基于IOWA算子的我國(guó)居民消費(fèi)水平組合預(yù)測(cè)研究

李 穎， 莊科俊

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠 233030)

0 引 言

目前，對(duì)于非負(fù)變權(quán)重組合預(yù)測(cè)模型在理論與應(yīng)用兩方面的研究比較豐富。在組合預(yù)測(cè)模型的非負(fù)權(quán)重研究方面，由Bates和Granger[1]首次提出組合預(yù)測(cè)模型的概念，通常將他們所提出的最小方差組合預(yù)測(cè)模型簡(jiǎn)稱為B-G組合預(yù)測(cè)模型。但是，根據(jù)B-G組合預(yù)測(cè)模型所選取的最優(yōu)權(quán)重可能會(huì)產(chǎn)生具有負(fù)分量的權(quán)系數(shù)向量，負(fù)的權(quán)重分量可能是由組合預(yù)測(cè)模型存在的多重共線性導(dǎo)致的，又由于對(duì)負(fù)權(quán)重經(jīng)濟(jì)含義的解釋存在爭(zhēng)議，因此，很多學(xué)者建議加上非負(fù)權(quán)重約束條件。如孔慶凱、唐小我[2-4]等一批學(xué)者在組合預(yù)測(cè)模型規(guī)避負(fù)權(quán)重方面提出了簡(jiǎn)單平均加權(quán)法、均方差倒數(shù)加權(quán)法和二項(xiàng)式組合預(yù)測(cè)方法等，推動(dòng)了組合預(yù)測(cè)模型在非負(fù)權(quán)重領(lǐng)域的迅速發(fā)展。組合預(yù)測(cè)模型在變權(quán)重領(lǐng)域的研究方面，由于傳統(tǒng)的組合預(yù)測(cè)模型賦予單個(gè)預(yù)測(cè)模型在所有觀察期內(nèi)都相同的權(quán)重，可能會(huì)出現(xiàn)單個(gè)模型在某一觀察期預(yù)測(cè)精度高卻在另一觀察期預(yù)測(cè)精度低，從而導(dǎo)致預(yù)測(cè)精度不一致的問(wèn)題。顯然，如果給單項(xiàng)模型賦予固定權(quán)重，就會(huì)導(dǎo)致預(yù)測(cè)精度不高、預(yù)測(cè)誤差較大等。自21世紀(jì)以來(lái)，很多學(xué)者開展了對(duì)變權(quán)重組合預(yù)測(cè)模型的深入研究。陳華友等[5]發(fā)現(xiàn)有序加權(quán)平均(OWA)算子組合預(yù)測(cè)模型有很大的缺點(diǎn)，因此他引出誘導(dǎo)有序加權(quán)平均(IOWA)算子的概念，并將此概念應(yīng)用于預(yù)測(cè)企業(yè)所得稅，調(diào)查結(jié)果顯示誘導(dǎo)有序加權(quán)平均(IOWA)算子能夠增加組合預(yù)測(cè)的精度。在預(yù)測(cè)我國(guó)居民消費(fèi)水平的研究方面，宋峰等[6]以GM(1,1)模型、線性回歸模型以及時(shí)間序列模型為基礎(chǔ)，構(gòu)建組合預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)2010—2012年安徽省城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)；侯甜甜等[7]通過(guò)建立ARIMA模型預(yù)測(cè)我國(guó)CPI的變化趨勢(shì)，并且以主成分分析法所確定的影響我國(guó)CPI的主要因素作為解釋變量建立多元線性回歸模型;張?zhí)鹑餥8]通過(guò)對(duì)2000-01—2019-08的月度數(shù)據(jù)建立ARIMA(2,1,2)×(1,1,1)模型，預(yù)測(cè)未來(lái)一年陜西省的CPI，并且把最后8期數(shù)據(jù)作為參照用于檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷念A(yù)測(cè)精度，得出陜西省的居民價(jià)格指數(shù)不會(huì)存在劇烈波動(dòng)。

綜上所述，對(duì)IOWA算子組合預(yù)測(cè)模型的理論與應(yīng)用研究較為成熟，但是關(guān)于預(yù)測(cè)我國(guó)居民消費(fèi)水平的論文大多采用一種預(yù)測(cè)模型，或是采用賦予單個(gè)模型固定權(quán)重的組合預(yù)測(cè)模型，大多使用單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型的論文都無(wú)法對(duì)預(yù)測(cè)模型的有效性進(jìn)行檢驗(yàn)。因此，本文根據(jù)ARIMA(2,1,1)模型、Holt-Winters無(wú)季節(jié)模型和多元回歸模型，主要是利用有序加權(quán)算術(shù)平均IOWA算子組合預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)中國(guó)在接下來(lái)的4年內(nèi)(2020—2023年)居民消費(fèi)水平，并構(gòu)建模型的有效性評(píng)價(jià)體系。在新發(fā)展格局下，以內(nèi)循環(huán)與外循環(huán)為依據(jù)尋找“雙循環(huán)”的解釋變量構(gòu)建多元線性模型，使得對(duì)未來(lái)幾年的居民消費(fèi)水平預(yù)測(cè)具有更大的參考價(jià)值與實(shí)際意義。

1 模型簡(jiǎn)介

1.1 IOWA算子

顯然，IOWA算子是對(duì)(α1,α2,…,αn)誘導(dǎo)因子按照降序排序后所對(duì)應(yīng)的(β1,β2,…,βn)值進(jìn)行有順序的加權(quán)平均，因此賦予各單項(xiàng)模型在每一時(shí)點(diǎn)上的權(quán)重與誘導(dǎo)值的大小無(wú)關(guān)，而與誘導(dǎo)值的相對(duì)大小即排序有關(guān)。

1.2 IOWA組合預(yù)測(cè)模型

本文采用預(yù)測(cè)精度作為誘導(dǎo)因子，如果誘導(dǎo)因子αit(i=1,2,…,m；t=1,2,…,T)選擇第t期用第i種預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)精度，則αit的表達(dá)式為

對(duì)誘導(dǎo)因子所生成的m個(gè)二維數(shù)組(<α1t,x1t>,<α2t,x2t>,…,<αmt,xmt>)按照誘導(dǎo)因子的降序排列，根據(jù)誤差平方和最小準(zhǔn)則求得各精度的權(quán)重系數(shù)向量為

由預(yù)測(cè)精度α1t,α2t,…,αmt所生成的x1t,x2t,…,xmt，(t=1,2,…,T) IOWA算子組合預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)誘導(dǎo)預(yù)測(cè)誤差：eα-index(it)=xt-xα-index(it)(i=1,2,…,m；t=1,2,…,T)。

模型的總預(yù)測(cè)誤差平方和為

1.3 模型評(píng)價(jià)體系

建立IOWA算子組合預(yù)測(cè)模型評(píng)價(jià)體系所使用的誤差和平均精度如表1所示。

表1 誤差評(píng)價(jià)體系Table 1 Error evaluation system

2 實(shí)證分析

2.1 數(shù)據(jù)選擇與數(shù)據(jù)來(lái)源

用人均消費(fèi)支出(const，元)衡量被解釋變量。選取2002—2019年我國(guó)人均消費(fèi)衡量我國(guó)居民消費(fèi)水平，變化趨勢(shì)如圖1所示。根據(jù)賈康與劉薇[9]在加快形成新發(fā)展格局的政策建議中所提到的把握新發(fā)展格局的要領(lǐng)，把解釋變量分為內(nèi)循環(huán)變量與外循環(huán)變量，分別選擇人均可支配收入(dpit，元)和實(shí)際利用外商直接投資金額(fdit，萬(wàn)美元)。根據(jù)于佳茹[10]對(duì)我國(guó)居民消費(fèi)水平的研究中所采取的變量，選取控制變量分別是國(guó)內(nèi)消費(fèi)稅(taxt，億元)、恩格爾系數(shù)(egct，%)。對(duì)于數(shù)據(jù)缺失值采用鄰近值填充法。數(shù)據(jù)均來(lái)源于中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒。

圖1 居民消費(fèi)水平的變化趨勢(shì)Fig. 1 The variation trend of resident consumption level

2.2 變量的定義與描述性統(tǒng)計(jì)

對(duì)非平穩(wěn)數(shù)列進(jìn)行取對(duì)數(shù)以及取差分得到平穩(wěn)數(shù)列(表2)。

表2 變量的選取與基本特征Table 2 Variables and their basic characteristics

2.3 單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型

2.3.1 ARIMA預(yù)測(cè)模型

將1990年到2019年間我國(guó)居民消費(fèi)水平的年度數(shù)據(jù)作為樣本，采用ARIMA模型對(duì)未來(lái)4年的人均消費(fèi)進(jìn)行預(yù)測(cè)，對(duì)ln cons做ADF檢驗(yàn)，如表3所示，得到1階差分時(shí)P值為0.034 3,小于0.05,所以ARIMA(p,d,q)中的d取1。對(duì)ln cons做自相關(guān)與偏自相關(guān)分析可得：由偏自相關(guān)圖知此模型的滑動(dòng)平均項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為2，由自相關(guān)圖可知該模型的自回歸項(xiàng)數(shù)為1,故ARIMA(p,d,q)中的p值選2，q值選1。而伴隨概率P<0.05的 Q統(tǒng)計(jì)量可以判斷此序列不是白噪聲序列。最終確定選擇ARIMA(2,1,1)模型，用ln cons對(duì)AR(1),AR(2)，MA(1)進(jìn)行回歸可知，該ARIMA(2,1,1)模型為

ln const=3.704 7+1.887 5ln const-1-0.894 1ln const-2+

(6.946 5) (22.296 67)

εt+0.458 9εt-1

(-10.801) (2.401 56)

D.W.=1.993 487F=3 965.054

由ARIMA(2,1,1)模型的殘差序列白噪聲檢驗(yàn)可知該序列是較為穩(wěn)定的序列。而伴隨概率P>0.05的最右側(cè)的Q統(tǒng)計(jì)量可以表明是白噪聲序列。查表得在1%的上下界中，dL=1.01,dU=1.42，dU=1.42≤D.W.=1.993≤4-dU=2.58，故該模型不存在自相關(guān)。根據(jù)該模型的t值、P值都顯著，擬合優(yōu)度較高以及殘差序列為白噪聲可知該模型擬合得很好。

2.3.2 Holt-Winters無(wú)季節(jié)指數(shù)平滑模型

該模型是能夠預(yù)測(cè)無(wú)四季變化但是有時(shí)間趨勢(shì)的一種時(shí)間序列數(shù)據(jù)，Holt-Winters無(wú)季節(jié)指數(shù)平滑模型如下：

at=αyt+(1-α)(at-1+bt-1)
bt=β(at-at-1)+(1-β)bt-1

2.3.3 多元回歸模型

考慮我國(guó)居民消費(fèi)水平和居民人均可支配收入、實(shí)際利用外商直接投資以及國(guó)內(nèi)消費(fèi)稅和恩格爾系數(shù)都是時(shí)間序列，對(duì)非平穩(wěn)數(shù)列取自然對(duì)數(shù)以及差分得到平穩(wěn)數(shù)列，因此最終得到如下模型：

經(jīng)檢驗(yàn)：該模型的R2=0.994 4，表明模型擬合得較好，杜賓值為2.352 8，查表得在1%的上下界中，dL=0.71,dU=1.42，dU=1.42≤D.W.=2.35≤4-dU=2.59。

表3 單項(xiàng)模型的預(yù)測(cè)值與預(yù)測(cè)精度Table 3 Predicted values and prediction accuracies of single model

根據(jù)上述杜賓值，可以排除自相關(guān)對(duì)該模型的影響，由該模型的White Test的p值為0.614 9，大于0.05，可知該模型通過(guò)異方差檢驗(yàn)，可以排除異方差對(duì)該模型的影響。因?yàn)榇蠖鄶?shù)的VIF都大于1小于10，不存在全大于10或者小于1的情況，故該模型不存在多重共線性。內(nèi)生性檢驗(yàn)的P=0.618 3，且P>0.05,故可以排除內(nèi)生性的影響。綜上可知該模型擬合得較好。對(duì)該模型的ln dpi，ln fdi，ln egc 分別建立時(shí)間序列模型，運(yùn)用靜態(tài)預(yù)測(cè)的方法得到2020年至2023年的預(yù)測(cè)值，對(duì)dln tax進(jìn)行Holt-Winters預(yù)測(cè)，得到2020年至2023年的預(yù)測(cè)值，在此基礎(chǔ)上預(yù)測(cè)我國(guó)居民消費(fèi)水平未來(lái)4年(2020—2023年)的值。

2.4 組合預(yù)測(cè)模型

2.4.1 模型的構(gòu)建

構(gòu)造的IOWA算子組合預(yù)測(cè)模型偏差平方和最低，具體思路如下：首先，按照預(yù)測(cè)精度的高低將各單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型在每一時(shí)期的預(yù)測(cè)值進(jìn)行重新排列，求出預(yù)測(cè)精度從高到低的誤差大小；其次，構(gòu)建誤差分布表，求得模型的信息矩陣；最后，根據(jù)誤差信息矩陣求得各精度預(yù)測(cè)值所占有的權(quán)重，并構(gòu)建組合預(yù)測(cè)模型。

先按照預(yù)測(cè)精度的高低重新排列各單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型在每一時(shí)期的預(yù)測(cè)值(表4)。

表4 按照精度由大到小排序的預(yù)測(cè)值與精度Table 4 The predicted values and precision are sorted from most to least in order of precision

其次，構(gòu)建誤差分布表，求得模型的誤差信息矩陣為

E=

以誤差平方和最小為目標(biāo)建立(IOWA)算子組合預(yù)測(cè)模型為

即組合優(yōu)化模型：

利用LINGO求解可得：

w1=0.759,w2=0.176,w3=0.065,U=1 148 140

最后，根據(jù)誤差信息矩陣求得各精度預(yù)測(cè)值所占有的權(quán)重，并構(gòu)建組合預(yù)測(cè)模型。根據(jù)該預(yù)測(cè)模型算出2002年到2019年我國(guó)居民消費(fèi)水平(表5)。求得IOWA組合預(yù)測(cè)模型為

0.065xα-index(3t)(t=1,2,…,18)

表5 組合預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)值Table 5 The predicted values of the combined prediction model

2.4.2 模型評(píng)價(jià)

用誤差平方和最小的IOWA組合預(yù)測(cè)模型分別計(jì)算各項(xiàng)誤差并進(jìn)行歸一化處理(與各種誤差最大值進(jìn)行比較，表6)。由表6可知，該組合預(yù)測(cè)模型的平方和誤差只有Holt-Winters無(wú)季節(jié)模型的8.95%，平均絕對(duì)誤差只有Holt-Winters無(wú)季節(jié)模型的25.63%，平均相對(duì)誤差只有Holt-Winters無(wú)季節(jié)模型的26.25%，均方根誤差只有Holt-Winters無(wú)季節(jié)模型的29.92%，均方根相對(duì)誤差和均方百分比誤差都只有ARIMA(2,1,1)模型的1.97%，平均精度高達(dá)98.5%。因此，用此組合預(yù)測(cè)模型對(duì)未來(lái)4年我國(guó)居民消費(fèi)水平進(jìn)行預(yù)測(cè)會(huì)具有較高的預(yù)測(cè)精度。

2.4.3 預(yù)測(cè)結(jié)果

IOWA組合模型對(duì)歷史時(shí)期的預(yù)測(cè)是根據(jù)由實(shí)際值與預(yù)測(cè)值計(jì)算得出的預(yù)測(cè)精度進(jìn)行誘導(dǎo)排序的，但未來(lái)的實(shí)際值并沒(méi)有數(shù)據(jù)，故不能使用上文中求得的權(quán)重來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)4年我國(guó)居民的消費(fèi)水平，故下面依據(jù)每一時(shí)期各單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型在組合預(yù)測(cè)模型中所做出的貢獻(xiàn)分配權(quán)重。對(duì)每一單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型各期分配到的權(quán)重進(jìn)行求和，用求得的各單項(xiàng)模型的權(quán)重之和除以18得到各單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型對(duì)組合預(yù)測(cè)模型所做出的貢獻(xiàn)。賦予ARIMA模型、Holt-Winters模型以及多元回歸模型的權(quán)重分別為W1=0.332,W2=0.244,W3=0.424來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)4年我國(guó)居民消費(fèi)水平(表7)。計(jì)算公式為

0.424xt-多元(t=19,20，…,22)

表6 各項(xiàng)模型誤差比較Table 6 Error comparison of each model

表7 各模型未來(lái)4年的預(yù)測(cè)值Table 7 The predicted values of each model in the next four years 單位：元

從預(yù)測(cè)結(jié)果來(lái)看，未來(lái)4年我國(guó)居民消費(fèi)水平不會(huì)有大幅度的波動(dòng)，將維持在26 000～27 000元的水平。

3 結(jié) 語(yǔ)

文章在開始處介紹了構(gòu)建計(jì)算有序加權(quán)平均IOWA算子組合預(yù)測(cè)模型的相關(guān)理論內(nèi)容，接著采用ARIMA(2,1,1)模型、Holt-Winters無(wú)季節(jié)模型和多元線性模型構(gòu)建(IOWA)組合預(yù)測(cè)模型對(duì)未來(lái)4年的居民消費(fèi)水平進(jìn)行預(yù)測(cè)。其中多元線性回歸模型把解釋變量分為內(nèi)循環(huán)變量與外循環(huán)變量，分別選擇人均可支配收入和實(shí)際利用外商直接投資金額，控制變量選取的是國(guó)內(nèi)消費(fèi)稅和恩格爾系數(shù)，用這4個(gè)變量來(lái)預(yù)測(cè)內(nèi)循環(huán)與外循環(huán)對(duì)我國(guó)居民消費(fèi)水平的沖擊程度。

所構(gòu)建的IOWA算子組合預(yù)測(cè)模型的步驟：首先，以各單個(gè)模型在每一年中的預(yù)測(cè)精度作為誘導(dǎo)因子，按照每年各單個(gè)模型的預(yù)測(cè)精度由大到小的順序進(jìn)行排序；其次，依據(jù)每一時(shí)期各單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型在組合預(yù)測(cè)模型中的貢獻(xiàn)分配權(quán)重，對(duì)每一單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型各期分配到的權(quán)重進(jìn)行求和，用上面求得的各單項(xiàng)模型的權(quán)重之和簡(jiǎn)單平均得到各單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型對(duì)組合預(yù)測(cè)模型的貢獻(xiàn)；最后，基于上一步中求得的權(quán)重建立組合預(yù)測(cè)模型，并對(duì)該模型進(jìn)行評(píng)價(jià)。

最后研究結(jié)果表明：IOWA算子組合預(yù)測(cè)模型是文章提出的4種預(yù)測(cè)模型中具有最高精度、最低誤差的模型。未來(lái)4年我國(guó)居民消費(fèi)水平不會(huì)有大幅度波動(dòng)，但有小幅度下降的趨勢(shì)。未來(lái)4年我國(guó)居民消費(fèi)的預(yù)測(cè)值分別是27119.279，26 846.191，26 896.611，26 430.128(單位：元)，變化幅度分別為-1.610%，-1.007%，0.188%，-1.734%。我國(guó)居民人均消費(fèi)有微微下降的趨勢(shì)，造成這種現(xiàn)象的原因可能是逆全球化的趨勢(shì)，也可能是受到全球新冠疫情的影響。具體造成我國(guó)居民消費(fèi)水平不增反而微微下降的原因有待進(jìn)一步的深入研究。消費(fèi)是推動(dòng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的重要力量，應(yīng)積極推進(jìn)消費(fèi)的正常增長(zhǎng)，完善經(jīng)濟(jì)持續(xù)發(fā)展計(jì)劃。