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    加法噪聲驅(qū)動的隨機Lorenz系統(tǒng)吸引子及其上半連續(xù)性

    2022-02-24 01:52:22劉桂芬趙文強
    關鍵詞:確定性方程組連續(xù)性

    劉桂芬, 趙文強

    (重慶工商大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院,重慶 400067)

    0 引 言

    Lorenz系統(tǒng)是由兩無限平板間熱對流模型推導出的大氣流體動力學模型[1],其被廣泛研究[2-3]。Lorenz吸引子是確定性混沌的一個例子,Stewart[4]首次通過嚴密的推論證明了非隨機情形吸引子的存在,在此之前只能通過計算機數(shù)值模擬近似產(chǎn)生,隨后全局吸引子的存在性由Robinson[5]和Temam[6]獲得。Robinson通過建立中心在z軸上足夠大的球體證明了非隨機情形的全局吸引子的存在性,較Temam對系統(tǒng)參數(shù)加以限制的證明更巧妙。然而,實際大氣流體受不確定性因素影響,比如海嘯、地震等,非隨機情形的Lorenz系統(tǒng)無法完全描述這些偶然因素對大氣運動規(guī)律性的影響。

    關于隨機Lorenz系統(tǒng)的研究由文獻[7-8]提出,文獻[7]介紹了在解指數(shù)穩(wěn)定的條件下,隨機Lorenz Stenflo系統(tǒng)的全局吸引集的估計與離散分岔行為。最近,SchmallfuB[8]研究了乘法噪聲下Lorenz系統(tǒng)吸引子的存在性和維數(shù)估計。乘法噪聲僅僅增加了乘積因子,沒有改變方程的結(jié)構(gòu),而在加法擾動下,方程的形式顯著變化,產(chǎn)生了更多的擾動項,方程的結(jié)構(gòu)更復雜。到目前為止,帶加法白噪聲的隨機Lorenz系統(tǒng)吸引子的存在性和上半連續(xù)性問題仍然未知。

    考慮如下Lorenz系統(tǒng)在加法噪聲下的隨機動力行為:

    (1)

    初始條件:x(0)=x0,y(0)=y0,z(0)=z0。在式(1)中,3個變量x,y,z分別表示溫度、濕度和壓力;σ,b,r都為正的實參數(shù),σ表示普朗特數(shù),r為瑞利數(shù);dW1,dW2,dW3代表白噪聲;W(t,ω)=(W1(t,ω),W2(t,ω),W3(t,ω),)為概率空間(Ω,F,P)上的雙邊實值Wiener過程,具體形式在后面給出;ε≥0為噪聲強度。本文擬利用文獻[9]定理3.1關于上半連續(xù)的結(jié)果去研究隨機擾動情況下的Lorenz系統(tǒng)隨機吸引子的存在性及上半連續(xù)性等。在對解的估計過程中,Ornstein-Uhlenbeck的遍歷性具有重要作用,所得結(jié)果沒有對系統(tǒng)的參數(shù)給以其他限制[6]。關于隨機吸引子的相關理論,讀者可參加文獻[10-11]等。

    文章的結(jié)構(gòu)如下:第一部分通過變量代換把隨機Lorenz方程組轉(zhuǎn)換成含隨機參數(shù)的確定性方程組;第二部分證明了隨機Lorenz方程組吸引子的存在性;第三部分先驗證了方程組解的積分具有有界性,接著通過不等式估計和Gronwall引理等,研究了當ε→0時,隨機Lorenz方程組的解收斂到確定的方程的解,最后驗證了隨機吸引子的上半連續(xù)性。

    1 隨機動力系統(tǒng)

    本文涉及的概率空間為三維Wiener概率空間(Ω,F,P),也就是說

    F是由Ω生成的Borelσ-代數(shù),P是(Ω,F,P)上的Wiener測度,把三維的Wiener過程W(t,ω)和Ω中的連續(xù)函數(shù)ω(t)=(ω1(t),ω2(t),ω3(t))等同,并定義時間平移θtω(s)=ω(s+t)-ω(t),ω∈Ω,s,t∈R,可以驗證(Ω,F,P,(θt)t∈R)為距離動力系統(tǒng)。

    現(xiàn)在為了將連續(xù)隨機動力系統(tǒng)與隨機Lorenz方程組聯(lián)系起來,需要將帶有隨機附加項的方程組變換轉(zhuǎn)化為帶有隨機參數(shù)的確定性方程組。為此考慮O-U隨機微分方程:

    dηj+λjηjdt=dωj(t),λj>0,j=1,2,3

    (2)

    可以很容易得到式(2)的解為

    ηj(t)=ηj(θtωj)=

    需要滿足一定的條件:

    用O-U過程先對Lorenz方程組式(1)作變量代換,令

    x=X+εη1(θtω1)
    y=Y+εη2(θtω2)
    z=Z+εη3(θtω3)

    則原方程組改寫為

    (3)

    具有初始值:

    X(0,0,ω,X0)=x0-εη1(ω1),Y(0,0,ω,Y0)=
    y0-εη2(ω2),Z(0,0,ω,Z0)=z0-εη3(ω3)

    定義集合族Δ為R3空間中滿足如下指數(shù)收斂條件的隨機集的全體:

    (4)

    其中,c0=min{σ,b,1}。

    2 隨機吸引子的存在性

    本節(jié)討論Lorenz系統(tǒng)隨機吸引子的存在性。首先通過恰當?shù)墓烙嫬@得了以(0,0,r+σ)為球心的吸收集的存在性,其中r>0,σ>0沒有其他限制[4]。

    引理1 設集合族Δ由式(4)所定義,0<ε≤1,B={B(ω)}ω∈Ω∈Δ,則對P-a.e.ω∈Ω,{x0(θ-tω),y0(θ-tω),z0(θ-tω)}∈B(θ-tω),存在T(B,ω)>0,使得對所有的t≥T(B,ω),有x2(t,0,θ-tω,x0(θ-tω))+y2(t,0,θ-tω,y0(θ-tω))+z2(t,0,θ-tω,z0(θ-tω))≤r(ω),其中:

    (b(r+σ)2+c1εM2(θsω))ds+2(r+σ)2

    為有限的隨機變量,這里c0,c1為確定的正常數(shù)。

    證明根據(jù)方程組式(3),可得

    (5)

    下面對上述不等式右端的每一項給出恰當?shù)墓烙?。注意到假設σ,r,b>0,則運用Young不等式,式(5)中右邊各項分別估計為

    (6)

    (7)

    (8)

    (9)

    (10)

    (11)

    (12)

    其中,c1為依賴于σ,b,r的確定的正常數(shù)。在式(12)中,運用Gronwall引理,并令s-t=s′,r-t=r′,有

    則存在充分大的T0,當t>T0時成立,有

    故當t>T0時,有

    (13)

    容易驗證式(13)右端第二項中的積分是有限的。由變量代換x=X+εη1(θtω1),y=Y+εη2(θtω2),z=Z+εη3(θtω3),即有

    因為{x0(θ-tω),y0(θ-tω),z0(θ-tω)}∈B(θ-tω)和M1(θ-tω)關于t最多二次多項式增長,因此存在T1>T0,當所有的t>T1時,有

    從而引理1得證。

    根據(jù)方程組式(1)的解算子{x(t,0,ω,x0),y(t,0,ω,y0),z(t,0,ω,z0)}定義隨機動力系統(tǒng)φ:φ(t,ω,(x0,y0,z0))=(x(t,0,ω,x0),y(t,0,ω,y0),z(t,0,ω,z0))。令K(ω)={(x,y,z):x2+y2+z2≤r(ω),ω∈Ω},半徑r(ω)由引理1確定,則有如下存在性結(jié)果。

    定理1 對任意的ε∈(0,1],由Lorenz方程組式(1)確定的隨機動力系統(tǒng)φ存在唯一的Δ-隨機吸引子{A(ω)}ω∈Ω,其中

    證明由引理1, 對ω∈Ω及任意的x∈R3,有

    3 隨機吸引子的上半連續(xù)性

    為了獲得隨機吸引子的上半連續(xù),需要證明隨機Lorenz方程組的解關于參數(shù)ε的收斂結(jié)果,為此預先證明解的積分有限。

    引理2 設ε∈(0,1],ω∈Ω,T>0,(Xε,Yε,Zε)是方程組式(3)當初值為(Xε(0),Yε(0),Zε(0))時的解,則存在常數(shù)c1(T,ω)和c2(T,ω),使得對?t∈(0,T],有

    其中,xε(0)=Xε(0)+εη1(ω1),yε(0)=Yε(0)+εη2(ω2),zε(0)=Zε(0)+εη3(ω3)。

    證明由O-U過程的連續(xù)性可知,對?T>0,?N(T,ω)>0,使得對?t∈(0,T],成立:

    (14)

    由式(13)得到:

    (15)

    (16)

    注意到Zε2(s)≤2(Zε(s)-r-σ)2+2(r+σ)2,故存在正常數(shù)c1(T,ω)和c2(T,ω),成立:

    結(jié)果得證。

    (17)

    運用Young不等式,對式(17)右端各項分別估計,下面記c為通用常數(shù),有

    (18)

    (19)

    于是結(jié)合式(17)—式(19),令k0=max{2r2,2σ},則有

    由此運用Gronwall引理得,有

    再次利用O-U過程的連續(xù)性,?N1(T,ω),使得對t∈(0,T],M1(θtω)≤N1(T,ω),M2(θtω)≤N1(T,ω),由引理1的結(jié)果,可得:

    (20)

    由式(20)可得:

    (xε(t)-x(t))2+(yε(t)-y(t))2+(zε(t)-z(t))2→0

    從而引理2得證。

    定理3 設{Aε(ω)}ω∈Ω是方程式(1)生成的隨機動力系統(tǒng)φε的隨機吸引子,A0是方程組式(1)當ε=0時所得的確定性動力系統(tǒng)φ0的全局吸引子,則對P-a.e.ω∈Ω成立,有

    成立,根據(jù)引理1,有

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