簡而不凡的數(shù)學(xué)課堂

■賈帥

“數(shù)學(xué)是一種思想，它的特點(diǎn)在于它的簡潔與和諧。它把最復(fù)雜的東西用最簡單的語言來表示，而且表達(dá)的過程是那樣的賞心悅目，那樣的讓人神往，簡直是人間最美的藝術(shù)?！焙喍环驳臄?shù)學(xué)課堂需要教師對一些典型問題或某個(gè)素材深度挖掘，找出內(nèi)在的學(xué)習(xí)線索，科學(xué)合理地組織學(xué)生開展數(shù)學(xué)活動，從而完成多維教學(xué)目標(biāo)。這樣的課堂不是簡簡單單的數(shù)學(xué)課堂，而是經(jīng)過不斷思考、打磨、精練的，需要用簡明的設(shè)計(jì)、簡練的提問、簡潔的題目引導(dǎo)學(xué)生思考，是真正訓(xùn)練思維的不凡課堂。

一、簡明的設(shè)計(jì)

筆者認(rèn)為，一節(jié)好的數(shù)學(xué)課，其教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)是簡明的。教師要設(shè)計(jì)簡單有效的教學(xué)活動，以實(shí)踐為抓手，將教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)呈現(xiàn)出來，讓每個(gè)學(xué)生都能參與進(jìn)來，并在數(shù)學(xué)活動中自主探索和思考。下面，筆者以“反比例函數(shù)復(fù)習(xí)”為例，談?wù)労喢鞯慕虒W(xué)設(shè)計(jì)。

教學(xué)片段：

【活動1】從圖1中，你能得到哪些信息？

圖1

生2：反比例函數(shù)圖像是雙曲線，圖1的兩支，一支在第一象限，一支在第三象限。

生3：兩支曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱，在每個(gè)象限中，y隨x的增大而減小，函數(shù)圖像無限接近x軸、y軸，但不相交。

生4：當(dāng)k＜0時(shí)，反比例函數(shù)圖像在第二、四象限，兩支曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱。在每個(gè)象限中，y隨x的增大而增大，函數(shù)圖像無限接近x軸、y軸，但不相交。

師：哪位同學(xué)能說一說，為什么描述反比例函數(shù)的增減性時(shí)要加“在某個(gè)象限內(nèi)”？

生5：因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的自變量x≠0。

【活動2】（1）如圖2，若曲線經(jīng)過點(diǎn)A（1，2），你能提出什么問題？

圖2

生6：我提出的問題是，該反比例函數(shù)的表達(dá)式是什么？我們可以用待定系數(shù)法，設(shè)函數(shù)表達(dá)式為因?yàn)辄c(diǎn)A（1，2）在反比例函數(shù)上，所以

生7：我提出的問題是，當(dāng)x≥1時(shí)，求y的取值范圍。我們可以過點(diǎn)（1，0）作一條直線垂直于x軸，當(dāng)x≥1時(shí)，y的值是不斷減小的，但大于0，所以0＜y≤2。

生8：我提出的問題是，若y＜2，求x的取值范圍。我們可以過點(diǎn)（0，2）作一條直線垂直于y軸，當(dāng)y＜2時(shí)，從第一象限的圖像來看，x＞1，從第三象限來看，y的值都是小于2的，所以x＜0。綜上所述，x的取值范圍是x＜0或x＞1。我還發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)A作x、y軸的垂線，與x軸、y軸圍成的長方形面積為2。

師：如果我們不知道k的值，長方形的面積是多少？

生8：k的絕對值。

師：大家提出的問題都很好，也很好地解決了。現(xiàn)在，大家看一看老師給出的問題。若點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函數(shù)圖像上且x1＜0＜x2＜x3，求y1，y2，y3的大小關(guān)系。

生9：可以用特殊值法，也可以根據(jù)圖像來看，得出y2＞y3＞0＞y1。

（2）如圖3，作直線AO，交另一支曲線于點(diǎn)B，你又能得到哪些信息？

圖3

生10：可以求出過點(diǎn)A和點(diǎn)B的正比例函數(shù)表達(dá)式。設(shè)y=kx，因?yàn)辄c(diǎn)A（1，2）在正比例函數(shù)圖像上，所以2=k·1，解得k=2，故y=2x。也可以求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，把y=2x和聯(lián)立，得出x=1或-1，因?yàn)辄c(diǎn)B在第三象限，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，-2）。

師：還有其他辦法求出B點(diǎn)的坐標(biāo)嗎？

生11：也可以利用反比例函數(shù)圖像的對稱性，A點(diǎn)和B點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-2）。

師：還能提出其他問題嗎？

生12：我的問題是，什么時(shí)候反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值？我們可以作輔助線，在第一象限內(nèi)，反比例函數(shù)在正比例函數(shù)的上方時(shí)，0＜x＜1；在第三象限內(nèi)，反比例函數(shù)在正比例函數(shù)的上方時(shí)，x＜-1。所以0＜x＜1或x＜-1。

師：還有其他想法嗎？

生12：我們可以再添加一條直線，這樣我們可以得到更多信息，也可以提出更多問題。

圖4

生13：可以求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)。把和聯(lián)立，得x=2或-2。所以點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為（2，1）和（-2，-1）。

生14：可以求出經(jīng)過A、C兩點(diǎn)的一次函數(shù)的表達(dá)式。設(shè)一次函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，將A（1，2）、C（2，1）代入，得y=-x+3。還可以求出其圖像與x軸和y軸的交點(diǎn)。分別令x=0和y=0，可以得到點(diǎn)I的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)K的坐標(biāo)為（0，3）。

生15：還可以求出△OAC的面積，S△OAC=

師：還有其他方法嗎？

生16：可以過點(diǎn)A作直線l1與x軸平行，與y軸相交于點(diǎn)G，過點(diǎn)C做直線l2與y軸平行，與x軸相交與點(diǎn)F，l1與l2交于點(diǎn)H。S△OAC=S正方形OFHGS△OAG-S△OCF-S△HAC。

生17：還可以用S△OAC=S△OCK-S△OAK這個(gè)思路去算；也可以過點(diǎn)C作平行于x軸的輔助線，把△OAC分成兩塊面積去算；還可以過A點(diǎn)作平行于y軸的輔助線，把△OAC分成兩塊面積去算。

本節(jié)課中，雖然整體來看有若干幅圖，但是從數(shù)學(xué)的本質(zhì)上看其實(shí)就一幅圖。我們在一幅圖上不斷地添加一些條件，去重新認(rèn)識反比例函數(shù)的性質(zhì)，使得整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)簡潔明了，但是每幅圖上所包含的信息和結(jié)論都是值得學(xué)生不斷地動腦發(fā)掘、思考的。

二、簡練的提問

課堂提問是組織教學(xué)的中心環(huán)節(jié)。有效的課堂提問不僅能啟發(fā)和推動學(xué)生思維，提高課堂教學(xué)效率，而且對加強(qiáng)師生情感交流、開啟學(xué)生心靈、增長學(xué)生的智力、培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)具有十分重要的作用。數(shù)學(xué)課堂提問應(yīng)該具有鼓勵(lì)性、啟發(fā)性、本質(zhì)性，這也是“不凡”的數(shù)學(xué)課堂所追求的。

教學(xué)片段：

【問】根據(jù)籃球比賽規(guī)則，贏一場得2分，輸一場得1分。在中學(xué)生籃球聯(lián)賽中，某球隊(duì)賽了12場，共得20分，該球隊(duì)贏了幾場？輸了幾場？

這道題筆者給了學(xué)生兩分鐘的思考時(shí)間。

師：大家準(zhǔn)備怎么解決這個(gè)問題？

生1：首先要審題，找出已知量和未知量。這里的已知量是贏一場得2分，輸一場得1分，總共賽了12場，共得20分。未知量是該球隊(duì)贏了幾場，輸了幾場。

師：很好，接下來怎么辦？

生1：找等量關(guān)系，關(guān)鍵句是“總共賽了12場，共得20分”，可以設(shè)贏了x場，輸了y場，根據(jù)等量關(guān)系，列出方程組

師：他剛才的回答非常棒，思路很清晰，用了我們最近學(xué)習(xí)的二元一次方程組的知識解決了這個(gè)問題，還有沒有其他的方法？

生2：可以用我們學(xué)習(xí)過的一元一次方程來解決這個(gè)問題。設(shè)該球隊(duì)贏了x場，則輸了（12-x）場，可得一元一次方程2x+（12-x）=20。

師：你能把它解出來嗎？給你一分鐘的時(shí)間。

生2：解得x=8。

師：如果我們把列的方程組和一元一次方程放在一起，它們有什么區(qū)別和聯(lián)系？

生3：它們都可以來解決實(shí)際問題。用二元一次方程組表示數(shù)量關(guān)系更簡單。一個(gè)含有2個(gè)未知數(shù)，一個(gè)含有1個(gè)未知數(shù)，含有2個(gè)未知數(shù)的我不會解，但是含有1個(gè)未知數(shù)的我會解。

師：也就是說，只有一個(gè)未知數(shù)，你就能把方程解出來了。觀察兩個(gè)方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，你能不能把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程？

生3：二元一次方程組中2x+y=20和一元一次方程2x+（12-x）=20很相似，唯一不同的是，一個(gè)是y，另一個(gè)是（12-x）。哦！我明白了，方程組的y可以用（12-x）替換，因?yàn)榉匠探M中還有一個(gè)方程x+y=12，可以做適當(dāng)?shù)淖冃?，得到y(tǒng)=12-x。這樣再代入2x+y=20中，就可以解了。

師：你的想法很好，你剛才的思路中包含著我們解方程組的重要思想——消元思想。我們一起來按照這個(gè)思路解一解這個(gè)方程組。

在這里，筆者用了6個(gè)提問和學(xué)生互動。學(xué)生開始不會解二元一次方程組，但經(jīng)過與一元一次方程的對比，掌握了代入消元法的精髓，做到了從不會到會，從“無序”到“有序”。這6個(gè)提問中，有些是鼓勵(lì)性的提問，有些是啟發(fā)性的提問，有些是本質(zhì)性的提問，這些提問都是簡練的提問。在學(xué)生思考遇到困難時(shí)，教師給予適當(dāng)?shù)奶崾?，能不斷引發(fā)學(xué)生思考，幫助學(xué)生解決問題，訓(xùn)練學(xué)生的思維。

三、簡潔的題目

簡而不凡的數(shù)學(xué)課堂上，題目不應(yīng)該是復(fù)雜的，而應(yīng)具有代表性和更深刻的思維性。它要能夠引發(fā)學(xué)生思考和交流，讓學(xué)生積累數(shù)學(xué)的基本活動經(jīng)驗(yàn)，體會數(shù)學(xué)基本思想，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。

教學(xué)片段：

【問】如圖5，已知△ABC，求證∠A+∠B+∠C=180°。

圖5

師：大家怎么證明？（教室里很安靜。）

師：能不能從左邊的式子考慮，實(shí)現(xiàn)角的相加？

生1：可以作平行線對角進(jìn)行遷移，我在七年級下學(xué)期的時(shí)候就學(xué)過。

師：從等式右邊的180°，你能想到什么？

生2：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，平角為180°。

師：還有嗎？

生3：周角的一半，兩個(gè)直角相加。

師：結(jié)合左邊式子和右邊的結(jié)果，你能再想一想怎么證明嗎？哪位同學(xué)來說一說自己的想法。

生4：先過點(diǎn)A作輔助線與BC平行，然后用平行線的性質(zhì)就能實(shí)現(xiàn)角的移動，再根據(jù)平角的定義，就能得到∠B+∠BAC+∠C=180°。

師：好，還有其他做法嗎？

生：……

總之，筆者認(rèn)為，簡而不凡的數(shù)學(xué)課堂，起點(diǎn)、立意要高，教學(xué)內(nèi)容要放至整個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)中定位，放至初中數(shù)學(xué)內(nèi)容中看作用，放至相關(guān)內(nèi)容中看聯(lián)系和區(qū)別。數(shù)學(xué)的教學(xué)活動是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程。對于不同的數(shù)學(xué)課型，教師作為學(xué)習(xí)的組織者、參與者，要理解學(xué)生，以低視角、低姿態(tài)的方式教學(xué)，多鼓勵(lì)，多提問，給學(xué)生充分的思考時(shí)間，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)研究的基本思路。同時(shí)，教師還應(yīng)轉(zhuǎn)換教學(xué)觀念，把學(xué)生作為課堂的主人，主動構(gòu)建簡約、和諧的數(shù)學(xué)課堂，引導(dǎo)學(xué)生在探索中發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，分析問題，解決問題，以此培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，讓學(xué)生不僅會學(xué)習(xí)，而且熱愛學(xué)習(xí)。