剛性折紙機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析及其可折疊條件

張玉輝， 張 帆， 崔國(guó)華

(上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院，上海 201620)

0 引 言

折紙?jiān)谏钪须S處可見(jiàn)，它可以采用一系列較為復(fù)雜的過(guò)程將一個(gè)二維平面制成一個(gè)美麗的三維模型。1989 年，第一屆折紙科學(xué)國(guó)際會(huì)議在意大利費(fèi)拉拉城召開(kāi)。1994 年，第二屆折紙科學(xué)國(guó)際會(huì)議吸引了越來(lái)越多的研究學(xué)者參與，對(duì)于折紙的數(shù)理問(wèn)題研究也越來(lái)越清晰，至此，一門(mén)新學(xué)科——折紙幾何學(xué)誕生了，折紙數(shù)理也逐漸發(fā)展成為現(xiàn)代幾何學(xué)的一個(gè)重要分支[1-4]。在以數(shù)理問(wèn)題討論的前提下，折紙總被理想化為無(wú)厚度。

隨著近年來(lái)航空和建筑結(jié)構(gòu)的發(fā)展，折紙進(jìn)入了一些機(jī)構(gòu)學(xué)專(zhuān)家的視線，并給予了他們新的靈感和啟發(fā)。參考折疊機(jī)構(gòu)，把折紙中的折痕類(lèi)比為轉(zhuǎn)動(dòng)副[5]，從而發(fā)展出了一系列的折紙機(jī)構(gòu)。折紙機(jī)構(gòu)具有折疊后占用空間小、便于攜帶運(yùn)輸、質(zhì)量輕、展開(kāi)后可以穩(wěn)定保持等優(yōu)點(diǎn)，這些優(yōu)點(diǎn)正是吸引許多工程師關(guān)注的關(guān)鍵所在。常見(jiàn)的實(shí)例就是帳篷，它就具有典型的上述優(yōu)點(diǎn)，所以也成為探險(xiǎn)愛(ài)好者的必備。此外還有雨傘、英國(guó)牛津大學(xué)發(fā)明的折疊購(gòu)物袋等[6]。更高層次的如能量吸收裝置、太陽(yáng)翼[7-8]、折紙醫(yī)用支架[9]、生物醫(yī)學(xué)中的微型折紙機(jī)器人[10-12]等。根據(jù)折疊過(guò)程中折痕之間的單元面是否發(fā)生形變，折紙機(jī)構(gòu)又可分為柔性折紙機(jī)構(gòu)和剛性折紙機(jī)構(gòu)[13]。柔性折紙機(jī)構(gòu)在折疊過(guò)程中單元面為柔性結(jié)構(gòu)，可以發(fā)生變形，最常見(jiàn)的有雨傘、帳篷等。剛性折紙機(jī)構(gòu)多了一種限制條件，即一系列的折疊運(yùn)動(dòng)是其單元面圍繞預(yù)定折痕旋轉(zhuǎn)，而它的單元面為剛性結(jié)構(gòu)，不會(huì)發(fā)生扭曲變形。所以剛性折紙機(jī)構(gòu)的單元面是一個(gè)分段線性的可展開(kāi)平面，在機(jī)構(gòu)學(xué)中可以用剛性平板和轉(zhuǎn)動(dòng)副分別代替單元面和折痕，折痕相交處頂點(diǎn)可以視為球面鏈接[14]，這樣就形成了一個(gè)機(jī)械結(jié)構(gòu)。在工程項(xiàng)目中，這樣的機(jī)械結(jié)構(gòu)作用很大，例如在航空航天領(lǐng)域，構(gòu)建一個(gè)空間的外表面密封結(jié)構(gòu)，基于純幾何機(jī)制，不依賴(lài)于材料的彈性，可以重復(fù)使用且穩(wěn)定。

目前，剛性折紙機(jī)構(gòu)研究成果主要在剛性折疊和自由度分析等方面，霍夫曼(Huffman)[15]使用球面三角法分析了折紙機(jī)構(gòu)二面角的關(guān)系；Balkcom等[16]推導(dǎo)了折痕轉(zhuǎn)角的關(guān)系表達(dá)式；Belcastro[17]使用矩陣方法對(duì)論文進(jìn)行建模，并討論了剛性折紙的必要條件；Wu和You[18]利用四元數(shù)方法和雙四元數(shù)方法，Nojima等[19]利用數(shù)值算法分析單頂點(diǎn)和多頂點(diǎn)折紙的剛性可折疊性；Chen等[20]采用D-H參數(shù)法在基于水雷結(jié)構(gòu)的厚板化研究中分析了自由度；Cai等[21]使用雅可比矩陣分析了折紙機(jī)構(gòu)的自由度；Chen等[22-24]使用非線性算法分析其運(yùn)動(dòng)特性并計(jì)算了機(jī)構(gòu)的自由度；Yu等[25]利用螺旋理論分析單頂點(diǎn)和多頂點(diǎn)折紙機(jī)構(gòu)的自由度；Tachi[26]提出了一種幾何方法獲得一維自由折疊的剛性折疊結(jié)構(gòu)。以上研究均有效地推動(dòng)了折紙機(jī)構(gòu)理論的進(jìn)步,但是由于折紙機(jī)構(gòu)的多樣性，許多分析方法都具有局限性，僅針對(duì)某些特定的構(gòu)型，特別是在求解折痕轉(zhuǎn)角關(guān)系的時(shí)候，采用的計(jì)算方法過(guò)于復(fù)雜，或得到的關(guān)系表達(dá)式較復(fù)雜，不夠簡(jiǎn)明直觀，有的沒(méi)有考慮冗余解的問(wèn)題，這些都限制了對(duì)于較為復(fù)雜折紙機(jī)構(gòu)的理論研究。

總結(jié)上述這些問(wèn)題，對(duì)剛性折紙機(jī)構(gòu)折疊分析展開(kāi)研究，核心是找到剛性約束，因?yàn)槟苷郫B不代表一定能夠剛性折疊。以三角形折紙機(jī)構(gòu)為例，其中心三角形的3邊，是連接3個(gè)單頂點(diǎn)折痕機(jī)構(gòu)的公共轉(zhuǎn)軸，若能剛性折疊，則作為公共轉(zhuǎn)軸連接相鄰頂點(diǎn)的兩端必須協(xié)調(diào)一致，否則就會(huì)出現(xiàn)扭曲折疊。本論文從單頂點(diǎn)四折痕機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析出發(fā)，找出單頂點(diǎn)折紙機(jī)構(gòu)各折痕轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系，進(jìn)而拓展到由單頂點(diǎn)四折痕機(jī)構(gòu)組合而成的多邊形折紙機(jī)構(gòu)，找出其運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，并圍繞剛性折紙機(jī)構(gòu)的公共折痕展開(kāi)分析，推導(dǎo)出剛性折疊的判斷依據(jù)。相對(duì)以往，簡(jiǎn)化了求解折痕轉(zhuǎn)角關(guān)系的復(fù)雜計(jì)算過(guò)程，并進(jìn)一步得到更加簡(jiǎn)明直觀的轉(zhuǎn)角關(guān)系表達(dá)式，對(duì)于不同的多邊形折紙機(jī)構(gòu)不需要再進(jìn)行單獨(dú)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，擴(kuò)大了適用范圍，簡(jiǎn)化了較多繁瑣且重復(fù)計(jì)算的步驟。

1 單頂點(diǎn)四折痕機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

單頂點(diǎn)四折痕折紙機(jī)構(gòu)是較為基礎(chǔ)的折紙模型，對(duì)于復(fù)雜的多邊形折紙機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系和折疊條件的研究都有重要的指導(dǎo)意義。圖1所示為單頂點(diǎn)四折痕折紙機(jī)構(gòu)折疊前后的狀態(tài)，圖中的α為相鄰折痕間對(duì)應(yīng)的扇形角，ψ為折疊時(shí)相鄰扇面的二面角。對(duì)于單頂點(diǎn)四折痕折紙機(jī)構(gòu)，假設(shè)了兩種峰谷布置方式如圖2所示。

(a) 展開(kāi)狀態(tài)

(b) 折疊狀態(tài)

(a) Ⅰ型峰谷布置方式

(b) Ⅰ型球面多邊形

(c) Ⅱ型峰谷布置方式

(d) Ⅱ型球面多邊形

如圖2(a)所示的Ⅰ型峰谷布置方式，θ1為谷折痕，經(jīng)過(guò)折疊如圖1(b)選取俯視圖，可以得到圖 2(b)，同理，由圖2(c)所示的Ⅱ型峰谷布置方式，θ2為谷折痕，可以得到圖2(d)；二面角ψ與折痕轉(zhuǎn)角θ是互補(bǔ)的，對(duì)于峰折痕有ψ=π-θ，對(duì)于谷折痕有ψ=θ-π。

對(duì)于圖2(b)，令λ1為連接該多邊形φ1和φ3角的球面上的弧，λ2為連接該多邊形的ψ2和ψ4角的球面上的弧，將其分為4個(gè)球面三角形， 然后，依據(jù)球面三角學(xué)知識(shí)，如式(1)和式(2)所示：

cosλ1=cosα1cosα2+sinα1sinα2cosψ2

(1)

cosλ1=cosα3cosα4+sinα3sinα4cosψ4

(2)

對(duì)于單頂點(diǎn)四折痕折紙機(jī)構(gòu)，根據(jù)川崎定理，可知扇形角關(guān)系如式(3)所示：

α3=π-α1，α4=π-α2

(3)

式(1)和(2)相減：

0=sinα1sinα2(cosψ2-cosψ4)

因?yàn)?<α1<π ， 0<α2<π，所以cosψ2-cosψ4=0，而0≤ψ2≤π , 0≤ψ4≤π，得到：

ψ2=ψ4

(4)

同理：

cosλ2=cosα1cosα4+sinα1sinα4cos(2π-ψ1)
cosλ2=cosα2cosα3+sinα2sinα3cosψ3

得到：

2π-ψ1=ψ3

(5)

由式(4)和式(5)可以得到圖2(a)折痕轉(zhuǎn)角θ的關(guān)系如式(6)所示：

θ1=-θ3,θ2=θ4

(6)

同樣，對(duì)于圖2(d)，令λ1為連接該多邊形的ψ2和ψ4角的球面上的弧，λ2為連接該多邊形的ψ1和ψ3角的球面上的弧，將其分為4個(gè)球面三角形，可得：

ψ1=ψ3,2π-ψ2=ψ4

圖2(c)折痕轉(zhuǎn)角θ的關(guān)系如式(7)所示：

θ1=θ3,θ2=-θ4

(7)

再根據(jù)Robert Lang推導(dǎo)得到的角度關(guān)系式，對(duì)于圖2(b)，有

結(jié)合式(1)，式(4)和式(5)，可得：

(8)

利用半角公式，如式(9)所示：

(9)

由二面角與折痕轉(zhuǎn)角的關(guān)系，結(jié)合式(6)，有

(10)

式(6)和式(10)表達(dá)了圖2(a)單頂點(diǎn)四折痕機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系。

同樣對(duì)于圖2(d)，有

利用半角公式可得式(11)：

(11)

由二面角與折痕轉(zhuǎn)角的關(guān)系，結(jié)合式(7)，有

(12)

式(7)和式(12)表達(dá)了圖2(c)單頂點(diǎn)四折痕機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系。

2 三角形折紙機(jī)構(gòu)

由上面對(duì)單頂點(diǎn)四折痕機(jī)構(gòu)的分析，可以進(jìn)一步拓展到三角形折紙機(jī)構(gòu)，如圖3所示。

(a) 扇面角 (b) 折痕轉(zhuǎn)角

2.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

對(duì)于三角形折紙機(jī)構(gòu)，可以將其看作由3個(gè)單頂點(diǎn)四折痕機(jī)構(gòu)組合而成，其頂點(diǎn)分別為A，B，C，它們都滿(mǎn)足單頂點(diǎn)四折痕機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。

對(duì)于A頂點(diǎn)的四折痕機(jī)構(gòu)，最小扇形角為γ，可以類(lèi)比圖2(a)的類(lèi)型，如式(13)所示：

(13)

對(duì)于B頂點(diǎn)的四折痕機(jī)構(gòu)，最小扇形角為δ，可以類(lèi)比圖2(a)的類(lèi)型，如式(14)所示：

(14)

由剛性約束和單頂點(diǎn)四折痕機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，得到如式(15)所示:

(15)

結(jié)合式(13)和式(14)，可得式(16)：

(16)

總結(jié)三角形折紙機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系如式(17)所示：

(17)

2.2 剛性可折疊條件

由前面的分析，對(duì)于A,B頂點(diǎn)的四折痕機(jī)構(gòu)得到關(guān)系如式(18)和式(19)所示：

(18)

(19)

對(duì)于C頂點(diǎn)的四折痕機(jī)構(gòu)，最小扇形角為ε，可以類(lèi)比圖2(c)的類(lèi)型，如式(20)所示：

(20)

若要實(shí)現(xiàn)剛性折疊，則要滿(mǎn)足剛性約束條件，如式(21)所示:

(21)

即有

(22)

當(dāng)式(22)成立，則說(shuō)明該三角形折紙機(jī)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)剛性折疊。

對(duì)于圖4折紙機(jī)構(gòu)，A，B，C頂點(diǎn)的四折痕機(jī)構(gòu)，根據(jù)式(10)和式(12)，有

當(dāng)kA>1,kB>1,kC<1時(shí)，給α，β，γ和δ分配任意值，根據(jù)剛性約束條件，如式(23)所示：

(23)

總是可以找到最小角ε滿(mǎn)足上述條件，即圖4第一類(lèi)三角形折紙機(jī)構(gòu)可以剛性折疊。

圖4 第一類(lèi)三角形折紙機(jī)構(gòu)Fig. 4 The first type of triangular origami mechanism

對(duì)于圖5折紙機(jī)構(gòu)，A，B，C頂點(diǎn)的四折痕機(jī)構(gòu)，根據(jù)式(10)和式(12)，有

當(dāng)kA>1,kB<-1,kC<-1時(shí)，根據(jù)剛性約束條件，如式(24)所示：

(24)

等式無(wú)法成立，即圖5第二類(lèi)三角形折紙機(jī)構(gòu)不可以剛性折疊。

圖5 第二類(lèi)三角形折紙機(jī)構(gòu)Fig. 5 The second type of triangular origami mechanism

3 四邊形折紙機(jī)構(gòu)的分析

3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

如圖6所示的四邊形折紙機(jī)構(gòu)，按照前面三角形折紙機(jī)構(gòu)的分析思路，可以將其看作由4個(gè)單頂點(diǎn)四折痕機(jī)構(gòu)組合而成，其頂點(diǎn)分別為A，B，C，D，它們都滿(mǎn)足單頂點(diǎn)四折痕機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。

圖6 四邊形折紙機(jī)構(gòu)Fig. 6 Quadrilateral paper folding mechanism

對(duì)于A頂點(diǎn)的四折痕機(jī)構(gòu)，最小扇形角為δ，可以類(lèi)比圖2(a)的類(lèi)型，關(guān)系如式(25)所示：

(25)

對(duì)于B頂點(diǎn)的四折痕機(jī)構(gòu)，最小扇形角為ε，可以類(lèi)比圖2(c)的類(lèi)型，關(guān)系如式(26)所示：

(26)

對(duì)于C頂點(diǎn)的四折痕機(jī)構(gòu)，最小扇形角為σ，可以類(lèi)比圖2(a)的類(lèi)型，關(guān)系如式(27)所示：

(27)

由剛性約束和單頂點(diǎn)四折痕機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性，可以推出折痕轉(zhuǎn)角關(guān)系如式(28)所示：

(28)

再結(jié)合式(25)，(26)和(27)，有

(29)

通過(guò)式(28)和(29)，得到了四邊形折紙機(jī)構(gòu)的折痕運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系。

3.2 剛性可折疊條件

由前面的分析，對(duì)于A,B,C,D頂點(diǎn)的四折痕機(jī)構(gòu)可以得到關(guān)系如式(30)所示：

(30)

同理，若要實(shí)現(xiàn)剛性折疊，則要滿(mǎn)足剛性條件，如式(31)所示：

(31)

也即

(32)

所以滿(mǎn)足式(32)即可實(shí)現(xiàn)剛性折疊。

4 結(jié) 論

主要研究了折紙機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系并對(duì)剛性折疊條件進(jìn)行了推導(dǎo)，以單頂點(diǎn)四折痕折紙機(jī)構(gòu)為基礎(chǔ)，對(duì)兩種不同峰谷分配方案的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系進(jìn)行了具體分析推理，進(jìn)一步拓展到多邊形折紙機(jī)構(gòu)。對(duì)于多邊形折紙機(jī)構(gòu)，其中心的多邊形可以視為公共轉(zhuǎn)軸，若作為公共轉(zhuǎn)軸，兩端轉(zhuǎn)動(dòng)角度能夠保持一致，則判斷可實(shí)現(xiàn)剛性折疊，否則就不能剛性折疊，所以關(guān)鍵是分析剛性折紙機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性。因此，可將多邊形折紙機(jī)構(gòu)拆分為若干個(gè)單頂點(diǎn)四折痕折紙機(jī)構(gòu)，運(yùn)用球面幾何學(xué)、三角函數(shù)等數(shù)理方法進(jìn)行分析，其中以三角形折紙機(jī)構(gòu)和四邊形折紙機(jī)構(gòu)為例分析了折痕轉(zhuǎn)角的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系和剛性折疊的成立約束條件，通過(guò)對(duì)較為簡(jiǎn)單基礎(chǔ)的折紙模型的特性分析，結(jié)合剛性約束這一條件，拓展到更為復(fù)雜的多邊形折紙機(jī)構(gòu)，簡(jiǎn)化以往對(duì)不同折紙機(jī)構(gòu)需要單獨(dú)進(jìn)行分析研究的復(fù)雜過(guò)程，擴(kuò)大了適用范圍，避免了較多重復(fù)的計(jì)算推導(dǎo)，對(duì)于研究判斷更為復(fù)雜的多邊形折紙機(jī)構(gòu)能否剛性折疊提供了通用化的判斷依據(jù)。