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    一類(lèi)奇攝動(dòng)分?jǐn)?shù)階微分方程的漸近解

    2022-02-23 05:38:36李金洲包立平
    關(guān)鍵詞:展開(kāi)式將式邊值問(wèn)題

    李金洲,包立平

    (杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院,浙江 杭州 310018)

    0 引 言

    近些年來(lái),分?jǐn)?shù)階微分方程不僅在熱傳導(dǎo)[1]、粘彈性力學(xué)[2]等物理學(xué)問(wèn)題上應(yīng)用廣泛,而且在初值問(wèn)題[3]、邊值問(wèn)題[4-5]、穩(wěn)定性理論[6]等分?jǐn)?shù)階微分方程理論方面取得了重大進(jìn)展。奇攝動(dòng)分析作為解決理論和應(yīng)用問(wèn)題的重要工具,在研究分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題方面起到重要作用。文獻(xiàn)[7-8]用微分不等式方法得到了奇攝動(dòng)分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題的一系列結(jié)果。本文討論一類(lèi)奇攝動(dòng)分?jǐn)?shù)階線性微分方程邊值問(wèn)題,運(yùn)用雙參數(shù)展開(kāi)法得到解的高階形式展開(kāi)以及邊界層矯正項(xiàng),并運(yùn)用極值原理[9]進(jìn)行余項(xiàng)估計(jì)。

    1 奇攝動(dòng)問(wèn)題外部解

    一類(lèi)分?jǐn)?shù)階奇攝動(dòng)微分方程邊值問(wèn)題如下:

    (1)

    y(0)=α,y(1)=β

    (2)

    (3)

    (1)a(x)在區(qū)間[0,1]連續(xù),且對(duì)于任意x∈[0,1],a(x)≥m>0,m與ε無(wú)關(guān);

    (2)b(x)在區(qū)間[0,1]連續(xù),且對(duì)于任意x∈[0,1],b(x)>0。

    構(gòu)造原邊值問(wèn)題(1)—(2)的外部解展開(kāi)式為Y(x,ε,μ),令

    (4)

    再進(jìn)行ε和μ雙參數(shù)展開(kāi),令等式兩端ε和μ同次方冪系數(shù)相等,可得:

    (5)

    Yn,m(0)=0n>0或m>0

    (6)

    (7)

    退化解Y0,0的微分方程式為:

    (8)

    Y0,0(0)=α

    (9)

    由式(8)—式(9)得到Volterra積分方程:

    (10)

    2 邊界層矯正項(xiàng)

    由奇異攝動(dòng)理論構(gòu)造x=1點(diǎn)處的內(nèi)解,設(shè)邊值問(wèn)題(1)—問(wèn)題(2)的解為:

    y(x)~Y(x,ε,μ)+Z(τ,ε,μ)

    (11)

    (12)

    H1(x)=Zn,m(x)-Zn,m(0)

    (13)

    (14)

    將式(4)、式(11)—(14)代入式(1),得到:

    (15)

    Z0,0(0)=β

    (16)

    Zn,m(0)=0n>0或m>0

    (17)

    Zn,m(∞)=0

    (18)

    式中,Wn,m(τ)為由Z0,0(τ),…,Zn,m-1(τ),…,Zn-1,m(τ)決定的已知函數(shù),當(dāng)n=m=0時(shí),W0,0(τ)=0。將式(15)進(jìn)行q階積分,得到:

    (19)

    式中,C1為任意常數(shù)。結(jié)合定解條件(16),對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程(19)求解,得到:

    (20)

    將式(18)代入式(20),得到C1=0,由此可得:

    (21)

    為了使內(nèi)解存在,令Wn,m滿(mǎn)足如下條件

    (22)

    當(dāng)n或m>0時(shí),將式(15)兩邊進(jìn)行q階積分后再p次迭代,得到

    (23)

    (24)

    3 余項(xiàng)估計(jì)

    證明將解y(x,ε,μ)=Y(x,ε,μ)+Z(x,ε,μ)+R(x)εN+1μM+1代入式(1)、式(2),得到

    (25)

    由形式漸近展開(kāi)式構(gòu)造,可得:

    (26)

    R(0)=0,R(1)=0

    (27)

    (28)

    (29)

    結(jié)合式(26)、式(28)、式(29)可以得到:

    (30)

    (31)

    (32)

    4 結(jié)束語(yǔ)

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