具有非線性時(shí)間依賴持有及缺貨成本的變質(zhì)品庫存控制研究*

□ 李書慧，羅治洪

(昆明理工大學(xué) 管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院，云南 昆明 650000)

1 引言

變質(zhì)型產(chǎn)品如蔬菜鮮果的腐爛和液體的揮發(fā)并不是勻速發(fā)生的，通常是隨著持有時(shí)間的增加而加快的。在存儲過程中，零售商為了防止蔬菜鮮果等產(chǎn)品的腐爛和液體的揮發(fā)會根據(jù)持有時(shí)間的增加而花費(fèi)更多的成本以保持產(chǎn)品的新鮮程度。另外，對于變質(zhì)型產(chǎn)品通常需要進(jìn)行積壓以避免因變質(zhì)產(chǎn)生更大的成本。當(dāng)缺貨發(fā)生時(shí)，消費(fèi)者被認(rèn)為是沒有耐心的且下一次補(bǔ)貨的等待時(shí)間成為消費(fèi)者是否接受積壓的決定性因素。

庫存控制中的時(shí)間依賴成本主要體現(xiàn)在持有成本的變動、缺貨時(shí)滯后供給成本、機(jī)會成本和采購價(jià)格的變動。時(shí)間依賴在庫存控制方面的研究主要集中在時(shí)變需求，具有時(shí)間依賴特征的成本和價(jià)格的變動。Kucuk[1]對土耳其不同規(guī)模的零售店進(jìn)行調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，缺貨成本是由消費(fèi)者對于缺貨的反應(yīng)所決定的，且消費(fèi)者的反應(yīng)主要是由于對品牌或商店忠誠度和缺貨等待時(shí)間所刺激的。Tsao和Sheen[2]開發(fā)了一個(gè)考慮批量大小、時(shí)間依賴的采購成本和信用期可變的變質(zhì)物品庫存模型，其中單位采購成本是關(guān)于補(bǔ)貨周期的線性函數(shù)。Mishra等[3]考慮了一個(gè)需求、持有成本和變質(zhì)率均為時(shí)間依賴的庫存模型，其中持有成本是關(guān)于存儲時(shí)間的線性增函數(shù)。Alfares[4]認(rèn)為在庫存系統(tǒng)中，需長期儲存的物品通常需要更先進(jìn)或昂貴的設(shè)施來維持，因此，提出了一個(gè)適用于不同存儲時(shí)間范圍的持有成本遞增階躍函數(shù)和采購成本是訂單批量的遞減階躍函數(shù)的庫存控制模型。

變質(zhì)品庫存研究已經(jīng)成為庫存控制中的熱門領(lǐng)域。目前，對于變質(zhì)品的變質(zhì)過程描述主要有以下三種。

①目前大部分研究認(rèn)為庫存隨著時(shí)間以不同的方式衰減且單位時(shí)間的持有成本是固定的，累積持有成本是關(guān)于時(shí)間的線性增函數(shù)。

②不單獨(dú)體現(xiàn)變質(zhì)品的變質(zhì)率，而是將變質(zhì)放在持有成本中一同考慮。Weiss[5]首次提出非線性持有成本庫存系統(tǒng)，其中非線性增加的持有成本是隨著物品老化而產(chǎn)生的銷售損失。Ferguson等[6]在Weiss的基礎(chǔ)上提出有兩種情形造成凸持有成本：a.非線性持有成本的增加是由于用變質(zhì)或老化的產(chǎn)品來滿足需求可能需要進(jìn)行降價(jià)或丟棄處理而造成銷售損失；b.變質(zhì)性產(chǎn)品每天損壞的單個(gè)產(chǎn)品百分比隨著變質(zhì)而增加，變質(zhì)或老化也可看作是非線性持有成本。Sazvar等[7]考慮了一個(gè)具有可變提前期且非線性持有成本依賴于儲存時(shí)間、短缺完全延期的庫存模型，以確定最優(yōu)價(jià)格及補(bǔ)貨周期。Edalatpour和Al-e-Hashem[8]建立了一個(gè)持有成本依賴儲存時(shí)間的變質(zhì)性產(chǎn)品的互補(bǔ)和替代的定價(jià)庫存模型，試圖獲得最優(yōu)價(jià)格和補(bǔ)貨周期。Pando等[9]假設(shè)持有成本是與儲存時(shí)間和庫存數(shù)量相關(guān)的非線性函數(shù)，目標(biāo)是盈利能力比率最大化。

③同時(shí)考慮庫存隨著時(shí)間衰減和非線性持有成本函數(shù)。Giri等[10]提出了一個(gè)變質(zhì)性物品庫存模型，其中變質(zhì)率是恒定不變的，持有成本被視為與儲存時(shí)間和庫存數(shù)量相關(guān)的非線性函數(shù)。

在現(xiàn)有的延期交貨及其損失的庫存文獻(xiàn)中，缺貨成本可概括為三種類型[11]。第一種，每單位積壓需求的成本都是不變的(不受等待時(shí)間的影響)；第二種，每單位積壓需求的成本與等待時(shí)間呈正相關(guān)(不考慮缺貨的數(shù)量)；第三種，缺貨成本受缺貨數(shù)量和等待時(shí)間的共同影響，以恒定的比例增加。Montgomery和Johnson[12]是第一個(gè)提出部分延期交貨概念的，并且認(rèn)為每單位缺貨的成本是固定的，總?cè)必洺杀倦S缺貨時(shí)間線性增加。Abad[13]考慮了具有部分延遲訂購的易腐品庫存模型，其中滯后供給率是以顧客沒有耐心的方法表示的，并且根據(jù)顧客對等待時(shí)間的敏感程度分別采用線性函數(shù)倒數(shù)和負(fù)指數(shù)函數(shù)。San Jose等[14]在Montgomery的基礎(chǔ)上，提出缺貨時(shí)需求是等待時(shí)間的負(fù)指數(shù)函數(shù)，其中缺貨成本包括一個(gè)固定成本和一個(gè)與缺貨時(shí)長成比例的成本。Sicilia等[15]考慮缺貨時(shí)需求率是關(guān)于等待時(shí)間的線性函數(shù)且缺貨成本是缺貨時(shí)間的二次函數(shù)。羅兵等[16]在特價(jià)商品的研究中提出，在缺貨時(shí)特價(jià)商品的價(jià)格和等待時(shí)間共同決定了滯后供給率。羅兵等[17]以連鎖商店為對象，研究顧客等待時(shí)需求轉(zhuǎn)移的情況，其中滯后供給率是關(guān)于等待時(shí)間的負(fù)指數(shù)函數(shù)，缺貨成本依賴等待時(shí)間的成比例增長。

本文與過去文獻(xiàn)的主要區(qū)別在于：①對變質(zhì)品的研究中，絕大多數(shù)的學(xué)者采用庫存以一定的速率衰減，單位時(shí)間的持有成本是固定的。本文用非線性持有成本來考慮變質(zhì)品的變質(zhì)或揮發(fā)特征，累積持有成本呈指數(shù)函數(shù)增加。②對于將變質(zhì)率放在持有成本中考慮的文章，極少有研究涉及滯后供給情況。Sazvar等[7]考慮了一個(gè)完全延期供給的庫存模型，本文在其基礎(chǔ)上建立了一個(gè)部分滯后供給的庫存模型。③本文與大部分固定的單位缺貨成本不同，采用依賴于等待時(shí)間的非線性缺貨成本?；谝陨先c(diǎn)區(qū)別，建立一個(gè)具有時(shí)間依賴特征的非線性持有及缺貨成本的庫存控制模型。

2 具有時(shí)間依賴成本的庫存控制模型

當(dāng)零售商銷售變質(zhì)品時(shí)，通常會面臨變質(zhì)品的變質(zhì)率隨存儲時(shí)間呈指數(shù)型增長，且為了降低產(chǎn)品變質(zhì)帶來的損失，一般會允許產(chǎn)品部分積壓的問題。為了解決變質(zhì)所帶來的問題，需要對具有時(shí)間依賴特征的變質(zhì)品進(jìn)行庫存控制研究。本文以單位時(shí)間總利潤最大化為目標(biāo)，通過構(gòu)建庫存控制模型，得到庫存決策中有現(xiàn)貨時(shí)間、缺貨時(shí)間和回補(bǔ)訂購數(shù)量等最優(yōu)解。

2.1 符號定義和假設(shè)條件

為了描述問題和建立模型，令市場需求率D是確定且已知的；Ps、Pb分別為每單位商品的銷售價(jià)格和采購價(jià)格(Ps>Pb)；單周期長度為T=t1+t2，其中t1、t2分別為有現(xiàn)貨時(shí)間和缺貨時(shí)間長度；最大庫存水平為S；最大滯后供給量為B；A為固定的訂貨成本/次；w、π分別為滯后供給成本和機(jī)會成本(w<π)；h為單位商品持有成本。為了簡化問題，假設(shè)瞬時(shí)補(bǔ)貨；提前期為零。

變質(zhì)品因腐爛而質(zhì)量下降，無形變質(zhì)產(chǎn)品因放射、蒸發(fā)等問題需要更好的存儲設(shè)施，因此變質(zhì)品的每單位時(shí)間持有成本不是固定的。參照文獻(xiàn)[7]，令單位商品t時(shí)間內(nèi)的累積持有成本H(t)=htγ,其中γ為持有成本彈性(γ>1)。γ表示零售商為了維持產(chǎn)品的新鮮程度每單位時(shí)間所花費(fèi)的保鮮費(fèi)用。

2.2 庫存控制模型

圖1 單周期內(nèi)商品庫存水平

商品在單周期內(nèi)的庫存變化可用如下微分方程表示：

(1)

由邊界條件I(t1)=0，可得庫存水平為

(2)

(3)

商品單周期內(nèi)的總利潤TR由總銷售收入SR、總回補(bǔ)成本AC、累計(jì)持有成本HC、滯后供給成本BC和機(jī)會成本LC構(gòu)成，具體如下：

可得商品單周期內(nèi)的單位時(shí)間總利潤ATR(t1,t2)：

ATR=(t1+t2)-1TR=(t1+t2)-1

(4)

在t1>0、t2≥0的條件下，庫存控制模型的優(yōu)化目標(biāo)是：

(5)

2.3 模型的最優(yōu)解分析

ATR=(t1+t2)-1

(6)

對式(6)關(guān)于t1、t2求偏導(dǎo)數(shù)，并根據(jù)最優(yōu)解存在條件令其為零?？傻茫?/p>

(7)

(8)

聯(lián)立式(7)和式(8)可得：

(9)

令上式右邊為f(t2),即

(10)

對f(t2)關(guān)于t2求導(dǎo)可得：

(11)

由式(9)可得t1關(guān)于t2的表達(dá)式，記為t1(t2)：

(12)

對t1(t2)關(guān)于t2求導(dǎo)可得：

(13)

令式(8)左邊為F(t2)，并將式(6)代入可得：

(14)

可根據(jù)F(t2)的性質(zhì)分析該商品的庫存問題。

當(dāng)t2趨于0時(shí)，得：

當(dāng)t2趨于∞時(shí)，得：

3 數(shù)值分析

以下對持有成本彈性、等待時(shí)間敏感因子、等待時(shí)間的短缺滯后量供給敏感因子參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析，其它參數(shù)取值同上。

3.1 持有成本彈性對最優(yōu)決策的影響

表1 持有成本彈性靈敏度分析

從表1可知，隨著γ的增大，最優(yōu)缺貨時(shí)間隨之增加；最優(yōu)有現(xiàn)貨時(shí)間、回補(bǔ)數(shù)量及單位時(shí)間總利潤隨之減少。γ是非線性持有成本彈性，當(dāng)γ增加時(shí)，也可理解為該產(chǎn)品的變質(zhì)或揮發(fā)速度加快，同時(shí)意味著為了維持每單位產(chǎn)品的新鮮程度，延遲其腐爛或揮發(fā)的速度需要增加更多的保鮮儲存成本。因此，在其他條件不變的情況下，特別是當(dāng)滯后供給成本在一定范圍內(nèi)時(shí)，傾向于保持較少的庫存水平，避免較高的持有成本。

3.2 等待時(shí)間敏感因子對最優(yōu)決策的影響

表2 等待時(shí)間敏感因子靈敏度分析

從表2可知，隨著等待時(shí)間敏感因子k1的增加，最優(yōu)有現(xiàn)貨時(shí)間、最優(yōu)回補(bǔ)訂購量均隨之增加；最優(yōu)缺貨時(shí)間和單位時(shí)間總利潤均隨之減少。這是因?yàn)榈却龝r(shí)間敏感因子k1的增加意味著消費(fèi)者對于等待的不耐煩程度越高，即對待等待時(shí)間更加敏感。當(dāng)k1增加時(shí)，有更多的消費(fèi)者放棄等待選擇購買替代品或轉(zhuǎn)向其它零售店。因此，在這種情況下，應(yīng)增加回補(bǔ)訂購量以保證滿足更多的需求，減少缺貨需求。

3.3 等待時(shí)間的短缺滯后供給量敏感因子對最優(yōu)決策的影響

表3 等待時(shí)間的短缺滯后供給量敏感因子靈敏度分析

從表3可知，隨著等待時(shí)間的短缺滯后供給量敏感因子k0的增加，最優(yōu)有現(xiàn)貨時(shí)間減少；最優(yōu)缺貨時(shí)間、最優(yōu)回補(bǔ)訂購量和單位時(shí)間總利潤都隨之增加。k0的增加意味著消費(fèi)者對于等待滯后供給的意愿提高，對等待時(shí)間并不十分敏感，因而消費(fèi)者不會產(chǎn)生放棄購買、選擇其它零售商購買或者購買替代品的行為。所以，在等待時(shí)間的短缺滯后量供給敏感因子k0增加，其它條件不變的情況下，零售商可以選擇饑餓營銷的手段，縮短有現(xiàn)貨時(shí)間以減少持有成本，適當(dāng)延長缺貨時(shí)間，以達(dá)到更高的利潤。

4 結(jié)論

本文使用非線性成本體現(xiàn)變質(zhì)品的腐爛和非變質(zhì)品的揮發(fā)，當(dāng)進(jìn)入缺貨期后，用顧客不耐煩函數(shù)表示滯后供給率體現(xiàn)等待時(shí)間對消費(fèi)者等待意愿的影響，產(chǎn)生的缺貨成本包括滯后供給成本和機(jī)會成本。以單位時(shí)間總利潤最大化為目標(biāo)，建立相應(yīng)庫存模型。通過對模型的證明和數(shù)值仿真分析，得出以下主要結(jié)論：①隨著γ、k1、w和π的增加，最優(yōu)單位時(shí)間總利潤逐漸下降；隨著k0的增加，最優(yōu)單位時(shí)間總利潤逐漸上漲，其中對單位時(shí)間總利潤影響重要程度因子分別為：k0、γ、k1、π、w。因此，零售商應(yīng)更加注重等待時(shí)間的短缺滯后供給量敏感因子和持有成本彈性對單位時(shí)間總利潤的影響，對于高度腐爛的商品應(yīng)盡可能地縮短其持有時(shí)間，以避免過高的持有成本。②隨著γ、w、k1和π的增加，最優(yōu)回補(bǔ)周期T*呈現(xiàn)下降趨勢，其含義是非線性持有成本、滯后供給成本、等待時(shí)間敏感因子和機(jī)會成本均對該產(chǎn)品的回補(bǔ)訂貨周期產(chǎn)生負(fù)影響。因此，零售商應(yīng)通過縮短補(bǔ)貨周期，增加補(bǔ)貨頻率來滿足需求以減少過高的持有成本和缺貨成本。③當(dāng)商品的售價(jià)、采購價(jià)、等待時(shí)間的短缺滯后量供給敏感因子、機(jī)會供給成、訂貨成本和持有成本彈性的比例失衡時(shí)，應(yīng)不允許缺貨以達(dá)到最高的單位時(shí)間總利潤。

未來還可以進(jìn)行后續(xù)的深入研究，如考慮短缺發(fā)生時(shí)滯后供給率是等待時(shí)間的其它形式(如：指數(shù)、線性等形式)、缺貨時(shí)提供依賴于等待時(shí)間的不同價(jià)格折扣策略、訂貨周期可變等情況。