小學數(shù)學知識的生長點研究

潘超 田原

【摘 要】知識的生長點即知識的發(fā)生點、固著點，是學科知識邏輯演化的根基和學生認知發(fā)展的基礎(chǔ)。文章以牛獻禮老師的課堂教學為例，從新舊知識、情境知識、抽象知識、交匯知識、困惑知識、重要知識幾個方面對小學數(shù)學知識的生長點進行了研究。

【關(guān)鍵詞】小學數(shù)學;知識生長;生長點;課堂教學

【作者簡介】潘超，教授，碩士研究生導師，主要研究方向為小學數(shù)學教育與教師教育;田原，高級教師，主要研究方向為小學數(shù)學教育和教育管理。

美國教育家杜威認為，教育即生長，教育的目的就是生長，除此之外別無目的[1]。也就是說，教育要給學生的成長創(chuàng)造一切條件，順應學生成長的規(guī)律。在數(shù)學課堂上，實現(xiàn)知識的生長，使得學生學習得以真正發(fā)生，是促進學生成長的重要方面。那么，實現(xiàn)知識生長的條件是什么？筆者認為，實現(xiàn)知識生長的首要條件是學生知識的未成熟或未完滿狀態(tài)，其符合學科、教育學、心理學、生理學等方面的原理和機制，能夠滿足學生成長的需要，同時具備作為知識客體需存在的根基和發(fā)展空間[2]。事實上，每一堂課的知識內(nèi)容都存在知識生長的條件，但是課堂上有知識生長的條件并不意味著能很好地實現(xiàn)知識生長，還需要教師有很好的駕馭能力，能敏銳地捕捉和把握知識生長點。知識的生長點即知識的發(fā)生點、固著點，是學科知識邏輯演化的根基和學生認知發(fā)展的基礎(chǔ)。它包括新舊知識的銜接點、情境知識的問題點、抽象知識的關(guān)鍵點、交匯知識的融通點、困惑知識的癥結(jié)點、重要知識的衍生點等（如圖1）。本文以牛獻禮老師（以下簡稱牛老師）的課堂教學為例，對小學數(shù)學知識的生長點進行探究。

一、新舊知識的銜接點

一般來說，教學內(nèi)容中的諸多知識點構(gòu)成了知識模塊，又由知識模塊構(gòu)成相對獨立的知識體系，從而形成相互聯(lián)系的知識網(wǎng)。知識網(wǎng)的建立有許多銜接點，這些銜接點往往具有較強的邏輯關(guān)聯(lián)性，其中新舊知識的銜接點是重要的知識生長點。從知識生長角度來看，數(shù)學知識的學習過程本質(zhì)上就是基于知識的生長點構(gòu)建各知識節(jié)點的過程，是新舊知識銜接、更替的過程。因此，學生對于數(shù)學新知識的學習總是基于原有的舊知識和學生本身的數(shù)學現(xiàn)實。要實現(xiàn)知識網(wǎng)的構(gòu)建，達成知識的生長，需要教師準確抓取新舊知識的銜接點。而要抓取新舊知識的銜接點最重要的是疏通知識邏輯，在知識邏輯中找到知識點的銜接紐帶。比如，在牛老師執(zhí)教的“三位數(shù)乘兩位數(shù)”一課中，牛老師抓取新舊知識的銜接點讓學生開展學習活動，使學生實現(xiàn)了知識的生長。

案例1 三位數(shù)乘兩位數(shù)的運算[3]

師：今天我們一起來學習三位數(shù)乘兩位數(shù)，在學習這個知識點之前，請同學們回憶一下，我們已經(jīng)學過哪些筆算乘法？

生：三位數(shù)乘一位數(shù)和兩位數(shù)乘兩位數(shù)。

師：請大家分別計算114×2和14×23。

（學生進行計算、交流、反饋，如圖2。）

師：14×23是怎么運算的？

生：因數(shù)23個位上的數(shù)3和十位上的數(shù)2依次乘因數(shù)14，得出第一層積為42，第二層積為28，兩層積加起來是322（如圖3）。

師：三位數(shù)乘一位數(shù)的計算方法是根據(jù)兩位數(shù)乘兩位數(shù)法則中的哪一句？

生：個位數(shù)依次去乘另一因數(shù)每一位上的數(shù)。

數(shù)學教師的任務之一是幫助學生構(gòu)建數(shù)學現(xiàn)實，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展他們的數(shù)學現(xiàn)實[4]。三位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)就是學生的數(shù)學現(xiàn)實（已有舊知識），而三位數(shù)乘兩位數(shù)則是學生要發(fā)展的數(shù)學現(xiàn)實（新知識）。牛老師從已有數(shù)學現(xiàn)實中找到舊知識與新知識之間的銜接點（兩位數(shù)乘兩位數(shù)法則），將新舊知識的聯(lián)系在原理上進行剖析，搭建聯(lián)系新舊知識的橋梁，從而實現(xiàn)新知識在原有知識結(jié)構(gòu)上的生長。這既是弗賴登塔爾的數(shù)學現(xiàn)實理論的有效應用，也是奧蘇貝爾的先行組織者理論的具體體現(xiàn)。

二、情境知識的問題點

知識的生長需要情境這個“土壤”，這是知識的情境化體現(xiàn)。一般來說，情境知識指蘊含著新知內(nèi)容的情境。情境知識有明確的教學目標指向，富含知識的營養(yǎng)，其可以在合理的情境中得到發(fā)掘、提煉和發(fā)展。這個過程往往伴隨著數(shù)學問題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決的過程，也是一個數(shù)學化的過程。要實現(xiàn)情境知識的生長，需要教師有敏銳的數(shù)學眼光，善于把握問題的焦點，引導學生思考，讓學生在思考中實現(xiàn)知識的建構(gòu)。

案例2 驗證長方形的周長與面積的關(guān)系

如圖4所示為北師大版數(shù)學教材三年級下冊“面積”的一道練習題。該題有一定的現(xiàn)實價值和意義，主要反映長方形周長與面積的關(guān)系：當長、寬越接近時，面積越大;當長、寬相差越大時，面積越小;當長、寬相等（正方形）時，面積最大。教材上沒有直接告訴學生這個規(guī)律，而是通過探究活動，讓學生經(jīng)歷實驗、辨析、比較、猜測、驗證等過程，使學生發(fā)現(xiàn)其中蘊含的規(guī)律、結(jié)論，實現(xiàn)知識的生長。牛老師在教學中設(shè)計了一系列問題以實現(xiàn)學生的知識生長。以下是其中的教學片段。

師：（展示）這里有兩根鐵絲，長度分別為20厘米、24厘米，用它們分別圍成不同的長方形。猜猜看，哪一根鐵絲圍成的長方形面積更大？

生：24厘米長的鐵絲圍成的長方形面積更大。

（其他學生也同意。）

師：為什么？

生：因為24厘米比20厘米長。

師：也就是說周長長的面積就大？

生：是的。

師：（質(zhì)疑）這是真的嗎？

生：不一定。

（面對質(zhì)疑，許多學生的想法發(fā)生了動搖，并陷入沉思。）

師：想一想，可以用什么辦法說明“周長長面積就大，周長短面積就小”的說法是否準確？

生：可以舉例子來算一算。

師：好辦法！數(shù)學上常用舉例子、找反例的方法驗證結(jié)論。如果能找到一個周長短、面積反而大的例子，說明上述說法是錯誤的。大家試著找一下。

（學生進行思考、嘗試、交流。）

生：如圖5，長方形的周長為（4+6）×2=20厘米，面積為4×6=24平方厘米;如圖6，長方形的周長為（1+11）×2=24厘米，面積為1×11=11平方厘米。周長短的長方形面積反而更大。

師：真棒！由此可知，周長長的長方形面積不一定大。

教師在情境中引出問題，發(fā)動學生思考，引發(fā)猜想，激發(fā)了學生的求知欲望，讓學生在復習長方形周長計算的基礎(chǔ)上，體會舉反例是驗證結(jié)論的一種重要方法，為后續(xù)的學習奠定知識和方法的基礎(chǔ)。學生在操作、思考、猜想、計算、表達的過程中，突破了情境本身的背景，逐步深入到問題本質(zhì)，獲得重要的知識。

三、抽象知識的關(guān)鍵點

小學數(shù)學中大多數(shù)知識都有生動、具體的生活背景，教師在引導學生學習的過程中能有意聯(lián)系生活實際，就能讓學生更輕松地學習，更能加深學生對新知識的理解。然而，也有部分知識具有一定的抽象性，相對而言與生活的聯(lián)系性也比較弱，這樣的知識教學起來更顯困難。事實上，盡管是小學階段，數(shù)學教學也不能一味追求生活化、具體化。教師在教學過程中對某些數(shù)學知識進行適度抽象有其必要性和必然性，這有利于鍛煉學生的數(shù)學思維，讓學生加深對數(shù)學知識本質(zhì)的理解。而抽象知識的教學要經(jīng)歷由感性材料加工成概念、判斷、推理等思維形式的抽象過程，一般包括分離、提純和簡略三個基本過程[5]。

案例3 “乘法分配律”的抽象過程

學生在學習了乘法結(jié)合律、乘法分配律之后，經(jīng)常會因為知識之間相互干擾的原因，出現(xiàn)混淆現(xiàn)象。乘法分配律本身是比較抽象的知識，在教學中教師應注意從抽象知識中挖掘出學生能夠理解的關(guān)鍵點，并“對癥下藥”才能使學生把握知識的要點。限于文章篇幅，本文僅介紹牛老師執(zhí)教“乘法分配律”的主要課堂結(jié)構(gòu)（如圖7）。

首先，教師通過“求大長方形的面積”和“購買校服”的實例創(chuàng)設(shè)情境，讓學生體驗乘法分配律產(chǎn)生的背景，認識新學知識的合理性，在此基礎(chǔ)上進行歸納概括，從情境中分離式子，抓住需要解決的問題的核心，讓學生經(jīng)歷數(shù)學化的過程，即乘法分配律的分離過程。其次，教師通過引導學生觀察、比較、猜想、驗算、討論等方式，讓學生探究式子中存在的規(guī)律，從乘法意義角度理解“兩式為什么相等”，初步得到結(jié)論。然后，教師進一步引導學生舉例子進行拓展應用，一方面強化探究的規(guī)律，另一方面說明規(guī)律具有一般性，為后續(xù)符號化的過程奠定基礎(chǔ)，即乘法分配律的提純過程。最后，教師引導學生總結(jié)乘法分配律，并讓學生用符號進行表達，使乘法分配律實現(xiàn)精致、固化，使學生深刻理解“分”“配”“律”的本質(zhì)，這是本節(jié)課的升華，即乘法分配律的簡略過程。整節(jié)課結(jié)構(gòu)嚴謹、層層鋪墊、循序漸進、說明充分，課堂上抽象知識的生長過程有其自然性，但需要教師挖掘抽象知識中的關(guān)鍵點。因此，教師在教學中要非常重視抽象知識的產(chǎn)生背景、邏輯驗證、意義理解、拓展應用和模型建立。

四、交匯知識的融通點

小學數(shù)學各模塊之間的知識點存在交匯現(xiàn)象，通過數(shù)學的內(nèi)在邏輯使得知識點形成網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)，這就是數(shù)學知識的條理化、系統(tǒng)化和網(wǎng)絡化。小學數(shù)學的一些綜合性問題本質(zhì)上就是各知識點之間的交匯問題，或數(shù)學思想方法的復合問題。在對待交匯性較強的知識內(nèi)容時，教師要引導學生獨立思考，并讓學生進行小組討論、合作探究等，尤其要厘清交匯知識之間的邏輯結(jié)構(gòu)，找準交匯知識的融通點，全方位調(diào)動學生學習的積極性，發(fā)展學生的數(shù)學思維。教師可以通過對概念、命題的梳理，把凌亂、細碎、分散的知識點結(jié)成知識鏈，形成知識網(wǎng)，實現(xiàn)局部及總體知識的結(jié)構(gòu)化，使學生完善原有認知結(jié)構(gòu)，達到深化理解所學知識。

案例4 各類圖形面積公式之間的融通

長方形、平行四邊形、三角形、梯形和圓的形狀不同，面積計算公式也各異。它們之間有沒有邏輯交匯呢？如果它們是交匯知識，那么它們之間的融通點是什么呢？

牛老師以梯形面積公式S=（a+b）h÷2為融通點，引導學生對公式進行分析。若b=0，則S=ah÷2，為三角形面積公式;若a=b，則S=ah，為平行四邊形面積公式;若平行四邊形有一個角為直角，則S=ab，為長方形面積公式;若三角形的底為2πr、高為r，則S=πr2，為圓的面積公式。

牛老師將各種圖形和面積公式進行比較聯(lián)系，找到它們之間的融通點，通過數(shù)學變式的方法將之融通起來，打通面積公式之間聯(lián)系的“節(jié)點”，讓學生認識到各個公式之間不是孤立的，而是彼此之間存在內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián)。

五、困惑知識的癥結(jié)點

學生在數(shù)學學習過程中總會存在各種困惑知識，面向困惑知識，不同的學生會有不同的心理和對策。教師應找準不同學生困惑知識的癥結(jié)點，因材施教，使這些困惑知識成為學生知識生長的契機，甚至成為學生發(fā)展的階梯。教師可以通過正反例結(jié)合、數(shù)形結(jié)合、操作實驗、辨析討論等來分化困惑知識。本文以牛老師執(zhí)教的“認識角”為例，分析如何利用正反例結(jié)合來分化困惑知識。

案例5 “認識角”的教學

“認識角”是北師大版數(shù)學教材二年級下冊“認識圖形”的第一節(jié)內(nèi)容，其難點之一是判斷一個平面圖形是不是角，這也是學生的困惑知識，其癥結(jié)點在于判斷平面圖形是角的標準是否明確。在學生初步感知角的基礎(chǔ)上，教師可以向?qū)W生介紹角的形狀、角的頂點、角的邊等，讓學生認識到角的組成部分和特點，確定判斷角的標準，即頂點處兩條邊連在一起，并且邊是直的。由于學生容易因多元化的交流信息而產(chǎn)生思維困惑，抓不住知識的核心，導致其體驗停留在表層，思考的角度、廣度、深度等得不到良好訓練。因此，牛老師在分化這個難點時，采用舉正反例的策略，讓學生做練習：判斷圖8所示圖形哪些是角，哪些不是。

學生經(jīng)過思考、質(zhì)疑、交流，了解到圖8中（1）和（4）是角，（2）和（3）不是角，掌握了判斷一個圖形是不是角的方法。教師先用1個正例，幫助學生正面感知判斷一個圖形是不是角的相關(guān)要點，有利于學生知識與技能的扎實訓練;再用2個反例，強化學生對不是角的圖形的認識，鞏固概念的外延;最后用1個正例，采用“較大的角”，并且圖形的位置較之第一個正例有所變化，采用“非一般”“非正規(guī)”的平面圖形，開展概念變式教學，既為學生進一步學習鈍角建立感性認識，也有利于學生強化角的本質(zhì)特點。牛老師緊緊抓住判斷標準這一癥結(jié)點，采用正反例結(jié)合來分化困惑知識，使學生逐步實現(xiàn)了知識建構(gòu)。

六、重要知識的衍生點

數(shù)學知識的生長點源于數(shù)學知識體系中占有重要地位的知識點。在課堂教學中，教師要將重要知識作為學生知識生長的主干，可以通過創(chuàng)造情境，創(chuàng)設(shè)數(shù)學活動來激發(fā)學生的思維和問題意識，讓學生從重要知識的主干中衍生出新知識的分支，以探求知識的擴展。在教學中，一般將這種衍生知識分支稱為“教學附加值”，它雖然不是一節(jié)課的主體知識或重要知識，但也是思維訓練和知識生長的范疇。重要知識的主干與衍生新知識的連接點即為衍生點。那么，如何利用重要知識的衍生點來實現(xiàn)知識的生長呢？通常情況下，教師可以讓學生在認知沖突、實踐操作、拓展應用、意外情境、趣味活動、奇思妙想中衍生知識。下面，以牛老師執(zhí)教的“雞兔同籠”為例，探討如何引導學生實現(xiàn)知識衍生。

案例6 “雞兔同籠”——在奇思妙想中實現(xiàn)知識衍生[6]

“雞兔同籠”問題是我國古代的數(shù)學名題之一。題目為：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？教師在教學了列表法和假設(shè)法解決“雞兔同籠”問題的基礎(chǔ)上衍生了“抬腳法”。

師：古人解決“雞兔同籠”問題用的是“抬腳法”，即“金雞獨立，兔子站起”的方法（如圖9）。

師：抬腳后雞兔落地的腳數(shù)為94÷2=47（只）。1只雞對應一只腳，而1只兔對應2只腳，每多出1只腳就有1只兔。因此，兔只數(shù)：47-35=12（只）;雞只數(shù)：35-12=23（只）。這種解法很奇妙，美國數(shù)學教育家波利亞很欣賞這種解法，他通過著作《數(shù)學的發(fā)現(xiàn)》把它介紹到了美國。其實，這里的雞不僅僅是雞，兔也不僅僅是兔，“雞兔同籠”是這類問題的統(tǒng)稱。生活中許多類似“雞兔同籠”的問題，都可以用這樣的方法去解決。

上述衍生的“抬腳法”不是本節(jié)課的主干知識，但它的思維方式具有獨特性，能夠啟發(fā)學生在解決問題的過程中，不局限于常規(guī)的思維模式。這種“奇思妙想”能觸動學生活躍的思維，拓寬學生的數(shù)學思維空間，使學生對所學知識有更深的領(lǐng)悟。

參考文獻：

[1]約翰·杜威.民主主義與教育[M].王承緒，譯.北京：人民教育出版社，2001.

[2]孟筱.回歸教育的初心與起點：論杜威“教育即生長”理論內(nèi)涵的當代啟示[J].寧夏社會科學，2018（2）：130-135.

[3]牛獻禮.我在小學教數(shù)學：素養(yǎng)導向的數(shù)學教學藝術(shù)[M].上海：華東師范大學出版社，2019.

[4]張奠宙，宋乃慶.數(shù)學教育概論[M].北京：高等教育出版社，2004.

[5]牛獻禮.幫助學生學會思維：“乘法分配律”教學實踐與思考[J].小學教學研究（教學版），2013（7）：36-38.

[6]牛獻禮.溝通聯(lián)系 突出思想：“雞兔同籠”教學實踐與思考[J].小學教學研究（教學版），2018（3）：45-48.

（責任編輯：羅小熒）