初中數(shù)學(xué)一元二次方程概念教學(xué)中“問(wèn)題結(jié)構(gòu)化”的嘗試

羅玉封

【摘要】本文以人教版教材九年級(jí)第二十二章《一元二次方程》中有關(guān)一元二次方程及相關(guān)概念的教學(xué)內(nèi)容為例，按照《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求實(shí)施本章的概念教學(xué)的同時(shí)，嘗試將概念理解按布魯姆“教育目標(biāo)分類(lèi)法”的六個(gè)層次進(jìn)行“問(wèn)題結(jié)構(gòu)化”：衍生概念、導(dǎo)入概念、同化概念、鞏固概念、深化概念、延申概念，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中體驗(yàn)、感受、理解這些知識(shí)的來(lái)源、生成和本質(zhì)，從而提高學(xué)生提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);問(wèn)題結(jié)構(gòu)化;概念教學(xué);一元二次方程;問(wèn)題情景

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，數(shù)與代數(shù)的學(xué)習(xí)不僅要使學(xué)生掌握必要的知識(shí)和技能，而且要使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中體驗(yàn)、感受、理解這些知識(shí)的來(lái)源、現(xiàn)實(shí)背景和本質(zhì)，形成數(shù)感和符號(hào)感，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，了解數(shù)學(xué)的價(jià)值，提高提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。因此，數(shù)與代數(shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有趣的、富有挑戰(zhàn)性的。教師應(yīng)該通過(guò)實(shí)際情景或問(wèn)題情景使學(xué)生了解數(shù)與代數(shù)的意義，讓學(xué)生經(jīng)歷探索和發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，在問(wèn)題情景下感受和體驗(yàn)有關(guān)的知識(shí)。一元二次方程是初中“數(shù)與代數(shù)”部分的重要概念之一，在中考命題中有著不可或缺的地位。它是方程及一元一次方程內(nèi)容的再發(fā)展，同時(shí)，也是后續(xù)學(xué)習(xí)二次函數(shù)的前提與基礎(chǔ)，在初中“數(shù)與代數(shù)”部分的教學(xué)內(nèi)容里擔(dān)當(dāng)著承上啟下的作用。

根據(jù)布魯姆“教育目標(biāo)分類(lèi)法”及學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，本節(jié)概念教學(xué)過(guò)程分為六個(gè)步驟：衍生概念、導(dǎo)入概念、同化概念、鞏固概念、深化概念、延申概念，并進(jìn)行“問(wèn)題結(jié)構(gòu)化”，助力學(xué)生對(duì)概念教學(xué)理解的深度、廣度和高度。

一、衍生概念，類(lèi)比嘗試

一元二次方程是初中學(xué)段“數(shù)與代數(shù)”部分中的重要內(nèi)容，也是歷屆中考的熱門(mén)考點(diǎn)之一。熟練掌握一元二次方程及相關(guān)概念，對(duì)于整個(gè)方程這一知識(shí)版塊的理解和認(rèn)識(shí)會(huì)得到進(jìn)一步的鞏固和加深，同時(shí)也為后續(xù)有關(guān)函數(shù)的內(nèi)容的學(xué)習(xí)尤其是二次函數(shù)的學(xué)習(xí)會(huì)起到重要的基石作用。

數(shù)學(xué)概念就是反映思考對(duì)象空間形式和數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的思維形式，一元二次方程與先前所學(xué)習(xí)的方程和一元一次方程的有關(guān)知識(shí)聯(lián)系密切，將三者的主要內(nèi)容放在一起進(jìn)行對(duì)比學(xué)習(xí)，將三者之間的區(qū)別與聯(lián)系展現(xiàn)給學(xué)生，從而使得學(xué)生對(duì)方程的概念能從一元一次到一元二次形成認(rèn)知上的類(lèi)比遷移。一元二次方程是在對(duì)方程已有認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上的發(fā)展，根據(jù)這一特點(diǎn)設(shè)計(jì)衍生概念的問(wèn)題情景：

我們了解方程的概念嗎？

我們了解方程的解的概念嗎？

我們了解的概念是從哪里得到的？

例1：

1.含有_____的等式叫做方程。

2.只含有___個(gè)未知數(shù)，且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是_____，這樣的方程叫做一元一次方程。

3.使得方程中等號(hào)左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的_____。

通過(guò)復(fù)習(xí)回顧方程及一元一次方程的有關(guān)概念，為衍生出一元二次方程及相關(guān)概念奠定基礎(chǔ)。同時(shí)，用對(duì)比教學(xué)的形式上，采用列表格的形式來(lái)凸顯本課的教學(xué)內(nèi)容實(shí)現(xiàn)概念間的衍生觀。

例2：

以上概念的描述對(duì)于學(xué)生而言比較抽象。而且，還有系數(shù)等概念還需要具體地加以說(shuō)明。這兩個(gè)概念是建立在初一上學(xué)期學(xué)習(xí)“一元一次方程及一元一次方程的解”的基礎(chǔ)上對(duì)方程學(xué)習(xí)的再發(fā)展，目的是希望在課本教材的基礎(chǔ)上進(jìn)行豐富和優(yōu)化，讓學(xué)生經(jīng)歷探索和發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，在問(wèn)題情景下感受和體驗(yàn)一元二次方程概念。因此，在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，教師抓住了這些概念的內(nèi)涵與外延，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題情景，給予學(xué)生體驗(yàn)感知發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)。這樣，學(xué)生才能快速把握一元二次方程及相關(guān)概念和系統(tǒng)掌握一元二次方程的相關(guān)知識(shí)。

二、導(dǎo)入概念，設(shè)置操作與問(wèn)題情境

人教版教材在第二十二章《一元二次方程》的引言中提出了一個(gè)關(guān)于制作無(wú)蓋方盒的問(wèn)題，以此為現(xiàn)實(shí)背景引出本課的有關(guān)一元二次方程的概念。在此基礎(chǔ)上設(shè)置了一個(gè)制作無(wú)蓋小紙盒比賽為背景的實(shí)際操作情景，并考慮到本課的重點(diǎn)和可操作性，因此將落腳點(diǎn)放在列方程這一環(huán)節(jié)上，對(duì)問(wèn)題中的等量關(guān)系尋找給出了提示，并在學(xué)生列出方程后，提出問(wèn)題讓學(xué)生對(duì)所列方程和一元一次方程進(jìn)行比較，思考其不同點(diǎn)。

例3：班級(jí)即將舉行制作無(wú)蓋方盒比賽，每位參賽選手將拿到一塊長(zhǎng)方形紙皮，長(zhǎng)10cm，寬5cm，在它的四角各切去一個(gè)同樣的正方形，然后將四周突出部分折起就能制作一個(gè)無(wú)蓋方盒，如果要制作的無(wú)蓋方盒的底面積為36cm2，那么各位選手應(yīng)在紙皮各角切去多大的正方形？

分析：設(shè)切去的正方形邊長(zhǎng)為xcm，則盒底的長(zhǎng)為_(kāi)____cm，寬為_(kāi)____cm，根據(jù)_____×_____=長(zhǎng)方形面積，列出方程得：__________，整理、化簡(jiǎn)得：___________。

例4：根據(jù)問(wèn)題1的內(nèi)容列出的方程有什么特點(diǎn)？與之前學(xué)的一元一次方程有什么不同？____________________

分析：任何一個(gè)概念都不是孤立的，一些概念之間往往有著十分緊密的聯(lián)系，對(duì)那些相近或相似關(guān)系的概念，因?yàn)樗鼈冇兄T多的相似，所以用類(lèi)比的方法進(jìn)行教學(xué)，產(chǎn)生類(lèi)比構(gòu)建的良好思維習(xí)慣。類(lèi)比的方法不是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明方法，它是根據(jù)事物間的共同特性，由一事物研究另一事物的思維方法，可以作為概念教學(xué)的情境創(chuàng)設(shè)方法。同時(shí)，讓學(xué)生在動(dòng)手操作過(guò)程中體驗(yàn)、感受、理解這些知識(shí)的來(lái)源、生成和本質(zhì)，提高提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

解決了上述問(wèn)題后，導(dǎo)入本課的一元二次方程的概念，以填空的形式讓學(xué)生自主完成：

概念1：等號(hào)兩邊都是_____，只含有_____未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是_____的方程叫做一元二次方程。

當(dāng)學(xué)生得到了這個(gè)新的概念后，筆者設(shè)計(jì)導(dǎo)入概念的問(wèn)題情景：

一元二次方程概念核心要素有幾個(gè)？

一元二次方程概念理解的關(guān)鍵是什么？

一元二次方程概念一般形式中哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)是我們最容易遺忘也最容易出考題？

一般形式中如果a=0會(huì)怎樣呢？

然后，學(xué)生要抓住概念的關(guān)鍵詞——1個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2，整式方程，一般形式：ax2+bx+c=0（a ≠0），一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)等概念，關(guān)鍵是整式方程。特別解釋?zhuān)琣≠0是最容易遺忘也最容易出考題，讓學(xué)生更深入地去感受和理解概念。

三、同化概念，題組練習(xí)

在概念的同化階段，主要采用題組練習(xí)的方式進(jìn)行，題組的設(shè)計(jì)由淺入深，讓學(xué)生同化概念的同時(shí)轉(zhuǎn)化為對(duì)知識(shí)的應(yīng)用與操作技能的提升。

例5：下列方程中，是一元二次方程的是（ ）

A.? 2x2-=0 ? ? ?B.? y2+x=1

C.? x2+1=0 ? ? ? ? ?D. （x+1）2+5=x2

例6：將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫(xiě)出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)：

（1）5x2-1=4x? ? （2）4x2=81? ? ? （3）4x（x+2）=25

練習(xí)3 填空

（1）關(guān)于x的一元二次方程（m2-9）x2+（m-3）x+5=0，m=_____時(shí)是一元二次方程;m=_____時(shí)是一元一次方程。

（2）m=_____時(shí)，（m+1）x|2m|+5mx-1=0是關(guān)于x的一元二次方程。

經(jīng)過(guò)上述的題組練習(xí)，讓學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)一元二次方程的認(rèn)知和同化。特別是二次項(xiàng)系數(shù)a≠0這一要求，這是學(xué)生在平時(shí)比較容易忽略的知識(shí)點(diǎn)。

四、鞏固概念，具體入抽象

當(dāng)然，在這一環(huán)節(jié)的教學(xué)中，筆者也遇到了一些困惑和問(wèn)題。在本次教學(xué)中，課本對(duì)于二元一次方程是整式這一內(nèi)容沒(méi)有加以說(shuō)明，有的學(xué)生也容易忽視這一方面，這樣便會(huì)在面對(duì)形如本文練習(xí)1中所提到的2x2-=0誤判其為一元二次方程。值得說(shuō)明的是，在解釋該方程不是一元二次方程時(shí)，筆者一開(kāi)始是想通過(guò)說(shuō)明方程中所含有x的項(xiàng) ，其實(shí)可以寫(xiě)成x-1，由于其次數(shù)是-1而不是1來(lái)說(shuō)明，即讓學(xué)生掌握“整式”這一關(guān)鍵點(diǎn)，學(xué)生在此處容易犯錯(cuò)。在本文練習(xí)1中所提到的（x+1）2+5=x2也容易讓學(xué)生誤認(rèn)為是一元二次方程。在這一練習(xí)講解時(shí)再次提及a≠0，有必要的話(huà)加大題組的題量或在課后作業(yè)中進(jìn)一步鞏固。

簡(jiǎn)而言之，筆者認(rèn)為，教師應(yīng)該要設(shè)想學(xué)生在接受新知和利用新知解決問(wèn)題時(shí)所可能出現(xiàn)的狀況，有了這方面的心理準(zhǔn)備，那么不論是在課前掃清學(xué)習(xí)新知的障礙，還是在學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到挫折后再掃清障礙，都可以做到有的放矢，掌控自如。

五、反思操作，深化概念

一元二次方程的解的概念，教材是利用一個(gè)表格讓學(xué)生自主探究進(jìn)而給出的。但是，經(jīng)筆者思考并在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，如果完全按照課本教材進(jìn)行講解，學(xué)生的合作交流的程度不夠，且因?qū)W生的個(gè)體差異，導(dǎo)致有的學(xué)生很快完成探究，而有些學(xué)生卻不知所以然，使得課堂教學(xué)進(jìn)度不一，效果較差。因此，針對(duì)這一情況，筆者采用類(lèi)比遷移的方法由已經(jīng)熟悉的一元一次方程的解類(lèi)比得到一元二次方程的解：“使得方程中等號(hào)左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解”，這一概念在一元二次方程的解中同樣適用。這樣，學(xué)生能進(jìn)行知識(shí)的類(lèi)比遷移，對(duì)新知識(shí)的吸收更快，而且筆者設(shè)計(jì)了以下練習(xí)用以鞏固學(xué)生對(duì)方程的解的概念進(jìn)行深化認(rèn)知。

例7：下面哪些數(shù)是方程x2-3x+2=0的解？為什么？

-1，0，1，2，3

例8：已知x=-1是方程x2+mx+1=0的一個(gè)根，求m的值。

例9：一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比寬多1cm，面積是132cm2，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬各是多少？

第一、二道練習(xí)的設(shè)計(jì)目的主要是鞏固一元二次方程的解的概念，第三道練習(xí)的設(shè)計(jì)目的是為了進(jìn)一步說(shuō)明一元二次方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的重要數(shù)學(xué)模型，與課堂引入的例子進(jìn)行呼應(yīng)，同時(shí)也為后續(xù)關(guān)于一元二次方程的解法的學(xué)習(xí)設(shè)置一個(gè)鋪墊。

當(dāng)學(xué)生完成練習(xí)后，采用深化概念的問(wèn)題情景引導(dǎo)學(xué)生思考總結(jié)本課所學(xué)內(nèi)容，說(shuō)出感受和收獲。這樣，學(xué)生通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)不僅掌握了一元二次方程的概念，而且能快速地判斷哪些是一元二次方程的解。

深化概念的問(wèn)題情景：

一元二次方程的概念與一元二次方程的解的概念是什么？

兩個(gè)概念的意義是什么，兩個(gè)概念的作用是什么？

一元二次方程的概念與一元二次方程的解的概念怎樣獲得，你下次會(huì)用類(lèi)似的方法解決問(wèn)題嗎？

六、延伸概念，實(shí)施課例后的思考

一元二次方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型之一，它來(lái)源生活實(shí)際，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的建模思想。在概念教學(xué)過(guò)程中，對(duì)這一概念導(dǎo)入也是通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的提出而進(jìn)行的，在生活中還有很多例子只用一元一次方程是沒(méi)法解決的，必須利用一元二次方程相關(guān)問(wèn)題設(shè)置，讓學(xué)生在思維上產(chǎn)生認(rèn)知沖突。故教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)讓學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)一元二次方程的價(jià)值，讓學(xué)生初步建立數(shù)學(xué)模型的思想，初步學(xué)習(xí)如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化思想;并設(shè)置問(wèn)題情景讓學(xué)生產(chǎn)生聯(lián)想和串通，將概念向更深更高更廣的層次延申，延申概念的問(wèn)題情景：

解一元一次方程的過(guò)程有幾個(gè)步驟？

能不能將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程來(lái)解呢？

大家還記得因式分解的過(guò)程嗎，它能給你什么啟發(fā)？

最后，本節(jié)概念課教學(xué)通過(guò)結(jié)構(gòu)化問(wèn)題與問(wèn)題情景的設(shè)置也培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)——數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題等多層次的數(shù)學(xué)能力。

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責(zé)任編輯? 鐘春雪