高中數(shù)學課程視角下關(guān)于“函數(shù)單調(diào)性定義”教學分析

何桃容

摘要：在高中數(shù)學課程中，“函數(shù)單調(diào)性定義”是其中一項重點教學內(nèi)容。本文基于高中數(shù)學課程視角下，對“函數(shù)單調(diào)性定義”這一重點教學內(nèi)容進行了系統(tǒng)地分析與探究。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學;函數(shù)單調(diào)性定義;教學分析

教師在教學“函數(shù)單調(diào)性定義”這一內(nèi)容時，應該積極探索高效的教學方法，創(chuàng)新教學理念，以此促進高中數(shù)學課程教學水平的發(fā)展。

一、初、高中“函數(shù)單調(diào)性”內(nèi)容的對比

（一）知識體系的對比

在初中，依托平面直角坐標系，學生對照給出的函數(shù)圖像，依照橫向右看、縱向上看（即沿x軸、y軸的正向）的原則，通過“看圖說話”認識函數(shù)的單調(diào)性，所以初中學習函數(shù)單調(diào)性的特點是“直觀→文字語言描述”，與初中對單調(diào)性的描述性刻畫相比，高中函數(shù)單調(diào)性的定義有以下三個特點（以增函數(shù)為例）：第一，定義的表述是純粹的數(shù)學符號語言精確表達，而非數(shù)學文字語言描述;第二，刻畫自變量增加，函數(shù)值也增加用的是“比大小”的方法，即單調(diào)性的形式化定義是借助于不等式給出的，其結(jié)構(gòu)的獨特性是很難有此前可以借鑒和類比的內(nèi)容;

第三，定義中對于x1，x2（x1<x2）的“任意性”，既無法在圖像上看到，也無法用具體數(shù)值說明，是對數(shù)學符號的抽象刻畫。從上面分析即可看出，從初中借助直觀“看圖說話”的描述，到高中借助數(shù)學符號語言的精確定義，初中與高中的關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性的知識跨度非常之大。

（二）認知體系的對比

我們知道，初中數(shù)學教材中已經(jīng)對函數(shù)的單調(diào)性給出了描述性刻畫“對于一個函數(shù)，當自變量增加時，如果函數(shù)值也隨著增加，則稱函數(shù)是單調(diào)遞增的”，首先，這種對函數(shù)單調(diào)性的描述性刻畫與人們認識事物增大或減小的描述是非常一致的;其次，這種描述的過程中沒有使用特殊的數(shù)學符號語言;再次，在初中對于函數(shù)單調(diào)性的要求不高，沒有要求利用函數(shù)的單調(diào)性進行某些計算或證明，因此學生在初中學習函數(shù)的單調(diào)性并不存在較大的障礙。對脫離初中不久的高一學生而言，要想正確理解高中數(shù)學中的函數(shù)單調(diào)性定義，在認知上還是存在較大的障礙的：首先，學生剛上高中，一般還沒有適應高中數(shù)學知識相對初中的容量大、進度快、練習少的特點，從習慣到方法還沒有調(diào)整過來;其次，高中數(shù)學中的函數(shù)單調(diào)性定義的符號多，抽象性較強，表述特殊，必須借助若干特殊函數(shù)、圖像直觀分析，甚至通過舉反例來理解抽象的概念，這與初中的教學形成了較大的認知層次上的差距。

（三）應用性的對比

從教材和應用的視角看，初中對函數(shù)單調(diào)性的要求基本上是用“看圖說話”的方法判斷某些具體函數(shù)的單調(diào)性，而高中函數(shù)單調(diào)性具有要求高、聯(lián)系廣、多方位綜合的特點，高中數(shù)學的函數(shù)單調(diào)性與不等式、數(shù)列、向量、微積分，甚至一些解析幾何的綜合問題都有密切聯(lián)系。例如，高中要依據(jù)單調(diào)性定義，借助于不等式等知識判斷函數(shù)的單調(diào)性，反之，要會由具體函數(shù)的單調(diào)性得出某些不等關(guān)系，因此單調(diào)性是分析和解決某些數(shù)學問題的有力工具。

二、整體把握高中數(shù)學課程視角下函數(shù)單調(diào)性的教學實踐

當認識到高中數(shù)學函數(shù)單調(diào)性定義在教材呈現(xiàn)上的特點后，我們可以從整體把握高中數(shù)學課程的視角，對現(xiàn)行教學關(guān)于函數(shù)單調(diào)性定義教學的引入部分進行重新調(diào)整。引入情境的設計注重從定義的整體出發(fā)，注重直觀的作用，對定義中函數(shù)的抽象性、定義結(jié)構(gòu)的抽象性加強分層設計，具體做法如下：

（1）增加“檢驗學生是否由低到高按身高排隊”的實例：老師要求體育課代表先把全體學生按照身高從低到高（從左到右）排一隊，當隊伍排好后，老師對課代表說，如果不測量身高，你能用什么簡單的方法讓老師確信隊伍一定按要求排好了（按大小個排隊的情境是學生身邊熟悉的問題）。

（2）課代表回答說：您隨意指定一個人，只要在他右邊的（無論是否相鄰）任何一個人都比他高，則隊伍就按要求排好了（將排隊問題轉(zhuǎn)化為兩個人身高的比較問題：學生由自身的生活經(jīng)驗很容易判斷此說法的正確性;“比較大小”將定義中的連續(xù)變?yōu)殡x散，無限變?yōu)橛邢?，而定義中變量的“任意性”定義的基本結(jié)構(gòu)在實例中不變）。

（3）教師為了能夠?qū)⒄n代表的意圖表示得更清晰，把學生從左至右編了由小到大的號碼，若對于任意-個號碼為a的學生及他右邊的任個號碼為b的學生（a<b），都有a的身高小于b的身高，則可以肯定排隊是正確的（將實例逐步符號化、抽象化：在比較身高的情境中，初步感受合理方法的符號化過程，體會“任意”在檢驗排隊問題中的含義）。

（4）我們嘗試用符號來表示上面的檢驗方法：若用h（x）（x表示學生的號碼）表示學生的身高，則上面檢驗排隊的方法可以表示為：若對于任意一個學生a及a右邊任意一個學生b，都有h（a）<h（b），則所有學生是按照從左向右、從低到高排隊的（把上面實例中的刻畫進一步符號化、抽象化、向定義結(jié)構(gòu)靠近：這樣一個與函數(shù)單調(diào)性定義結(jié)構(gòu)基本一樣的實例，能幫助學生直觀具體地理解函數(shù)單調(diào)性定義的結(jié)構(gòu)，也讓學生明白，很多抽象的數(shù)學定義其實離我們的生活并不遙遠）

（5）在此基礎上引入二次函數(shù)為載體時的函數(shù)單調(diào)性定義（熟悉的特殊函數(shù);將上面離散的、有限的x，h（x）變?yōu)檫B續(xù) 無限的x，f（x）=x2）。

這種方法可以克服多年來單調(diào)性定義在此環(huán)節(jié)啟而不發(fā)的尷尬局面，由學生用自己的語言表述單調(diào)性的定義，使學生感受到單調(diào)性定義來得很自然，我們的生活中處處有數(shù)學。

結(jié)束語：

綜上所述，通過對初、高中“函數(shù)單調(diào)性”的內(nèi)容進行對比，不難發(fā)現(xiàn)高中數(shù)學課程“函數(shù)單調(diào)性”內(nèi)容更具有深度和廣度，這就需要教師在教學過程中，不斷探索高效的教學方法，以適應高中生的學習需求，讓高中生可以牢固地理解并掌握“函數(shù)單調(diào)性定義”內(nèi)容，提高此內(nèi)容的教學效率，從而達到預期的教學目標。

參考文獻：

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