從“準(zhǔn)確理解”到“靈活選擇”

曹琴

摘要：在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的運算能力，應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識運算的意義、明確運算的對象、明晰運算的算理，準(zhǔn)確理解運算;充分利用工具、自覺判斷結(jié)果合理性，精準(zhǔn)實施運算;進(jìn)而能夠根據(jù)實際問題情境靈活選擇運算，自覺應(yīng)用“數(shù)學(xué)的”方式靈活地解決問題。

關(guān)鍵詞：運算能力;算理;算法;應(yīng)用

本文系江蘇省常州市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃第二批重點課題“小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科運算能力的校本實踐研究”（編號：CJKZ2020033）的階段性研究成果。運算是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見且重要的內(nèi)容，也是解決數(shù)學(xué)問題時有效且基本的方式。運算能力自然也就成為學(xué)生應(yīng)該具備的關(guān)鍵能力。筆者以為，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅要引領(lǐng)學(xué)生準(zhǔn)確理解運算、精準(zhǔn)實施運算，還要讓學(xué)生能夠根據(jù)實際問題情境靈活選擇運算。

一、準(zhǔn)確理解運算

（一）認(rèn)識運算的意義

運算意義的理解和建構(gòu)是一切運算教學(xué)的起點和源泉。不管是算理的理解、算法的掌握還是問題的解決，都源自對運算意義的理解，即在具體情境中對“算什么”“為什么這樣算”的理解。

比如“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”的教學(xué)，對于問題：“1朵綢花用310米綢帶，3朵這樣的綢花需要多少米綢帶？”教師借助長方形紙條圖，引導(dǎo)學(xué)生首先理解“1朵綢花用310米”的含義，再提供相應(yīng)的工具，提出要求：“怎樣表示出3朵綢花用的米數(shù)？”學(xué)生在操作中直觀感知“求3朵綢花用的綢帶長度就是求3個310米是多少”“既可以用加法310+310+310，也可以用乘法310×3”。在直觀操作中抽象，將整數(shù)、小數(shù)乘法的運算意義推廣到分?jǐn)?shù)乘整數(shù)。

（二）明確運算的對象

對運算對象的理解包括對參與運算的數(shù)（或者數(shù)量）及含義的理解、運算符號的理解以及解決問題中對問題情境的理解。學(xué)生對運算對象的理解程度直接反映學(xué)生的運算水平和運算能力。只有清楚明白地理解運算中的數(shù)或者數(shù)量、運算符號、問題等，才能正確、合理、靈活地進(jìn)行運算。隨著學(xué)段的提升，運算對象也逐步復(fù)雜——數(shù)的范圍不斷擴大，從整數(shù)到小數(shù)再到分?jǐn)?shù);問題情境也由單一變?yōu)榫C合。對于學(xué)生明確運算對象的能力和方法的培養(yǎng)需要引起教師的足夠重視。

比如，對于“把四個同樣大的橙子分給小朋友，每個小朋友分12個，可以分給幾個人？” 這一問題情境，引導(dǎo)學(xué)生分析其中的信息，明確運算對象：平均分，用除法計算，運算符號為“÷”;總數(shù)÷每份數(shù)=份數(shù)，總數(shù)是4，每份數(shù)是12，列式為4÷12;進(jìn)一步明確運算對象的類型，4是整數(shù)，12是分?jǐn)?shù)，4÷12是整數(shù)除以分?jǐn)?shù)。明確運算對象后，學(xué)生可以根據(jù)情況選擇方法進(jìn)行運算。

再如，計算“5×16”時，有學(xué)生會把結(jié)果寫成“90”，顯然，這是沒有辨析清楚運算的對象，把“5×16”當(dāng)成“6×15”來計算了。教師可以通過題組對比分析的方法，突出強調(diào)運算對象，如：觀察5×16，15×6和18×5，15×8兩組算式，計算并比較，你有什么想說的？借助對象相似的題組分析，可以讓學(xué)生在對比中強化對運算對象的認(rèn)知，知曉明確運算對象的重要性。

（三）明晰運算的算理

算理就是計算的原理，指四則運算中的理論依據(jù)。算理為算法提供理論基礎(chǔ)，呈現(xiàn)了知識發(fā)展的過程，是算法的解構(gòu)和解釋?，F(xiàn)行各版本教材均特別關(guān)注算理的多元呈現(xiàn)和多元表征。有的基于概念本質(zhì)明晰算理，如蘇教版一年級上冊“9加幾”的教學(xué)，例題圖呈現(xiàn)9+4，可以基于數(shù)的基數(shù)意義，一個一個地數(shù)，從1數(shù)到13正好數(shù)完所有的蘋果，一共有13個蘋果;可以基于數(shù)的序數(shù)的意義，9后面再數(shù)4個數(shù)，得出正確結(jié)果;當(dāng)然也可以結(jié)合分與合的概念進(jìn)行“湊十”。這些都是基于加的概念進(jìn)行的算理表征，后續(xù)乘法和除法的教學(xué)中也有類似的基于概念的算理表征。有的借助操作表征明晰算理，大多在低年段運用，利用小棒等學(xué)具，由直觀操作到表象操作再到抽象分析，逐步完善對算理的理解。有的采用圖形表征，數(shù)形結(jié)合表征算理，如計算12+14+18+116+132，用圖形表征計算過程，使運算規(guī)律的算理形象更直觀，便于學(xué)生更好地理解。

二、精準(zhǔn)實施運算

（一）充分利用工具

教學(xué)中要借助豐富的實踐活動，將算理的理解與解析建立在與原有算法相關(guān)知識發(fā)生、發(fā)展與聯(lián)系的基礎(chǔ)之上，使得新舊知識多角度、深層次地溝通，“明理，會意，成形”，使運算能力的形成顯性化。提供相應(yīng)、適合的學(xué)習(xí)工具是達(dá)成這一目標(biāo)的重要手段。

比如，“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”教學(xué)中，對于35×14和23×45，教師提供長方形指導(dǎo)操作，讓學(xué)生在圖形分割中邊操作邊體會分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的含義?！霸鯓颖硎境?/5的1/4？”學(xué)生先分割長方形得到3/5 （如圖1），然后表示出3/5的1/4 （如圖2）;“為什么只將35的部分平均成為4份，取1份？”“為什么不斜著平均分成4份？”“結(jié)果是多少？一共平均分成多少份？一共取了多少份？”教師借助平均分長方形（單位“1”）的過程，不斷使學(xué)生加深對單位“1”變化的體悟，體會分?jǐn)?shù)乘法的內(nèi)涵，進(jìn)而由3/20這個結(jié)果推想算法，發(fā)現(xiàn)分子乘分子的積作為積的分子、分母乘分母的積作為積的分母。

（二）自覺判斷結(jié)果合理性

結(jié)果合理性的判斷包括能根據(jù)實際的問題情境，對運算結(jié)果合理性的判斷以及掌握幾種對運算結(jié)果進(jìn)行正誤判斷的能力。

比如，對于“張叔叔買了一輛售價為78500元的汽車，按國家規(guī)定購買汽車要繳納10%的購置稅，張叔叔購買這輛車一共要付多少元？”這一問題，有學(xué)生列式為78500×10%=785（元）。這時，教師可以這樣引導(dǎo)學(xué)生判斷結(jié)果的合理性：根據(jù)問題情境和生活經(jīng)驗直接判斷：785元絕對不可能買到一輛汽車;反觀問題情境中的條件——“售價為78500元”，一共要付的錢肯定比這個要多。

再如，對題目“48×1.2=5.76，你能不計算，判斷計算結(jié)果是否正確嗎？”這時，教師需要給予指導(dǎo)，使學(xué)生掌握多種判斷方法：其一，根據(jù)小數(shù)乘法的法則。兩個因數(shù)一共是一位小數(shù)，積最多是一位小數(shù)，這里是兩位小數(shù)，計算結(jié)果是錯的。其二，估算。48×1=48，估小了結(jié)果為48，正確結(jié)果肯定比48要大。有了方法作為支撐，學(xué)生才能熟練和自覺地進(jìn)行結(jié)果合理性的判斷。這些判斷結(jié)果合理性的方法不僅僅是為了解決眼前的問題，更重要的是讓學(xué)生自覺應(yīng)用于日常的計算中。

三、靈活選擇運算

學(xué)生運算能力的培養(yǎng)，不僅要追求準(zhǔn)確理解運算、精準(zhǔn)實施運算，更要以具體運算問題為載體，理解問題情境，自覺應(yīng)用“數(shù)學(xué)的”方式靈活地解決問題。解決實際問題時，大致可按照圖3所示的思路靈活選擇方法。

比如，對于“學(xué)校準(zhǔn)備開展綜合實踐活動，老師要為全班48位同學(xué)定制班級徽章，每個徽章2.5元，老師帶200元夠嗎？一共要付多少元？”這一問題，教師帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)真審題之后，選擇計算方法——判斷“200元夠嗎”并不需要準(zhǔn)確計算出結(jié)果，所以最簡潔的方法是估算。有了估算的意識之后，還要會正確地估算。把48估成50，把2.5估成3，50×3=150元，估大了都只要150元，所以200元肯定夠。對于“一共要付多少元”，在明確運算對象的基礎(chǔ)上，知道需要精確計算，列式“2.5×48”。如何更靈活地準(zhǔn)確計算，也暗藏玄機——可以豎式計算，可以簡便計算;簡便計算的方法還多種多樣，可以是2.5×4×12，還可以是2.5×（40+4+4）。這個過程，學(xué)生步步為營地分析，不斷地遞進(jìn)式思考更靈活的方法。