一類代數(shù)系統(tǒng)的多重正解的存在性與特征區(qū)間

趙 進(jìn)，丁伯倫，李文娟

(1.揚(yáng)州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)科學(xué)部，江蘇 揚(yáng)州 225100；2.上海師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，上海 200234)

考慮如下一類非線性代數(shù)系統(tǒng)

x=AF(x)，

(1)

其中x=(x1,x2,…,xn)Τ,A=(aij)n×n是n×n矩陣且aij≥0,(i,j)∈[1,n]×[1,n],F(x)=(f1(x),f2(x),…fn(x))Τ,這里用[1，n]表示集合{1,2,…,n}.

代數(shù)方程起源于許多不同的研究領(lǐng)域,其中差分方程、邊值問題、動態(tài)網(wǎng)絡(luò)、隨機(jī)過程、數(shù)值分析等領(lǐng)域中的許多問題都可以轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)(1).由于這些廣泛的應(yīng)用,在最近的二十年里,非線性代數(shù)方程(系統(tǒng))正解的存在性問題被廣泛地研究,可參考文獻(xiàn)[1-3].例如,在文獻(xiàn)[2]中，Zhang 以及合作者考慮了如下系統(tǒng)

x=λAF(x)

(2)

存在性問題.在非線性項是超線性或次線性的前提下,利用Krasnoselskii不動點(diǎn)定理得到了系統(tǒng)(2)正解的多重性結(jié)果.

事實上,大部分的代數(shù)系統(tǒng)解的多重性結(jié)果都是根據(jù)不動點(diǎn)定理研究得到的，例如錐不動點(diǎn)定理、Schauder不動點(diǎn)定理、Krasnoselskii不動點(diǎn)定理等.本文主要根據(jù)Leggett-Williams不動點(diǎn)定理建立代數(shù)系統(tǒng)(1)的存在性與多重性理論.在過去的幾十年里,Leggett-Williams不動點(diǎn)定理被廣泛地運(yùn)用于邊值問題解的存在性與多重性的研究.例如,文獻(xiàn)[4]研究了Monge-Ampere方程的Dirichlet邊值問題,文獻(xiàn)[5]研究了在Minkowski空間中平均曲率方程的奇異邊值問題.

作為新結(jié)果的應(yīng)用,以上方法可以刻畫系統(tǒng)(2)的特征區(qū)間,其中λ>0是一個正參數(shù).此外，本文證明了在給定的特征區(qū)間內(nèi),系統(tǒng)(2)至少存在三個正解.

1 預(yù)備知識

(i){x∈P(α,a,b)∶α(x)>a}≠?且對于?x∈P(α,a,b),都有α(Tx)>a;

則算子T至少存在三個不動點(diǎn)x1,x2,x3且滿足

在以下討論中,假設(shè)A≥0,即對于?(i,j)∈[1,n]×[1,n],都有aij≥0,且要求矩陣A的每一列至少存在一個正元素.此外,令

(3)

為了運(yùn)用引理1處理系統(tǒng)(1),取X=Rn并且定義錐

其中σ在(3)式中被定義.定義算子

其中

(4)

不難發(fā)現(xiàn),求解問題(1)等價于尋找(4)的不動點(diǎn).假設(shè)

引理2假設(shè)(H1)成立,則T[P]?P且T∶P→P是緊算子.

從而

2 主要結(jié)論

運(yùn)用引理1建立系統(tǒng)(1)至少存在三個正解的多重性結(jié)果.

定理1假設(shè)(H1)成立,且假設(shè)存在常數(shù)a,c,d滿足0

(H2) 對于?i∈[1,n],都存在常數(shù)ρi>0及連續(xù)非減函數(shù)φi∶[0,∞]→[0,∞]使得

(H3) 對于?i∈[1,n],都存在常數(shù)ηi>0及連續(xù)非減函數(shù)φi∶[0,∞]→[0,∞]使得

則系統(tǒng)(1)至少存在三個正解.

因此,可以得到{x∈P(α,a,b)∶α(x)>a}≠?.對于?x∈P(α,a,b),則有

定理2假設(shè)(H1)和(H3)成立，且滿足以下條件

則系統(tǒng)(1)至少存在三個正解.

可知

因此引理1中的條件(ii)成立.其余證明類似于定理1的證明,省略.

應(yīng)用定理2,很容易刻畫系統(tǒng)(2)的特征區(qū)間,并且得到如下結(jié)果.

系統(tǒng)(2)至少存在三個正解.