉及域和周期特征，如果給出了單位圓對應(yīng)著的某點坐標(biāo)，那么將會由此而得出重復(fù)性的圓周長度.具體來說，每當(dāng)角α旋轉(zhuǎn)一定范圍時，就會出現(xiàn)一個可重復(fù)的圓，直到它回到原來的角度位置為止.

5.3 理解數(shù)形結(jié)合思想

為了節(jié)省學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的時間，如果能引入單位圓作為解題的輔助，就能突顯數(shù)形結(jié)合的價值所在，對于整個解題流程也增強了直觀性.由上述研究實例可見三角函數(shù)和單位圓的靈活組合有助于突出直觀性和生動性，借助圖形可以快速實現(xiàn)特定的數(shù)學(xué)原理推導(dǎo)過程.同時，單位圓本身也具有對稱性，實現(xiàn)了導(dǎo)出公式的有序推導(dǎo)，構(gòu)成了一個有機的整體.

通過三角函數(shù)定義的引入，讓學(xué)生先嘗試?yán)枚x來探究三角函數(shù)的性質(zhì)，激發(fā)學(xué)生的探索欲望，其次通過實例讓學(xué)生體驗通過自身努力去發(fā)現(xiàn)新事物的樂趣，同時在探究過程中從形與數(shù)兩個角度對發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)加以研究和證明，加深了學(xué)生對三角函數(shù)的理解并體會數(shù)學(xué)探索過程中的嚴(yán)謹(jǐn)性.最后，在已有的研究基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生通過類比的方法來研究出余弦函數(shù)的性質(zhì)，并且通過比較正余弦函數(shù)的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生利用平移由正弦函數(shù)的性質(zhì)得到余弦函數(shù)的性質(zhì)，同時也開拓了學(xué)生的視野.雖然這節(jié)課從借助單位圓來探究正余弦函數(shù)的性質(zhì)總體上是比較方便的，但是也有一些點對于學(xué)生有一定難度，例如在探究正弦函數(shù)單調(diào)性時區(qū)間的選擇，此外，如何利用單位圓去發(fā)現(xiàn)正余弦函數(shù)的其他性質(zhì)也是值得思考的一個地方.

通過以上分析，我們可以看到三角函數(shù)和單位圓之間存在固有的聯(lián)系.當(dāng)面對特定的數(shù)學(xué)問題時，如果高中生可以引入單位圓作為輔助來解決問題，他們可以突出數(shù)與形組合的價值，并增強整個問題解決過程的直觀性.因此，在解決數(shù)學(xué)問題的實踐中，學(xué)生仍然需要不斷積累解決問題的經(jīng)驗.必須為不同類型的三角函數(shù)選擇靈活的解決方案，以簡化解決問題的過程.

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