人教A版的一道“四點共圓”題的教學實踐與思考

賈 立 忠

(牡丹江市第一高級中學，黑龍江 牡丹江 157000)

新課程標準的基本理念是通過教材上的例題、練習題、習題、復習參考題來呈現(xiàn)和貫徹的。教材上的習題具有最強的示范性，應有效應用課本典型習題，更重要的是能運用課本題所呈現(xiàn)的思維與方法，再適當加以應用拓展來解決高考、競賽、強基計劃的相關(guān)試題。

一、問題呈現(xiàn)

普通高中教科書《人教A版(2019)選擇性必修第一冊》第88頁，習題2.4，第6題：平面直角坐標系中有A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2)四點，這四點是否在同一個圓上？為什么？

二、基本解法呈現(xiàn)及分析

標準解法：設(shè)過A,B,C三點的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)

則把A,B,C三點代入圓的方程有，

故過A,B,C三點的圓的方程為

x2+y2-2x-6y+5=0

(1)

將D的坐標代入(1)式有1+4+2-12+5=0，故D在過A,B,C三點的圓上，

從而A,B,C，D四點共圓。

點評與分析：這種解法實際上是待定系數(shù)法，它的本質(zhì)上是代數(shù)思維。這是因為圓的一般方程突出了圓的方程的一般特征，即含有D,E,F三個參數(shù)的二元二次方程，只需要代入不共線的三個點，則圓的一般方程便轉(zhuǎn)化為D,E,F的三元一次方程組，只需解出這個三元一次方程組，就得到過三個點的圓的方程，最后把第四個點代入驗證即可。這類似于初中求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的求解過程。類似地本題也可以設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r≠0)，代入三個點求解a,b,r，然后再代入第四個點看是否滿足方程，這里從略。

解法二：由A(0,1),B(2,1)知，直線AB斜率kAB=0,所以線段AB的垂直平分線為l1:x=1

由B(2,1)，C(3,4)知，直線BC斜率kBC=3,

所以線段BC的垂直平分線

所以線段CD的垂直平分線l3:y-3=-2(x-1)，即l3:2x+y-5=0.

點評與分析：這種解法實際上是從幾何的視角來思考的，它的本質(zhì)上是幾何思維，即垂徑定理，圓的弦的垂直平分線必過圓的圓心，或者也可以理解為三角形的外心是三邊的垂直平分線的交點。

所以 ∠DAB+∠BCD=π,故A,B,C，D四點共圓。

點評與分析：這兩種解法實際上是從平面幾何角度思考的，我們知道，若一個四邊形的一組對角互補，則這個四邊形的四個點共圓。但是如何來求這個角呢？方法三是正切值的角度來求解的，方法四是從余弦值的角度來運算的，兩種方法只是演算的三角函數(shù)值的不同，沒有本質(zhì)的不同。

三、延伸性解法呈現(xiàn)及分析

解法五：由A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2)得,直線AC和直線BD的斜率分別為

從而得直線AC的方程為：y-1=x-0，即x-y+1=0。

從而|AE|·|CE|=|BE|·|DE|,由相交弦定理的逆定理知A,B,C，D四點共圓。

點評與分析：該解法實際上應用的相交弦定理的逆定理：兩條線段AB和CD交于點P點，若PA·PB=PC·PD,則A,B,C,D四點共圓。這種解法需要補證一下相交弦定理的逆定理才可以應用。

解法六：由A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2)，得

又因為cos∠ADB∈(0，π)，cos∠ACB∈(0，π)，所以∠ADB=∠CDB,

所以A,B,C，D四點共圓。

點評與分析：共底邊的兩個三角形頂角相等，且在底邊的同側(cè)，則四個頂點共圓，這個定理。

解法七：由A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2)得，

所以|AC|·|BD|=|AD|·|BC|+|AB|·|CD|由托勒密定理的逆定理可知A,B,C，D四點共圓。

點評與分析：托勒密定理的逆定理 若四邊形兩組對邊乘積之和等于它的兩對角線之積，則該四邊形是圓內(nèi)接四邊形。這個定理如果使用也需要證明才可以使用。

四、與四點共圓有關(guān)的高考題鏈接

(1)求直線AB的方程

(2)如果線段AB的垂直平分線交雙曲線于C,D兩點，那么A,B,C,D四點是否共圓?為什么?

2.(2005年高考湖北卷理科第21題)設(shè)A，B是橢圓3x2+y2=λ上的兩點，點N(1,3)是線段中點，線段的垂直平分線交橢圓于C,D兩點。

(1)確定λ的取值范圍，并求直線AB的方程.

(2)試判斷是否存在這樣的λ，使得A,B,C,D四點共圓?并說明理由。

(I)求C的方程；

(II)過F的直線l與C相交于A，B兩點，若AB的垂直平分線l′與C相較于M，N兩點，且A，M，B，N四點在同一圓上，求l的方程.

(I)證明：點P在C上；

(II)設(shè)點P關(guān)于點O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上.

(1)求C的方程；

五、與四點共圓相關(guān)競賽題鏈接

1、(2017年全國高中數(shù)學聯(lián)賽湖南預賽)

設(shè)AB是橢圓mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的斜率等于1的弦，AB的垂直平分線與橢圓交于兩點C,D.F為線段CD的中點.

(1)求證：|CD|2-|AB|2=4|EF|2

(2)求證:四點A,B,C,D共圓。

六、與四點共圓相關(guān)強基計劃試題題鏈接

1.(2020年清華大學強基計劃試題)非等邊三角形ABC中，BC=AC,O,P分別為ΔABC的外心和內(nèi)心，D在BC上且OD⊥BP,下列選項正確的是( )

A.BODP四點共圓 B.OD//AC

C.OD//ABD.DP//AC

2.(2020年復旦大學強基計劃試題)如圖所示凸四邊形ABCD,則

“∠BAC=∠BDC”是“∠DAC=∠DBC”的___________條件

七、教學反思

我們要盡量把教材上的例題、習題不斷挖掘、拓展、變式，不要輕易放過每一個題目。四點共圓的證明和求解，是一個非常好的培養(yǎng)學生思維的載體，在解決這個問題的過程中，培養(yǎng)學生勤于思考，多角度、逐步深入地探究四點共圓的相關(guān)解決方法。

數(shù)學教學要幫助學生形成正確的數(shù)學學習觀。解決數(shù)學問題的思路是“如何想”，習題的教學也要展示給學生思考的過程，解決問題的過程應該是學生思維的范例，老師要搭建腳手架，讓學生逐步學會思考，發(fā)展思維，最終走向獨立解決問題。