知原理 重探究

王書賢 郭建理

【摘 要】尺規(guī)作圖是幫助學(xué)生從感性到理性，從直觀操作到邏輯推理，并建立幾何直觀的有效工具。研究者對(duì)尺規(guī)作圖的命題現(xiàn)狀提出問題，以江蘇省近三年尺規(guī)作圖的中考試題為研究對(duì)象，結(jié)合題量變化、試題分析，具體闡述了尺規(guī)作圖題對(duì)學(xué)生空間觀念、幾何直觀以及推理能力的培養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】尺規(guī)作圖;命題分析;中考試題

【作者簡(jiǎn)介】王書賢，常熟理工學(xué)院在讀學(xué)生;郭建理，高級(jí)教師，江蘇省特級(jí)教師，曾榮獲全國(guó)優(yōu)秀教師，第八屆中學(xué)數(shù)學(xué)教育獎(jiǎng)——“蘇步青數(shù)學(xué)教育獎(jiǎng)”二等獎(jiǎng)等。

尺規(guī)作圖是幫助學(xué)生從感性到理性，從直觀操作到邏輯推理，并建立幾何直觀的有效工具。在信息高度發(fā)展的今天，尺規(guī)作圖仍有豐富的教育價(jià)值。尺規(guī)作圖是一種學(xué)生實(shí)際動(dòng)手操作的過程，與圖形運(yùn)動(dòng)有著密切的聯(lián)系，具有不可替代的直觀性;其也是問題解決中不可分割的一部分[1]。此外，由于尺規(guī)作圖只利用無刻度直尺和圓規(guī)這兩種工具作圖，對(duì)于學(xué)生而言具有一定的挑戰(zhàn)性，例如在尺規(guī)作圖的過程中，所規(guī)定的是無刻度直尺，這使得直尺只能用來作直線，而不能進(jìn)行測(cè)量，這一限制將會(huì)激發(fā)學(xué)生思考，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力與創(chuàng)新能力。同時(shí)，尺規(guī)作圖對(duì)學(xué)生推理能力的培養(yǎng)有較大的促進(jìn)作用，使學(xué)生加深對(duì)幾何知識(shí)的理解。因此，在幾何教學(xué)強(qiáng)調(diào)對(duì)思維能力與推理能力培養(yǎng)的今天，尺規(guī)作圖理應(yīng)得到足夠的重視。本文從中考命題入手，通過對(duì)尺規(guī)作圖題的考查情況進(jìn)行分析，以期對(duì)教師的教學(xué)有所啟發(fā)。

一、尺規(guī)作圖的命題現(xiàn)狀

（一）尺規(guī)作圖的題量變化

為研究江蘇省對(duì)尺規(guī)作圖問題的考查，筆者查閱了江蘇省13個(gè)地市近3年的數(shù)學(xué)中考題，并將涉及尺規(guī)作圖的地市和題號(hào)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)（見表1）。

從考查地區(qū)來看，2018年只有南京、無錫、南通、淮安、常州5個(gè)地市考查了尺規(guī)作圖題，到了2020年共有11個(gè)地市考查尺規(guī)作圖題，可見越來越多的地區(qū)在中考中加大了對(duì)于尺規(guī)作圖題的考查;從考題分布來看，主要在解答題進(jìn)行考查，選擇題和填空題也有涉及;從題量來看，尺規(guī)作圖題的考查次數(shù)明顯增多，可見近幾年江蘇省數(shù)學(xué)中考對(duì)尺規(guī)作圖的考查是有所加強(qiáng)的，并且重視程度不斷提高。

（二）尺規(guī)作圖的命題方式

1.補(bǔ)全式

補(bǔ)全式，即題目給出作法的全部或者部分過程，要求學(xué)生理解作法，補(bǔ)全作圖依據(jù)或作圖過程[2]。這樣的考題不僅要求學(xué)生依據(jù)題目作出目標(biāo)圖形，而且需要學(xué)生深刻理解每一步操作背后的原理，做到知行合一。

例1（2018年南通16）下面是“作一個(gè)30°角”的尺規(guī)作圖過程。

已知：平面內(nèi)一點(diǎn)A。

求作：∠A，使得∠A=30°。

作圖：如圖1，（1）作射線AB;（2）在射線AB上取一點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，與射線AB相交于點(diǎn)C;（3）以C為圓心，OC為半徑作弧，與⊙O交于點(diǎn)D，作射線AD，∠DAB即為所求的角。

請(qǐng)回答：該尺規(guī)作圖的依據(jù)?????? 。

本題考查運(yùn)用尺規(guī)作出特殊角，以及運(yùn)用等邊三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)解決問題的能力。解答此類題目，首先應(yīng)知道確定圖形所需要的元素;其次明確達(dá)成作圖對(duì)象需要應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn);接著厘清每一步作法與確定圖形元素之間的關(guān)系;最后明白整個(gè)作法的數(shù)學(xué)原理[3]。

這類試題關(guān)注作圖依據(jù)，不僅需要學(xué)生讀懂尺規(guī)作圖的作法，而且需要學(xué)生逆向證明所作的圖形符合要求，具有一定的思維能力。這很好地體現(xiàn)了知行合一，以及尺規(guī)作圖“知原理、重探究”的教學(xué)價(jià)值取向，充分發(fā)展了學(xué)生的空間觀念、幾何直觀、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生深刻理解每一步作法背后的依據(jù)，體現(xiàn)步步有據(jù)，使學(xué)生對(duì)作法的“理”認(rèn)識(shí)到位。

簡(jiǎn)解：先根據(jù)作圖得出OD=OC=CD，即△OCD為等邊三角形，據(jù)此可得 ∠COD=60°，再根據(jù)圓周角定理知∠DAC=12∠COD=30°，從而得出答案：三邊相等的三角形是等邊三角形;圓周角的度數(shù)等于圓心角度數(shù)的一半。

2.實(shí)操式

實(shí)操式，即根據(jù)題目要求，用尺規(guī)作出相應(yīng)圖形，只保留作圖痕跡，不要求寫作法。試題常以五種基本作圖法作為本源，對(duì)需要確定的對(duì)象屬性進(jìn)行深層次、多角度的聯(lián)想。

例2（2019 年宿遷24）在Rt△ABC中，∠C=90°。

（1）如圖2，點(diǎn)O在斜邊AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB長(zhǎng)為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，與邊AC相切于點(diǎn)F，求證：∠1=∠2。

（2）在圖3中作⊙M，使它滿足以下條件：

①圓心在邊AB上;②經(jīng)過點(diǎn)B;③與邊AC相切。（尺規(guī)作圖，只保留作圖痕跡，不要求寫作法）

本題將尺規(guī)作圖與圓和切線的性質(zhì)相結(jié)合，主要考查角平分線和線段垂直平分線的作法。掌握連接圓心和切點(diǎn)的半徑與切線垂直是解題的關(guān)鍵，其突出了對(duì)學(xué)生推理能力的考查。這樣的命題方式常見于解答題中，以基本作圖作為出發(fā)點(diǎn)，將推理蘊(yùn)含其中。

此類問題需要學(xué)生熟練掌握《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱課程標(biāo)準(zhǔn)）中所要求的五種基本作圖法，將書本知識(shí)與實(shí)際動(dòng)手操作結(jié)合起來，不但可以提高學(xué)生的空間觀念、幾何觀念、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，還可以讓學(xué)生體會(huì)到尺規(guī)作圖的簡(jiǎn)單精確與數(shù)學(xué)之美[4]。在教學(xué)中，教師應(yīng)以教材為本，深化整體教學(xué)，使學(xué)生明確教材中的基本作圖方法，掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系。對(duì)于解決此類尺規(guī)作圖的問題，教師可以參照波利亞的解題四步驟來組織教學(xué)。

簡(jiǎn)解：（1）連接OF，可證得OF//BC，結(jié)合平行線和圓的性質(zhì)可求得∠1=∠OFB=∠2。

（2）由（1）可知切點(diǎn)是∠ABC的角平分線和AC的交點(diǎn)，圓心在BF的垂直平分線上，由此可作出⊙M。

3.應(yīng)用式

應(yīng)用式，即題目給出作圖語言、作圖痕跡，以此為條件進(jìn)行應(yīng)用。這類考題考查角度新穎，將題目的已知條件通過尺規(guī)作圖的作法表達(dá)出來，要求學(xué)生理解作法，并能夠根據(jù)作法找出隱藏的已知條件進(jìn)行其他計(jì)算或證明。較補(bǔ)全式、實(shí)操式兩種類型而言，應(yīng)用式考查要求相對(duì)較低，只要求學(xué)生讀懂做法即可。

例3（2020年蘇州18）如圖4，已知∠MON是一個(gè)銳角，以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交OM、ON于點(diǎn)A、B，再分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于12AB長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C，畫射線OC。過點(diǎn)A作AD∥ON，交射線OC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥OC，交ON于點(diǎn)E。設(shè)OA=10，DE=12，則sin∠MON=??? 。

本題借用作圖語言、作圖痕跡，間接地給出“OD平分∠MON”這個(gè)已知條件，考查學(xué)生對(duì)角平分線基本尺規(guī)作圖的了解。本題并未要求學(xué)生按步驟作出圖形，而是以閱讀題目條件的形式讓學(xué)生對(duì)作圖語言進(jìn)行推理，再通過計(jì)算求得角的正弦值。

這類問題需要學(xué)生閱讀并理解作圖步驟，判斷作出的幾何圖形，再分析推理得出作圖所表示的信息，最后進(jìn)行解題。在教學(xué)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生嘗試操作，理解圖形產(chǎn)生的過程，通過問題串的形式，及時(shí)梳理學(xué)生在探究過程中發(fā)現(xiàn)的問題，并鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)自己的數(shù)學(xué)思考，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷解決問題的全過程，不斷提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題以及分析和解決問題的能力。

簡(jiǎn)解：連接DB，過點(diǎn)D作DH⊥ON于H。首先，證明四邊形AOBD是菱形;其次，通過解直角三角形可求出DH，即可解決問題。故答案為2425。

二、尺規(guī)作圖的命題預(yù)測(cè)

（一）縱向分析

中考考題具有良好的導(dǎo)向作用。從近幾年江蘇省中考數(shù)學(xué)試題來看，尺規(guī)作圖題的考查類型以補(bǔ)全式、實(shí)操式和應(yīng)用式為主。對(duì)于從未考查過尺規(guī)作圖的徐州市和連云港市，今后數(shù)學(xué)中考題可能會(huì)優(yōu)先命制實(shí)操式類型的試題，即給出部分幾何圖形，學(xué)生根據(jù)作圖要求，作出相應(yīng)的圖形，主要考查基本作圖的操作，具體可參照上文例2。

對(duì)于已考查過尺規(guī)作圖試題的地區(qū)，如蘇州市，不會(huì)馬上提高試題難度，可能會(huì)涉及圓、三角形、平行四邊形等性質(zhì)定理，并在已考查過的試題的基礎(chǔ)上進(jìn)行創(chuàng)新。而無錫市此前的試題綜合性強(qiáng)，靈活度高，難度大，對(duì)于學(xué)生的邏輯推理、分析問題、空間想象能力都有較高的要求，今后將會(huì)繼續(xù)在此基礎(chǔ)上考查尺規(guī)作圖，并提高試題的創(chuàng)新性。

（二）橫向分析

目前，江蘇省高考與全國(guó)高考已經(jīng)接軌，中考題也會(huì)向全國(guó)其他省市看齊，這是未來的大趨勢(shì)。因此，借鑒全國(guó)數(shù)學(xué)中考題中有關(guān)尺規(guī)作圖的考查，江蘇省尺規(guī)作圖三大類型題目可從作圖背景或作圖工具進(jìn)行試題創(chuàng)新和改編。雖然江蘇省有關(guān)此類的尺規(guī)作圖題已有涉及，但相較于全國(guó)其他走在尺規(guī)作圖命題前沿的省市，還不夠成熟。

從全國(guó)中考數(shù)學(xué)的真題來看，天津市的網(wǎng)格作圖題比較熱門，屬于天津中考數(shù)學(xué)的?？碱}型，或許會(huì)對(duì)未來江蘇各地市的命題有借鑒意義。此外，限制作圖工具僅為無刻度直尺或圓規(guī)的題型也應(yīng)值得關(guān)注，比如江西省中考數(shù)學(xué)近幾年考查了無刻度的直尺作圖題;2007年南京市中考數(shù)學(xué)考查了圓規(guī)作圖題，這或許成為未來命題的新形式。

三、教學(xué)建議

根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)尺規(guī)作圖的教學(xué)要求，近幾年江蘇省中考數(shù)學(xué)試題從題材選擇到問題設(shè)計(jì)均進(jìn)行了適當(dāng)創(chuàng)新，研究這些試題的命題意圖，分析課程標(biāo)準(zhǔn)的導(dǎo)向作用，有助于教師把握尺規(guī)作圖的教學(xué)要求與考查方向。尺規(guī)作圖是初中幾何中訓(xùn)練學(xué)生工具操作、幾何語言敘述和邏輯推理能力的重要內(nèi)容，在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)注意以下幾個(gè)方面。

1.轉(zhuǎn)變思想觀念，促進(jìn)學(xué)生能力培養(yǎng)

尺規(guī)作圖作為最基本的作圖方法，具有創(chuàng)新性與邏輯性，尺規(guī)作圖是平面幾何的核心內(nèi)容，貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之中。在教學(xué)中，教師要轉(zhuǎn)變只關(guān)注知識(shí)技能的思想觀念，應(yīng)把尺規(guī)作圖作為培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維與創(chuàng)新精神的重要課程資源，通過教學(xué)助推學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)原理的理解，讓學(xué)生進(jìn)一步實(shí)踐并感悟數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，開發(fā)學(xué)生思維，促進(jìn)學(xué)生能力培養(yǎng)。

2.豐富數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，提高學(xué)生動(dòng)手能力

2021年7月12日，第14屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME-14）在華東師范大學(xué)開幕，在“中國(guó)數(shù)學(xué)教育特色主題活動(dòng)”中，江蘇省教育科學(xué)研究院的“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)——中國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的變革”，作為其中一個(gè)主題在會(huì)上展示。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，在一定程度上影響著中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)的變革。教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生理解算理、掌握算法、發(fā)展運(yùn)算能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合以及邏輯推理能力。尺規(guī)作圖是初中幾何教學(xué)的重點(diǎn)，是最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)之一，教學(xué)中一題多變給學(xué)生提供靈活的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，一題多解、一圖多做，多角度、全方位地開啟學(xué)生的發(fā)散性思維，教師要大膽放手讓學(xué)生動(dòng)手操作，觀察思考，探究和內(nèi)化原理。

3.規(guī)范數(shù)學(xué)語言，錘煉學(xué)生表達(dá)能力

課程標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界。用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題時(shí)要求規(guī)范、準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔、清晰，而學(xué)生在尺規(guī)作圖的學(xué)習(xí)中，往往只會(huì)作圖，欠缺表達(dá)。在教學(xué)中，教師應(yīng)首先訓(xùn)練學(xué)生掌握尺規(guī)作圖的語言表達(dá)——已知、求作、作法，做到層次分明;其次熟練掌握常用作圖語言，使作法表達(dá)規(guī)范、準(zhǔn)確;最后，用基本尺規(guī)作圖的作法表達(dá)時(shí)，無須重復(fù)作圖的詳細(xì)過程，用一句話概括即可，做到言簡(jiǎn)意賅。教學(xué)中規(guī)范學(xué)生的數(shù)學(xué)語言，錘煉學(xué)生的表達(dá)能力，為學(xué)生后續(xù)的解析幾何、立體幾何的作圖表達(dá)奠定基礎(chǔ)。

近幾年，江蘇省逐漸重視尺規(guī)作圖試題，各地市的尺規(guī)作圖題量明顯增加，試題考查類型靈活多樣，對(duì)學(xué)生的直觀思維、推理能力、空間觀念等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有所提高，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)造性，促進(jìn)了學(xué)生的理性思維能力和動(dòng)手操作能力的發(fā)展，為學(xué)生進(jìn)行更高層次的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]樂嗣康，崔雪芳，張奠宙.尺規(guī)作圖教學(xué)的現(xiàn)代意義[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2005（12）：7-9.

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[4]趙軒，王尚志.從一道中考題說起：尺規(guī)作圖中的數(shù)學(xué)思想方法初探[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2016（3）：30-33.

（責(zé)任編輯：陸順演）