2021年全國新高考Ⅰ卷導數題的幾種解法

胡貴平

(甘肅省白銀市第一中學 730900)

極值點偏移問題，一般利用通過原函數的單調性，把與自變量有關的不等式問題轉化與原函數的函數值有關的不等式問題，也可以引入第三個變量，把不等式的問題轉化為與新引入變量有關的不等式問題.最常見的方法有對稱構造法、比值換元法、對數不等式法以及放縮法，下面通過2021年全國新高考Ⅰ卷的極值點偏移題，來看這四種方法的應用.

題目(2021年全國新高考Ⅰ卷(22)) 已知函數f(x)=x(1-lnx).

(1)討論f(x)的單調性；

解析(1)函數的定義域為(0,+∞)，又f′(x)=1-lnx-1=-lnx，當x∈(0,1)時，f′(x)>0，當x∈(1,+∞)時，f′(x)<0，故f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,1)，單調遞減區(qū)間為(1,+∞).

因為x∈(0,1)時，f(x)=x(1-lnx)>0，x∈(e,+∞)時，f(x)=x(1-lnx)<0，所以1

故原不等式等價于2

方法1(對稱構造法)

先證：x1+x2>2.

若x2≥2，x1+x2>2必成立.

若x2<2， 要證：x1+x2>2，即證x1>2-x2，

而0<2-x2<1，

故即證f(x1)>f(2-x2)，

即證：f(x2)>f(2-x2)，其中1

設g(x)=f(x)-f(2-x),1

則g′(x)=f′(x)+f′(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-ln[x(2-x)].

因為1

故-lnx(2-x)>0，所以g′(x)>0，

故g(x)在(1,2)為增函數，所以g(x)>g(1)=0，故f(x)>f(2-x).

即f(x2)>f(2-x2)成立，所以x1+x2>2成立.

綜上，x1+x2>2成立.

再證：x1+x2

又00，且f(e)=0，當x→0，h(x)→0，且h(1)=f(1)-f(e-1)>0，所以h(x)>0，即f(x1)=f(x2)

評注對稱構造法解決極值點偏移最為常見，一般步驟:(1)討論函數f(x)的單調性并求出f(x)的極值點x0，由f(x1)=f(x2)得出x1，x2的范圍；(2)構造輔助g(x)=f(x0+x)-f(x0-x)(根據題意需要還可以構造成g(x)=f(x)-f(2x0-x)的形式)；(3)通過求導g′(x)討論g(x)的單調性，判斷出g(x)在某段區(qū)間上的正負，并得出f(x0+x)與f(x0-x)的大小關系；(4)通過f(x)的單調性，f(x1)=f(x2)，f(x0+x)與f(x0-x)的大小關系得出結論.

方法2(比值換元法)

先證明一個不等式：ln(x+1)≤x.

所以(t-1)ln(1+t)+(t-1)-tlnt

所以(t-1)ln2<(t-1)ln(1+t)+(t-1)-tlnt.

評注比值換元法，將一個雙變量的比值形式用一個單變量來代替 ，用比值代換解極值點偏移問題方便、快捷.

方法3(對數不等式法)

評注用對數不等式法解決極值點偏移問題步驟：

(1)根據f(x1)=f(x2)建立等量關系；

(2)等量關系中如果含有參數，可考慮消參；如果含有指數式，可考慮兩邊取對數；

(3)通過恒等變形轉化出對數不等式，代入對數平均不等式求解．

方法4(放縮法)

先證：x1+x2>2.

=x2(1-lnx2)

即(x1-x2)[2-(x1+x2)]>0.

所以x1+x2>2.

再證：x1+x2

因為x1

所以x1

極值點偏移問題是導數中常見的題型，處理極值點偏移問題時，不僅要會常見的解決方法，更要通過這些方法體會數學思想，如對稱構造法強調數形結合的思想、比值換元強調消元思想及消元后函數思想，對數不等式法強調形式的配湊，放縮法強調一些常見的不等式的應用，在學習過程中掌握基本方法，注重通解通法.