柔性對渦街中細絲運動狀態(tài)的影響

劉亮，何國毅，何心怡，王琦

（南昌航空大學(xué) 飛行器工程學(xué)院，南昌 330063）

0 引 言

在自然界中，游動或飛行動物通過鰭、翅膀、尾部、軀干等結(jié)構(gòu)的擺動來獲得推力、升力是非常普遍的現(xiàn)象。在擺動過程中，動物的身體往往會發(fā)生比較大的變形，其中柔性起著至關(guān)重要的作用。實驗研究表明，柔性可以提高推進性能。對游動或飛行過程中動物身體或者翅膀柔性的研究，不僅有助于了解運動機理，也能為飛行器和自主水下航行器的設(shè)計提供參考。

近年來，考慮到生物體柔性的特點，同時為了摒除其他因素的影響，一些研究者單獨研究柔性對推進性能的影響，將翅膀、鰭、魚類的尾部以及軀干等柔性結(jié)構(gòu)，簡化成柔性撲翼、細絲等模型。D. Iverson 等通過對撲翼的弦向柔性進行研究，發(fā)現(xiàn)和剛性撲翼相比，柔性撲翼可以提高推力和運動效率；張云飛等的研究表明，展向柔性的引入改變了撲翼有效攻角沿展向的分布，并且適當?shù)恼瓜蛉嵝钥梢詼p小阻力系數(shù)，但是過大的展向柔性卻會增加阻力系數(shù)；Z. Peng 等通過數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)當細絲的柔性從頭端到尾端逐漸減小時，其推力要高于柔性不變的細絲；N. L.Kelsey 等發(fā)現(xiàn)，當水翼的前1/3 部分的柔性比較小，后2/3 部分的柔性比較大時，推進效率是最高的。對于魚類來說，雖然有很多因素（材質(zhì)，外形，流體之間的相互作用，驅(qū)動方式）影響推力的產(chǎn)生和游動效率，但是被動不均勻柔性是影響推力和效率的主要變量。

需要指出的是，在大部分對柔性的研究中，只探究了柔性對推力、運動效率以及推進速度的影響，關(guān)于柔性對運動狀態(tài)以及其他方面影響的研究還比較少。Zhu X 等通過自推進柔性細絲模型，探究了柔性對尾渦對稱性的影響：增加細絲的柔性，會導(dǎo)致細絲頭端攻角減小，使得頭端渦量降低，同時也會增加尾端的拍打速度，導(dǎo)致尾端渦量的增加，這兩種相反的作用相互影響，最終決定尾渦的對稱性。通過對串聯(lián)布置在均勻來流中的兩根頭端固定細絲進行數(shù)值模擬研究（細絲的頭端在水平方向和豎直方向上都是固定不動的，其他部分是自由的），Zhu L D發(fā)現(xiàn)，在其他實驗條件都相同的情況下，細絲柔性較大時，細絲能處于擺動狀態(tài)，但是當細絲柔性較小時，細絲幾乎處于靜止狀態(tài)。

鳥類在長途遷徙的過程中經(jīng)常能保持一定的隊形規(guī)律飛行，后面的個體通常位于前面?zhèn)€體的渦街中，并且當鳥群保持“V”字形隊飛行時，位于側(cè)后方的個體能夠節(jié)約能量。為了探究其中的流體力學(xué)機理，研究者提出了渦街中的細絲模型。Lin Xingjian 等通過對撲翼尾跡中的細絲進行研究，發(fā)現(xiàn)當細絲在渦街中做繞核運動（細絲總是繞著渦核運動，并不會與渦核相撞，類似于障礙滑雪）時，相比于當細絲在渦街一側(cè)運動，細絲的阻力明顯減??；王思瑩等通過對比柔性細絲在卡門渦街和自由來流中的運動，發(fā)現(xiàn)在卡門渦街中，細絲的擺動頻率和卡門渦街脫泄的頻率相同，并且受推力作用，但是在自由來流中，細絲受阻力作用。

在上述研究中，無論是自推進柔性細絲模型還是頭端固定細絲模型，細絲在垂直于前進方向上的運動都是受到限制的，在豎直方向上的流—固耦合作用可能會被忽略，無法充分探究柔性對細絲運動狀態(tài)的影響。

本文在側(cè)向完全自由的柔性細絲模型基礎(chǔ)上，給出三種細絲柔性分布模式，均勻柔性、連續(xù)變?nèi)嵝院头侄稳嵝苑植迹徊?yīng)用浸入邊界法（Im?mersed Boundary Method），通過數(shù)值模擬分析柔性變化對細絲運動狀態(tài)的影響。

1 物理模型和數(shù)值方法

1.1 物理模型

本文物理模型中左邊是剛性撲翼，右邊是柔性細絲，二者均置于從左向右的二維不可壓縮均勻來流中（如圖1 所示）。其中，、分別為撲翼弦長和頭端直徑；為撲翼最大擺角；為細絲長度；為初始來流速度；為細絲頭端和撲翼尾端的距離。

圖1 位于撲翼尾跡中的側(cè)向自由細絲模型示意圖Fig.1 Diagrammatic sketch of the physical model

剛性撲翼繞著頭端半圓中心擺動，擺動方程為

式中：（）為撲翼的擺角，是時間的函數(shù)；為撲翼最大擺動角度；為擺動頻率。

通過給定參數(shù)和的不同取值，撲翼可以產(chǎn)生不同的尾跡，包括卡門渦街和反卡門渦街。細絲的頭端在水平方向上是固定的，在垂直方向上是自由的，細絲其他部分在水平方向和垂直方向上都是不受限制的。在撲翼產(chǎn)生的尾跡穩(wěn)定之后，沿來流方向（=0），細絲被水平放置在渦街中。在周圍流體的作用下，細絲被動擺動。

圖2 細絲的三種柔性分布模式示意圖Fig.2 Three flexible distribution modes of the filament

1.2 數(shù)值方法

流—固系統(tǒng)的控制方程為

式中：，和（）分別為流體的速度，壓強和細絲的位置坐標；和分別為歐拉力密度和拉格朗日力密度，表示流體和固體間的相互作用；為拉格朗日坐標；為時間。

式（2）～式（5）均是無量綱形式，是通過細絲長度和初始來流速度進行無量綱化的（=1.0，=1.0）。

式中：為雷諾數(shù)，=255；為流體密度；為撲翼頭端直徑；為動力黏度。

本文使用到的其他主要無量綱參數(shù)定義為

式中：為基于撲翼撲動頻率的斯特勞哈爾數(shù)；為撲翼擺動的的振幅；為細絲和撲翼之間的水平距離。

此撲翼細絲模型存在兩種浸入邊界，一種是撲翼的剛性邊界，另外一種是細絲的柔性邊界，因此，浸入邊界和流體之間的相互作用力由兩部分組成，如式（10）所示。

式中：（，）為流體和浸入邊界之間的相互作用力；（，）為流體和剛性撲翼之間的相互作用力；（，）為流體和柔性細絲之間的相互作用力。

計算周圍流體和細絲之間相互作用力的方程如下：

撲翼和流體之間的相互作用，通過以下方程計算：

式中：U(，)為撲翼的實際速度；(，)為撲翼的浸入邊界速度（根據(jù)流體速度估算得到）。

對于固體結(jié)構(gòu)，無滑移邊界條件施加在柔性細絲和剛性撲翼表面。施加在細絲頭端（=0）的邊界條件為

施加在細絲自由端（=）的邊界條件為

采用浸入邊界法對撲翼細絲模型進行數(shù)值模擬計算，計算區(qū)域為矩形，尺寸為-5＜＜20，-8＜＜8。本文所使用的計算網(wǎng)格參考于課題組前期的工作，計算網(wǎng)格由280×160 個空間網(wǎng)點組成，網(wǎng)格寬度為Δ=Δ=0.025，時間步長為d=0.002。通過模擬在均勻流中圓柱體的振蕩以及位于圓柱繞流中細絲的運動，得到本文所使用的求解程序驗證是準確的。

2 計算結(jié)果與分析

2.1 細絲運動狀態(tài)計算結(jié)果

通過改變撲翼的擺動頻率和最大擺角，撲翼可以產(chǎn)生不同的尾跡，包括卡門渦街和反卡門渦街。在撲翼產(chǎn)生的尾跡穩(wěn)定之后，細絲才被放入撲翼的尾跡中。通過對比6 組數(shù)據(jù)（如表1 所示），分別在卡門渦街和反卡門渦街中，探究柔性對細絲運動模式的影響。

表1 對比實驗中的物理參數(shù)設(shè)置Table 1 Physical parameter settings in the comparative experiment

在A、B、C、D 四組對比實驗中，撲翼產(chǎn)生的尾跡為卡門渦街。A、B 兩組實驗除了細絲柔性不同，其他參數(shù)都是相同的，在這兩組實驗中，細絲的柔性都是均勻的，但是B 組中的細絲柔性更大。在A 組實驗中，細絲做繞核運動，即細絲總是在相鄰渦核之間來回穿梭擺動，逆時針方向旋轉(zhuǎn)的漩渦（正渦）總是會從細絲的下側(cè)（-方向）通過，而順時針旋轉(zhuǎn)的漩渦（負渦）總是會從細絲的上側(cè)（+方向）通過，細絲做繞核運動時，一個周期內(nèi)四個時刻的渦量云圖如圖3 所示。

圖3 柔性細絲做繞核運動時，一個周期內(nèi)的四個不同時刻的渦量云圖（St=0.12，Ad=2.1）Fig.3 The instantaneous vorticity contours and filament shapes within a complete swing cycle（St=0.12，Ad=2.1）

在A 組實驗中，細絲在渦核間做繞核運動的結(jié)果如圖4 所示。在B 組實驗中，細絲的運動模式和A 完全不同，細絲在渦街一側(cè)運動，即細絲總是保持在渦街外側(cè)擺動，不會返回到渦街中間的位置，正渦和負渦都在細絲的相同一側(cè)（上側(cè)或者下側(cè)）。細絲在渦街一側(cè)運動時，一個周期內(nèi)四個時刻的渦量云圖如圖5 所示。

圖4 A 組實驗結(jié)果結(jié)果Fig.4 Results of group A

圖5 柔性細絲在渦街一側(cè)運動時，一個周期內(nèi)的四個不同時刻的渦量云圖（St=0.22，Ad=2.1）Fig.5 The instantaneous vorticity contours and filament shapes within a complete swing cycle（St=0.22，Ad=2.1）

在B 組實驗中，細絲在渦街一側(cè)運動的結(jié)果如圖6 所示。

圖6 B 組實驗結(jié)果Fig.6 Results of group B

圖7 細絲頭端和尾端的y 坐標隨時間變化的曲線Fig.7 The curve of the y coordinate of the filament changing with time

2.2 細絲運動狀態(tài)隨柔性變化的規(guī)律

由于細絲是被靜止地放入渦街中，在豎直方向上，沒有受到除流場力以外的其他任何力的作用。細絲在豎直方向的擺動（向上擺動或者向下擺動）是因為受到撲翼撲動產(chǎn)生的渦對誘導(dǎo)速度在方 向 的 分 量V的 作 用，其 中，V=(/2π)sin，為渦環(huán)量，為兩相鄰渦核之間的距離，為誘導(dǎo)速度和水平線之間的夾角，如圖8所示。

圖8 流場中渦對的y 向誘導(dǎo)速度VГy計算示意圖Fig.8 Calculation diagram of y-direction induced velocity VГy of vortex pair in flow field

隨著漩渦不斷向下游移動，細絲所在區(qū)域的向（豎直方向）流場誘導(dǎo)速度V的方向（向上或者向下）也會周期性變化，細絲的運動模式和方向上流場誘導(dǎo)速度V大小有關(guān)，同時也受漩渦向下游移動的速度影響，=d（）/d，（）是渦核時刻所在位置的坐標。當V的值比較大時，細絲會受流場力作用，在渦街一側(cè)做自適應(yīng)擺動運動，無法回到渦街中。本課題組前期工作發(fā)現(xiàn)，當比較大時，在細絲剛開始放入渦街的過程中，細絲沒有足夠的時間運動到渦街的外側(cè)，便受到從上游傳輸過來的反向渦的誘導(dǎo)力，從而改變擺動方向，如此循環(huán)往復(fù)，在渦街中做繞核運動，如圖9 所示。

圖9 細絲做繞核運動示意圖［20，22］Fig.9 Schematic diagram of filament moves around the vortex cores［20，22］

圖10 在撲翼擺動參數(shù)（St，Ad）不同的條件下|VΓy|/|Vp|的值Fig.10 The value of||/|Vp|under different flapping parameters（St，Ad）

從圖10 可以看出：

（1）當|V|/||＜0.175 時，細絲在渦街中做繞核運動。改變細絲的柔性，細絲的運動狀態(tài)并不會改變，始終是做繞核運動。這是由于當|V|/||的值較小時，渦對在豎直方向上的誘導(dǎo)速度較小，且由于的值相對較大，細絲沒有足夠的時間朝渦街的上側(cè)（或下側(cè)）運動，便受到從上游傳輸過來的反向渦的作用，被迫改變運動方向，開始朝渦街下側(cè)（或上側(cè)）擺動，因此細絲一直在渦街中做繞核運動。

（2）當0.175≤|V|/||＜0.3 時，細絲在渦街一側(cè)運動。但是，減小細絲柔性，細絲的運動狀態(tài)會由在渦街一側(cè)運動轉(zhuǎn)變繞核運動。為了探究細絲運動狀態(tài)發(fā)生改變所對應(yīng)的?值和|V|/||之間的關(guān)系，通過六組算例進行對比，如表2 所示。

表2 細絲的運動狀態(tài)隨剛度的變化關(guān)系Table 2 The motion state of the filament varies with the stiffness

表3 值過渡區(qū)間與|VΓy|/|Vp|的對應(yīng)關(guān)系Table 3 The corresponding relationship between transition interval and|VΓy|/|Vp|

（3）當0.3≤||/||時，細絲的運動狀態(tài)為在渦街一側(cè)運動，改變細絲的柔性，細絲依然保持在渦街一側(cè)運動。由于V的值比較大，渦對在豎直方向上的誘導(dǎo)速度較大，且上游反向渦向下游傳輸?shù)乃俣容^慢，細絲有足夠的時間運動到渦街的上側(cè)（或下側(cè)），在這種情況下，即使細絲的剛度較大，細絲也會被帶到渦街外側(cè)。

3 結(jié) 論

（1）本文提出了固定柔性分布、連續(xù)變?nèi)嵝苑植己头侄稳嵝苑植既N細絲柔性分布模式，在撲翼尾跡中（卡門渦街或者反卡門渦街），當其他參數(shù)相同時，改變細絲柔性，細絲的運動狀態(tài)也會改變。

（2）細絲運動狀態(tài)隨柔性的變化規(guī)律受渦對在豎直方向上的誘導(dǎo)速度和渦向下游傳輸速度的共同影響，并且，剛度較大的細絲傾向于在渦街中做繞核運動，而剛度較小的細絲傾向于在渦街一側(cè)運動。

柔性飛行器或自主水下航行器在進行編隊航行時，應(yīng)根據(jù)流場結(jié)構(gòu)，對下游個體設(shè)置合適的柔性，使其能夠始終保持在上游個體產(chǎn)生的尾跡一側(cè)運動，達到減小阻力，節(jié)約能量的目的。